在數(shù)學(xué)的廣闊天地里，整式乘法仿佛是一把神奇的鑰匙，輕輕一轉(zhuǎn)，便能開啟代數(shù)世界那扇充滿奧秘的大門。它不僅是解決復(fù)雜數(shù)學(xué)難題的基本工具，更是一座橋梁，巧妙地將代數(shù)與幾何、抽象思維與直觀感受緊密相連。試想，如果我們能把這原本單調(diào)的數(shù)學(xué)運(yùn)算，轉(zhuǎn)變?yōu)橐粓?chǎng)色彩斑斕、形狀多樣的拼圖游戲，那將會(huì)是一幅多么引人入勝的畫面??！

“拼圖中的乘法公式”正是這樣一場(chǎng)數(shù)學(xué)與藝術(shù)的浪漫邂逅。在這里，每一個(gè)整式都不再是冷冰冰的符號(hào)堆砌，而是幻化成一塊塊充滿活力與創(chuàng)意的拼圖碎片。它們有的長(zhǎng)，有的短，各具特色，正等待著我們?nèi)ネ诰蛩鼈冎g隱藏的奧秘，用智慧與想象將它們拼接起來，共同構(gòu)建出整式乘法那既奇妙又迷人的世界。現(xiàn)在，就讓我們攜手踏上這段探索之旅，從多個(gè)維度去領(lǐng)略整式乘法的獨(dú)特魅力吧！

平方差公式再辨析

教材上給出了一種求平方差公式的拼圖方法，我們不妨想一想還有沒有其他的方法。

如圖1，從邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形后，將其沿虛線裁剪成兩個(gè)相同的直角梯形，然后拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。

如圖2，從邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形后，將其沿虛線裁剪成四個(gè)相同的等腰梯形，然后拼成一個(gè)平行四邊形。

通過計(jì)算拼接前后兩個(gè)圖形的面積（陰影部分的面積），可以驗(yàn)證的乘法公式是_____________。

拓展：你能通過拼圖得到公式（a+2b）（a-2b）=a2-4b2嗎？

完全平方公式再探究

現(xiàn)有A型紙片（邊長(zhǎng)為a的正方形），B型紙片（邊長(zhǎng)為b的正方形），C型紙片（長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形）若干。

教材上利用這些紙片給出了一種求完全平方公式的拼圖方法，那用這些紙片還能不能驗(yàn)證其他的公式呢？

（1）觀察圖3、圖4，你能得到什么公式？

（2）你能自己提出一個(gè)乘法公式，并運(yùn)用上面的三種紙片設(shè)計(jì)相應(yīng)的拼圖圖案嗎？

（3）觀察圖5，你能得到什么樣的等式呢？試用乘法公式說明這個(gè)等式成立。（提示：可以算一算大正方形、中間小正方形、長(zhǎng)方形三者面積之間的關(guān)系。）

拓展：若不局限于目前已有的紙片種類和數(shù)量，你能通過拼圖得到（a+b+c）2的結(jié)果嗎？若不局限于平面圖形（可以是長(zhǎng)方體、正方體等立體圖形），你能通過拼圖得到（a+b）3的結(jié)果嗎？

乘法公式再生長(zhǎng)

在乘法公式的學(xué)習(xí)中，借助拼圖，我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想在多項(xiàng)式乘法和長(zhǎng)方形面積之間建立了聯(lián)系。如圖6，若將邊長(zhǎng)為a、b、c的四個(gè)直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形拼成下圖。試用不同的方法計(jì)算這個(gè)圖形的面積，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

如果把圖6看成一個(gè)大正方形，S大正方形=（a+b）2；

如果把圖6看成一個(gè)小正方形和四個(gè)小三角形組成，S大正方形=c2+4×[1/2ab]=c2+2ab。

由此得到（a+b）2=c2+2ab。

化簡(jiǎn)，得a2+b2=c2。

觀察等式，你能說說直角三角形三邊有什么關(guān)系嗎？圖7能不能得到這個(gè)等式？

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬中學(xué)樹人學(xué)校）