摘 "要：為高效求解砂處理工藝中輸送設(shè)備基礎(chǔ)的振動響應(yīng)，通過對設(shè)備和基礎(chǔ)組成的力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行整體模型假定，建立六自由度動力學(xué)方程?；谖⒎址匠探獾奶匦?，將六自由度動力學(xué)方程轉(zhuǎn)換為一個十二元一次線性代數(shù)方程組的求解，該方法準(zhǔn)確且高效。將輸送設(shè)備及其基礎(chǔ)假定為六自由度模型并給出快速求解振動響應(yīng)的方法，這對結(jié)構(gòu)工程師進(jìn)行方案設(shè)計及比選具有重要的意義。

關(guān)鍵詞：砂處理振動輸送設(shè)備；高效求解；基礎(chǔ)振動響應(yīng)；數(shù)值方法；六自由度動力學(xué)方程

中圖分類號：TU318 " " "文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A " " " " "文章編號：2095-2945（2025）10-0018-04

Abstract： In order to efficiently solve the vibration response of the foundation of the conveying equipment in the sand treatment process， a six-degree-of-freedom dynamic equation was established by making overall model assumptions on the mechanical system composed of the equipment and the foundation. Based on the characteristics of differential equation solutions， the six-degree-of-freedom dynamic equation is transformed into a system of decimal linear algebraic equations. This method is accurate and efficient. The conveying equipment and its foundation are assumed to be a six-degree-of-freedom model and a method to quickly solve the vibration response is given， which is of great significance to structural engineers in scheme design and comparison.

Keywords： sand treatment vibrating conveying equipment; efficient solution; foundation vibration response; numerical method; six-degree-of-freedom dynamic equation

在鑄造領(lǐng)域砂處理工藝中，振動輸送設(shè)備[1-2]較多，例如振動輸送槽、振動落砂輸送機(jī)、沸騰冷卻床等。這些振動輸送設(shè)備通常具有2個方面的共同點[3-11]：①它們通過設(shè)備自身振動來實現(xiàn)工藝輸送砂和熱砂冷卻的目的。根據(jù)設(shè)備運(yùn)行時各部件的運(yùn)動狀態(tài)，設(shè)備自身可分為2部分，即運(yùn)動部分和非運(yùn)動部分。通常，設(shè)備運(yùn)動部分與非運(yùn)動部分之間采用金屬螺旋彈簧或其他隔振裝置進(jìn)行連接。為實現(xiàn)工藝要求，設(shè)備運(yùn)動部分處于往復(fù)運(yùn)動狀態(tài)，非運(yùn)動部分放置在設(shè)備獨(dú)立基礎(chǔ)上；②為滿足其工藝條件，設(shè)備運(yùn)動部分的質(zhì)量較大，占整個設(shè)備重量的60%以上。因此，當(dāng)振動輸送設(shè)備運(yùn)行時設(shè)備產(chǎn)生的振動位移和能量非常大。振動輸送設(shè)備中金屬螺旋彈簧不僅使得設(shè)備運(yùn)動部分滿足工藝要求，在一定程度上也減小了設(shè)備對周圍環(huán)境的振動影響。由于砂處理設(shè)備振動大，很容易對周圍環(huán)境產(chǎn)生振動影響，因此有效地對設(shè)備基礎(chǔ)進(jìn)行振動評估是非常重要的工作內(nèi)容。本文根據(jù)振動輸送設(shè)備的特點，將振動輸送設(shè)備及其基礎(chǔ)簡化為六自由度計算模型，并從動力學(xué)方程解的特性出發(fā)，給出了砂處理設(shè)備基礎(chǔ)振動響應(yīng)的高效數(shù)值方法。

1 "模型簡化

在求解砂處理設(shè)備基礎(chǔ)的振動響應(yīng)時，將設(shè)備與基礎(chǔ)簡化為質(zhì)點，金屬螺旋彈簧作用和土層對基礎(chǔ)的作用簡化為剛度和阻尼是非常成熟的方法[5]。

在模型簡化過程中，通常最為關(guān)注以下4個“心”，分別是：設(shè)備運(yùn)動部分重心、基礎(chǔ)（包括基礎(chǔ)自身、參振土和設(shè)備非運(yùn)動部分）重心、設(shè)備自帶金屬螺旋彈簧的剛度中心和彈性土對基礎(chǔ)彈性作用的剛度中心。當(dāng)激振力作用點和上述4個“心”位于同一條鉛垂線上且激振力方向為豎直方向上時，設(shè)備與基礎(chǔ)組成的力學(xué)系統(tǒng)可簡化為兩自由度系統(tǒng)。兩自由度系統(tǒng)動力學(xué)方程容易建立且易求解，在此不再贅述。

在前文所述的4個“心”和激振力作用點不在同一條鉛垂線上，或激振力作用線不是豎直方向時，設(shè)備與基礎(chǔ)組成的力學(xué)系統(tǒng)可簡化為如圖1所示的計算模型。

在圖1所示的力學(xué)系統(tǒng)模型中，各參數(shù)說明如下：①考慮力學(xué)系統(tǒng)的平面內(nèi)運(yùn)動，共計6個自由度為x1、y1和？茲1、x3、y3和？茲3；②振動輸送設(shè)備幾何形狀為長方體，質(zhì)量分布均勻；設(shè)備基礎(chǔ)幾何形狀為長方體，質(zhì)量分布均勻，重心即為幾何中心；③振動輸送設(shè)備運(yùn)動部分質(zhì)量為m1，振動輸送設(shè)備非運(yùn)動部分與基礎(chǔ)質(zhì)量（含參振土）之和為m3；④m1繞其重心的轉(zhuǎn)動慣量為J1；m3繞其重心的轉(zhuǎn)動慣量為J3；⑤m1下方2組彈簧的豎向剛度和豎向阻尼分別為k11、k12、c11和c12；m3下方2組彈簧的豎向剛度和豎向阻尼分別為k31、k32、c31和c32；豎向彈簧的水平剛度按照其豎向剛度的？茁倍考慮，即k=k11，通常？茁=0.7；⑥對于m1，重心O1與k11作用線的水平距離為l11、與k12作用線的水平距離為l12、重心O1與設(shè)備頂面和底面的距離均為l1；對于m3，重心O3與k31作用線的水平距離為l31、與k32作用線的水平距離為l32、重心O3與基礎(chǔ)頂面和底面的距離均為l3；⑦激振力只作用在m1上，無論激振力的大小和方向，均可以轉(zhuǎn)化為Fx、Fy和M？茲。

本小節(jié)將如圖1所示的力學(xué)系統(tǒng)簡化為六自由度力學(xué)模型。模型簡化過程科學(xué)合理。與大型有限元軟件相比，具有更好的通用性，自由度少，更容易識別到結(jié)構(gòu)工程師所關(guān)注的振動模態(tài)。

2 "數(shù)值方法

本小節(jié)建立如圖1所示力學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)方程，并給出快速求解方法。

對如圖1所示的質(zhì)點m1建立運(yùn)動方程：

對圖1所示質(zhì)點m3建立運(yùn)動方程

對上述方程化簡并整理后可得到如下動力學(xué)方程

根據(jù)上述說明，圖1所示力學(xué)模型的動力學(xué)方程已經(jīng)建立。下面根據(jù)微分方程解的特性，給出設(shè)備、基礎(chǔ)振動響應(yīng)求解的快速方法。

對于動力學(xué)方程（7）的解可假定為如下形式

上述方程中的參數(shù)具有如下關(guān)系

將方程（8）的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)代入方程（7）中，化簡整理可得到如下十二元一次線性代數(shù)方程組（在化簡過程中將方程（8）中的系數(shù)作為未知量，對任意？棕t成立，則可以得到）：

根據(jù)上述說明，將動力學(xué)方程（7）轉(zhuǎn)換為一個十二元一次方程組。通過求解線性方程組可得到方程（8）中的系數(shù)，進(jìn)而得到質(zhì)點m1和m3的振動響應(yīng)。設(shè)備及其基礎(chǔ)振動控制點的振動響應(yīng)可通過求解得到的x1、y1和？茲1、x3、y3和？茲3進(jìn)行換算，其中設(shè)備及其基礎(chǔ)端部控制點的振動位移可通過如下公式計算

式中：x′1、y′1分別表示設(shè)備端部控制點水平向和豎向的振動位移響應(yīng)，x′3、y′3分別表示基礎(chǔ)端部控制點水平向和豎向的振動位移響應(yīng)。

基于上述求解得到基礎(chǔ)的振動響應(yīng)，進(jìn)而可依據(jù)相關(guān)國家標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范判定基礎(chǔ)振動是否滿足環(huán)境的容許振動要求。

3 "數(shù)值算例

為驗證本文提出方法的準(zhǔn)確性，本數(shù)值算例以逐步積分Newmark法的計算結(jié)果為依據(jù)。

某工程案例中，設(shè)備及其基礎(chǔ)組成的力學(xué)系統(tǒng)參數(shù)如下：m1=16 t、m3=194.74 t、J1=49.333 t·m2、J3=1 100.16 t·m2、k11=k12=2 632 kN/m、k31=k32=683 643 kN/m、l11=l12=2.2 m、l31=l32=2.0 m、l1=0.5 m和l3=0.973 7 m。采用不同的激振力，某沸騰冷卻床設(shè)備和基礎(chǔ)振動響應(yīng)見表1。

通過表1數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，本文提出的方法計算準(zhǔn)確度非常高，可滿足工程所用。此外，上述計算過程均采用MATLAB編程計算得到，通過程序運(yùn)行，本文方法的計算時間明顯小于Newmark逐步積分方法，這表明本文方法計算效率高，更加適用于多種方案的比選和優(yōu)化。

4 "結(jié)論

針對求解砂處理工藝中振動輸送設(shè)備基礎(chǔ)的振動響應(yīng)，本文通過對設(shè)備和基礎(chǔ)組成的力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行科學(xué)和合理的模型假定，建立了六自由度動力學(xué)方程，并基于微分方程解的特性，將六自由度動力學(xué)方程轉(zhuǎn)換為一個十二元一次線性代數(shù)方程組的求解。數(shù)值算例表明，本文方法準(zhǔn)確且高效。

本文建立的高效數(shù)值方法具有如下優(yōu)點：

1）與大型有限元軟件進(jìn)行有限元分析相比，本文方法計算與分析簡易的同時，更容易識別到振動模態(tài)等關(guān)鍵因素，這是因為大型有限元軟件進(jìn)行有限元分析時，考慮了設(shè)備和基礎(chǔ)自身的彈性作用，使得計算機(jī)難以識別到整個系統(tǒng)中的關(guān)鍵因素。

2）將動力學(xué)方程的求解轉(zhuǎn)換為一個多元一次方程組進(jìn)行求解，在滿足準(zhǔn)確性的前提下，計算效率更高，也更加的簡便，特別適合結(jié)構(gòu)工程師進(jìn)行多次方案比選和計算分析。

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