1 試題呈現(xiàn)

例題（2024屆浙江名校聯(lián)盟高三聯(lián)考）（多選）已知P，Q，R是橢圓C：x216+y29=1上不同的三點(diǎn)，△OPQ，△OPR，△ORQ的面積分別為S1，S2，S3（Sigt;0，i=1，2，3，O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若S21+S22=S23，則（）.

A.OQ⊥ORB.|OQ|2+|OR|2=25

C.S3=6D.1|OQ|2+1|OR|2為定值

分析：題目以橢圓的中心三角形為背景，考查了面積、斜率、定值等知識(shí)，同時(shí)，也考查了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，具有一定的難度和區(qū)分度，是一道含金量很高的好題！

2 解法探究

解法1：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），O（0，0），O，A，B三點(diǎn)不共線，下證S△OAB=12|x1y2-x2y1|.

若x1=x2，則S△OAB=12|x1||y1-y2|=125|x1y2-x2y1|.若x1≠x2，當(dāng)x1，x2有一個(gè)為0時(shí)，如x2=0，易得S△AOB=12|x1y2|=12|x1y2-x2y1|；當(dāng)x1，x2都不為0時(shí)，設(shè)AB與y軸的交點(diǎn)為N（0，b），AB方程為y-y1=y2-y1x2-x1（x-x1），令x=0，得b=y1-（y2-y1）x1x2-x1=x2y1-x1y2x2-x1，若x1x2gt;0，則S△OAB=|S△OAN-S△OBN|=12|b（x1-x2）|=12|x1y2-x2y1|，若x1x2lt;0，則S△OAB=S△OAN+S△OBN=12|b|5（|x1|+|x2|）=12|b（x1-x2）|=12|x1y2-x2y1|.

綜上，S△OAB=12|x1y2-x2y1|.

設(shè)P（4cos α，3sin α），Q（4cos β，3sin β），R（4cos γ，3sin γ），則

S1=12|12cos αsin β-12cos βsin α|=6|sin （α-β）|，同理S2=6|sin （γ-α）|，S3=6|sin （β-γ）|.

由S21+S22=S23，得sin2（α-β）+sin2（γ-α）=sin2（β-γ），即1-cos 2（α-β）2+1-cos 2（γ-α）2=1-cos 2（β-γ）2，則

cos 2（α-β）+cos 2（γ-α）=1+cos 2（β-γ），

整理得2cos （2α-β-γ）cos （γ-β）=2cos2（β-γ），

可得cos （γ-β）［cos （2α-β-γ）-cos （γ-β）］=0.

所以cos （γ-β）sin （α-β）sin （α-γ）=0.

又P，Q，R中任意兩點(diǎn)都與原點(diǎn)O不共線，即α-β≠kπ，α-γ≠kπ，k∈Z，所以sin （α-β）≠0，sin （α-γ）≠0.

所以cos （γ-β）=0，則γ-β=kπ+π2，k∈Z，從而可知Q（4cos β，3sin β），R（-4sin β，3cos β）或Q（4cos β，3sin β），R（4sin β，-3cos β），則OQ·OR=-7sin βcos β或OQ·OR=7sin βcos β，顯然OQ·OR不恒等于零，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

而由計(jì)算可知|OQ|2+|OR|2=25，S3=65|sin （γ-β）|=6，1|OQ|2+1|OR|2=|OQ|2+|OR|2|OQ|2·|OR|2=25144+49sin2βcos2β不為定值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，選項(xiàng)B，C正確.故選：BC.

評(píng)注：本解法是參考答案所給解法，利用了中心三角形面積公式的二級(jí)結(jié)論，且在計(jì)算過程中使用了余弦的平方差公式，技巧性高.

對(duì)于A，D選項(xiàng)還可以利用解法2進(jìn)行判斷.

解法2：設(shè)P（4cos α，3sin α），Q（4cos β，3sin β），R（4cos γ，3sin γ），0lt;αlt;βlt;γlt;2π，同解法1得sin2（β-α）+sin2（γ-α）=sin2（γ-β），則sin2（β-α）=sin2（γ-β）-sin2（γ-α）=sin （2γ-β-α）sin （α-β）gt;0.又sin （α-β）≠0，所以sin （α-β）=sin （2γ-β-α），則α-β=2γ-β-α+2kπ（k∈Z），或α-β+2γ-β-α=π+2kπ（k∈Z），即α=γ+kπ（k∈Z）（舍）或-β+2γ-β=π+2kπ（k∈Z），故γ=π2+β或γ=3π2+β.當(dāng)β≠π2時(shí)，kOQ·kOR=3sin β4cos β·3sin γ4cos γ=-9sin βcos β16cos βsin β=-916lt;0，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

設(shè)|OQ|=r1，|OR|=r2，Q（r1cos θ，r1sin θ）（其中θ是以正半軸為始邊，OQ為終邊的角），又點(diǎn)Q在C上，所以有r21cos2θ16+r21sin2θ9=1，即1r21=cos2θ16+sin2θ9=116+7144sin2θ=116+7144·1tan2θ+1.

設(shè)R（r2cos φ，r2sin φ），同理1r22=116+714451tan2φ+1.

而kOQ·kOR=tan θtan φ=－916，1|OR|2+1|OQ|2=1r21+1r22=18+71441tan2φ+tan2θ+337256不為定值，故D不成立.

3 試題的結(jié)論推廣

一道好的試題的研究?jī)r(jià)值不應(yīng)僅僅停留在解法及應(yīng)用上，還應(yīng)該對(duì)試題本身做深入的研究[1].下面對(duì)相關(guān)結(jié)論進(jìn)行深入探究.

結(jié)論1：已知A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓E：x2a2+y2b2=1上不同兩點(diǎn)，則S△AOB=12|x1y2-x2y1|.

證明：易知|OB|=x22+y22，lOB：y2x-x2y=0，則點(diǎn)A到直線OB的距離d=|x1y2-x2y1|y22+x22.

故S△AOB=12|OB|·d=12|x1y2-x2y1|.

結(jié)論2：若橢圓E：x2a2+y2b2=1上任意兩點(diǎn)A，B滿足OA⊥OB，則1|OA|2+1|OB|2=1a2+1b2.

證明：設(shè)|OA|=r1，|OB|=r2，θ是以正半軸為始邊，OA為終邊的角，則A（r1cos θ，r1sin θ）.由OA⊥OB，可設(shè)B（-r2sin θ，r2cos θ）.由點(diǎn)A在橢圓E上，得r21cos2θa2+r21sin2θb2=1，即1r21=cos2θa2+sin2θb2.同理1r22=sin2θa2+cos2θb2.

故1|OA|2+1|OB|2=1r21+1r22=1a2+1b2.

結(jié)論3：已知P，Q，R是橢圓E：x2a2+y2b2=1上不同的三點(diǎn)，記△OPQ，△OPR，△ORQ的面積分別為S1，S2，S3.若S21+S22=S23，且OQ，OR的斜率存在，則kOQ·kOR=-b2a2.

證明：設(shè)P（acos α，bsin α），Q（acos β，bsin β），R（acos γ，bsin γ），0lt;αlt;βlt;γlt;2π，由結(jié)論1得S1=12|abcos αsin β-abcos βsin α|=ab2|sin （β-α）|，S2=ab2|sin （γ-α）|，S3=ab2|sin （γ-β）|.由S21+S22=S23，得sin2（β-α）+sin2（γ-α）=sin2（γ-β），同原試題的解法2得γ=π2+β或γ=3π2+β，當(dāng)β≠π2時(shí)，kOQ·kOR=bsin βacos β·bsin γacos γ=b2a2·sin βcos β·-cos βsin β=-b2a2.

結(jié)論4：已知A，B是橢圓E：x2a2+y2b2=1上不同的兩點(diǎn)，且OA，OB的斜率存在，則kOA·kOB=-b2a2的充要條件是S△AOB=12ab.

證明：設(shè)A（acos α，bsin α），B（acos β，bsin β），同結(jié)論3過程得S△AOB=ab2|sin （α-β）|.

①證必要性：由kOA·kOB=bsin αacos α·bsin βacos β=-b2a2，得sin αsin β=-cos αcos β，即cos （α-β）=0，則sin （α-β）=±1，故S△AOB=12ab.

②證充分性：由S△AOB=12ab|sin （β-α）|=12ab，得sin （β-α）=±1，則cos （β-α）=0，即cos αcos β=-sin αsin β，故kOA·kOB=-b2a2.

4 小結(jié)

近幾年的高考試題都非常注重對(duì)思維品質(zhì)的考查，注重對(duì)學(xué)生關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)的考查，因此，在遇到一道經(jīng)典題目時(shí)，我們不能僅僅停留在會(huì)解的層面，還要理解題目為什么要這樣解？是否還有其他解法？解法能否推廣？唯此才能真正激發(fā)學(xué)生潛在的思考能力與創(chuàng)新精神[2]！

參考文獻(xiàn)：

[1]韓智明.尋根探源，只為一個(gè)高考題的本質(zhì)——探究2018年全國(guó)新課標(biāo)高考Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)19題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（6）：7677，80.

[2]陳泳，羅輝芳.八省聯(lián)考單選壓軸第七題的背景探究及應(yīng)用[J].理科考試研究，2021（23）：2225.