摘要： 傳統(tǒng)的RANS模型采用布辛涅斯克近似，假設(shè)湍流雷諾應(yīng)力和平均速度梯度張量之間呈線性關(guān)系，這一假設(shè)適用于簡單的剪切流動(dòng)，但很難推廣應(yīng)用于復(fù)雜分離流動(dòng)問題. 本文基于流場反演和機(jī)器學(xué)習(xí)FIML 方法框架，針對(duì)目前該方法框架內(nèi)普遍采用的多層感知機(jī)網(wǎng)絡(luò)對(duì)于湍流空間相關(guān)性表征不足的缺陷，通過圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的引入，對(duì)工程應(yīng)用較為廣泛的SA一方程湍流模型生成項(xiàng)進(jìn)行了修正. 在此基礎(chǔ)上，結(jié)合流場分離特征設(shè)計(jì)了一種加權(quán)函數(shù)，改進(jìn)了圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的消息傳遞機(jī)制. 針對(duì)大攻角、高雷諾數(shù)S809 翼型分離流動(dòng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與現(xiàn)有的多層感知機(jī)網(wǎng)絡(luò)相比，圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在不同攻角、不同網(wǎng)格上預(yù)測得到的升力系數(shù)和實(shí)驗(yàn)值更加接近，且新的消息傳遞機(jī)制能夠進(jìn)一步提升圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測精度.

關(guān)鍵詞： 湍流建模； 流場反演； 圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)； 計(jì)算流體力學(xué)； 數(shù)值模擬

中圖分類號(hào)： TP391 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A DOI： 10.19907/j. 0490-6756. 240008

1引言

湍流的精確模擬對(duì)于認(rèn)識(shí)復(fù)雜流動(dòng)機(jī)理和實(shí)現(xiàn)復(fù)雜工程應(yīng)用至關(guān)重要［1］. 常用的湍流模擬方法包括直接數(shù)值模擬、大渦模擬和雷諾平均模擬等.直接數(shù)值模擬（Direct Numerical Simulation，DNS）和大渦模擬（Large Eddy Simulation， LES）能夠?qū)σ恍┖唵瘟鲃?dòng)進(jìn)行精準(zhǔn)的預(yù)測，但是對(duì)于高雷諾數(shù)下的復(fù)雜流動(dòng)，計(jì)算開銷和時(shí)間成本極高，當(dāng)前的高性能計(jì)算資源很難支撐此類方法在工程外形上的應(yīng)用［2，3］. 目前工程湍流問題的模擬主要依賴?yán)字Z平均模型（ 例如k- ε，k- ω，Spalart-Allmaras（ SA），Shear Stress Transport（ SST） 和雷諾應(yīng)力模型）. 但是，RANS（Reynolds-averagedNavier-Stokes）模型采用布辛涅斯克假設(shè)（渦粘性假設(shè)），通過求解湍流模型方程得到渦粘性系數(shù)，進(jìn)而完成對(duì)于流動(dòng)控制方程的封閉. 但RANS 模型中的參數(shù)通常采用簡單的流動(dòng)問題進(jìn)行標(biāo)定，這也使得RANS 模型在預(yù)測逆壓梯度、分離等復(fù)雜流動(dòng)現(xiàn)象時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的誤差［4］. 因此，為了提高湍流模擬的精度，構(gòu)建一個(gè)能夠適應(yīng)多種流動(dòng)狀態(tài)的湍流模型具有重要意義.

近年來，利用機(jī)器學(xué)習(xí)算法（Machine Learning，ML）和高保真的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法越來越多地應(yīng)用于傳統(tǒng)計(jì)算流體力學(xué)（ComputationalFluid Dynamics， CFD）領(lǐng)域. 從圖網(wǎng)絡(luò)（Graph Network）［5］的提出，到Sanchez-Gonzalez等［6］首次將圖網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于物理問題的求解與模擬，再到Sanchez-Gonzalez 等［7］將圖網(wǎng)絡(luò)結(jié)合粒子基離散化方法來模擬水的運(yùn)動(dòng)，圖網(wǎng)絡(luò)模型在物理模擬研究領(lǐng)域表現(xiàn)出強(qiáng)大的學(xué)習(xí)能力. 湍流建模作為CFD 領(lǐng)域中的一個(gè)重要課題，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)湍流建模的研究主要分為以下兩類方法.

（1）傳統(tǒng)湍流模型修正. 這類方法認(rèn)為造成流場計(jì)算的偏差主要源于湍流模型方程的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)［8］. Cheung 等［9］應(yīng)用貝葉斯推理對(duì)SA 湍流模型的不確定性進(jìn)行量化，并對(duì)參數(shù)進(jìn)行校正. 同樣，Ray 等［10，11］研究了k- ε 湍流模型中的參數(shù)不確定性，并將校準(zhǔn)參數(shù)應(yīng)用于交叉流中的射流. Duraisamy等［12］總結(jié)了校準(zhǔn)模型參數(shù)的進(jìn)一步研究.不足的是，對(duì)于不同類型的流動(dòng)，校準(zhǔn)后的模型參數(shù)并不完全相同. 為了克服這一缺陷，Duraisamy等［12］和Singh 等［1，13，14］提出了一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)建?？蚣埽Q為流場反演和機(jī)器學(xué)習(xí)（Field Inversion andMachine Learning，F(xiàn)IML）. 該方法通過基于伴隨的方法獲得空間修正系數(shù)對(duì)RANS 模型進(jìn)行了修正. 然后，利用機(jī)器學(xué)習(xí)算法來預(yù)測修正系數(shù)，并在各種相似的流動(dòng)中獲得了改進(jìn)的預(yù)測效果.Yang 等［15］采用正則化集成卡爾曼濾波的方法來解決基于流場反演和機(jī)器學(xué)習(xí)FIML 框架中的反問題，降低了代碼修改的復(fù)雜性. 不同的是，在上述的研究中機(jī)器學(xué)習(xí)訓(xùn)練采用離線訓(xùn)練模式，Holland等［16］將機(jī)器學(xué)習(xí)算法集成到了流場反演過程中，將兩者耦合起來，采用在線訓(xùn)練模式，提高了模型的泛化能力.

（2）完全數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型［4］. 這種方法不是基于現(xiàn)有的湍流模型，而是根據(jù)求解器求解出的流場變量的物理意義，構(gòu)造具有一定物理意義的特征作為機(jī)器學(xué)習(xí)的輸入和輸出，利用機(jī)器學(xué)習(xí)算法對(duì)輸入特征與輸出特征之間潛在的關(guān)系進(jìn)行建模，建立輸入特征與輸出特征之間的映射關(guān)系，由此便得到了新的模型，輸入特征與輸出特征之間的關(guān)系是高度非線性的. Zhu 等［17，18］和Sun 等［19］建立了由SA 模型數(shù)據(jù)訓(xùn)練的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的線性渦粘模型，該方法在數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型和RANS 求解器之間采用了迭代模式. 后續(xù)的研究表明，相比于凍結(jié)耦合模式，迭代模式能夠有效地提高收斂性，特別是在高雷諾數(shù)情況下效果更佳. 相比于線性渦粘模型，非線性渦粘模型的適用范圍更加廣泛，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)非線性渦粘模型的一個(gè)典型框架是張量基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Tensor Basis Neural Network，TBNN）. 受Pope［20］工作的啟發(fā)，即將雷諾應(yīng)力表示成了10個(gè)基張量的線性組合，Ling 等［21，22］提出了TBNN，利用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，針對(duì)雷諾應(yīng)力的各向異性建立張量基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并對(duì)雷諾應(yīng)力分量進(jìn)行計(jì)算，并將預(yù)測得到的雷諾應(yīng)力代入RANS 求解器，得到了改進(jìn)的速度場. Ling 等［23］根據(jù)流場變量的物理意義，提出了12 個(gè)具有旋轉(zhuǎn)不變性的變量作為機(jī)器學(xué)習(xí)的輸入特征，使得結(jié)果得到極大的提高，因此得出結(jié)論：輸入特征的旋轉(zhuǎn)不變性是模型輸入特征的選取原則. Wu 等［24］將流場的應(yīng)變率張量和渦量張量梯度等進(jìn)行組合，形成了較為完備的輸入特征組，使得模型預(yù)測能力進(jìn)一步提升，這也表明輸入特征的完備性也是輸入特征的選取原則之一. Zhang 等［25］采用集成卡爾曼濾波法，通過間接觀測數(shù)據(jù)對(duì)TBNN 進(jìn)行訓(xùn)練. 除此之外，Weatheritt 等［26，27］利用基因表達(dá)編程建立了非線性渦粘模型的顯式表達(dá).

總的來說，對(duì)于第一類方法，即對(duì)傳統(tǒng)湍流模型的修正方法，這類方法通常采用基于伴隨的方法和集成卡爾曼濾波法進(jìn)行流場反演，從而得到修正系數(shù)的空間分布，隨后利用隨機(jī)森林（RandomForest）和深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Deep Neural Networks，DNN）等機(jī)器學(xué)習(xí)方法構(gòu)造流場變量與修正系數(shù)之間的映射函數(shù). 相比于第二種完全數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型的方法，傳統(tǒng)湍流模型已經(jīng)被廣泛使用數(shù)十年，在多種流動(dòng)情況下的效果也已經(jīng)得到驗(yàn)證，并且傳統(tǒng)模型通?；诹黧w力學(xué)基本原理，自然包含了一些物理約束和先驗(yàn)知識(shí)，確保模型預(yù)測在物理上是可行的. 因此第一類方法目前被學(xué)者們廣泛研究，Wu 等［24］也指出目前機(jī)器學(xué)習(xí)的主要作用應(yīng)是對(duì)現(xiàn)有湍流模型進(jìn)行改進(jìn)，以降低流場計(jì)算時(shí)的誤差，而不是徹底的取代湍流模型.

因此，本文基于第一類方法，將FIML 方法應(yīng)用于本文的研究當(dāng)中. 同時(shí)，在傳統(tǒng)FIML 框架中大多采用MLP 進(jìn)行建模，在MLP 這種點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的映射中，并沒有考慮湍流這種真實(shí)世界復(fù)雜物理現(xiàn)象的空間關(guān)聯(lián)性. 針對(duì)目前該方法對(duì)于湍流空間相關(guān)性表征不足的缺陷，介于GNN 所具備的空間關(guān)系建模能力，本文提出提出使用圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行湍流建模. 搭建了一種基于Encoder-Process-Decoder 結(jié)構(gòu)的圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，引入了網(wǎng)格點(diǎn)的相對(duì)位移向量以及兩點(diǎn)間的歐氏距離等空間信息，使得多個(gè)點(diǎn)能夠同時(shí)參與預(yù)測一個(gè)點(diǎn)上的SA湍流模型修正系數(shù)，并且提出了一種新的訓(xùn)練策略，證明了在FIML 框架中引入空間信息的有效性，在高雷諾數(shù)的S809 翼型算例上得到了驗(yàn)證.

2本文方法及模型

針對(duì)目前SA 湍流模型對(duì)翼型分離流動(dòng)預(yù)測不準(zhǔn)確的問題，本文基于流場反演和機(jī)器學(xué)習(xí)（FIML）框架，在SA 模型中引入一個(gè)修正項(xiàng)進(jìn)行改進(jìn). 考慮目前CFD 求解所用到的網(wǎng)格正好適用于圖這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，提出將流場反演得到的結(jié)果與圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合，并通過觀察求解得到的特征分布，設(shè)計(jì)了一種基于特征分布的訓(xùn)練策略，以高精度的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)訓(xùn)練，從流場中提取物理參數(shù)訓(xùn)練模型，達(dá)到對(duì)湍流模型的優(yōu)化，與當(dāng)前大多使用的多層感知機(jī)網(wǎng)絡(luò)（MLP）相比取得了更好的效果.

2. 1流場反演與機(jī)器學(xué)習(xí)框架

將FIML 方法應(yīng)用于SA湍流模型，以提升其準(zhǔn)確預(yù)測翼型分離流動(dòng)的能力. SA 湍流模型的控制方程的簡潔表達(dá)形式如式（1）

其中，P，D，T 分別表示生成項(xiàng)、破壞項(xiàng)以及擴(kuò)散項(xiàng). 由于SA 湍流模型計(jì)算復(fù)雜流動(dòng)并不準(zhǔn)確，因此引入修正項(xiàng)后表達(dá)式如式（2）.

引入修正項(xiàng)β（x）之后，不僅是修改了生成項(xiàng)，并且影響了整個(gè)源項(xiàng)的平衡. 接下來，根據(jù)FIML方法來預(yù)測修正項(xiàng)β（x），改進(jìn)SA 模型對(duì)翼型分離流動(dòng)的預(yù)測效果. FIML 方法的整體框架如圖1 所示，主要由3個(gè)關(guān)鍵步驟構(gòu)成：（1） 流場反演，用實(shí)驗(yàn)所獲的高保真參考數(shù)據(jù)去校正RANS 模型的求解結(jié)果，不斷優(yōu)化得到修正項(xiàng)β（x）的空間分布.（2） 模型訓(xùn)練，利用機(jī)器學(xué)習(xí)算法，訓(xùn)練圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，模型輸入是從流場中提取到的包含物理信息的流場特征，輸出是通過流場反演得到的修正項(xiàng)，構(gòu)建從流場特征到修正項(xiàng)的映射.（3） 模型預(yù)測，利用步驟（2）訓(xùn)練的模型，對(duì)除訓(xùn)練集以外的情況進(jìn)行預(yù)測，將預(yù)測得到的修正系數(shù)帶回到RANS 求解器中，提高RANS 湍流模型的預(yù)測精度.

2. 2流場反演

針對(duì)修正后的SA 湍流模型，設(shè)置一個(gè)目標(biāo)函數(shù)使SA 湍流模型求解出的氣動(dòng)參數(shù)與實(shí)驗(yàn)測量的數(shù)據(jù)更加吻合，本文選擇升力作為優(yōu)化目標(biāo)，則該目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式如式（3）.

（3）解碼器階段. 由MLP 組成的解碼器將處理階段最后一步的節(jié)點(diǎn)特征vi 轉(zhuǎn)換為一個(gè)或多個(gè)輸出特征，在本文中只有一個(gè)輸出，即SA 模型的修正項(xiàng)β.

3實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3. 1針對(duì)S809翼型的網(wǎng)格生成及流場反演

本文選取了S809翼型作為研究對(duì)象，S809翼型是美國國家可再生能源實(shí)驗(yàn)室（NREL）為水平軸風(fēng)力機(jī)設(shè)計(jì)的翼型，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)充分. 為了驗(yàn)證所提出方法的有效性，首先生成了網(wǎng)格單元數(shù)為3000的一套網(wǎng)格，隨后遵循同一網(wǎng)格拓?fù)?，分別在x 方向和y方向等比加密，構(gòu)造了網(wǎng)格單元分別為12 000、21000、30000等3套網(wǎng)格. 圖5 展示了網(wǎng)格單元數(shù)分別為3000及30000的網(wǎng)格.

來流雷諾數(shù)2×106，分別在8. 2°、12. 2°、14. 2°等3 個(gè)攻角下進(jìn)行流場反演. 圖6 展示了在3個(gè)攻角下計(jì)算得到的流場圖.

從圖6 可以看到，在8. 2°攻角下，由于攻角較低，并沒有發(fā)生流動(dòng)分離現(xiàn)象，但是隨著攻角增大到12. 2°，在翼型尾部發(fā)生了流動(dòng)分離，在翼型尾部產(chǎn)生了一個(gè)回流區(qū). 攻角進(jìn)一步增大到14. 2°，回流區(qū)進(jìn)一步擴(kuò)大，流動(dòng)分離更加明顯.

通過在8. 2°、12. 2°、14. 2°等3 個(gè)攻角下進(jìn)行流場反演，得到SA 湍流模型修正項(xiàng)β 的空間分布.如圖7 所示.

從圖7 可以看出，在8. 2°攻角，由于攻角較小，沒有發(fā)生流動(dòng)分離的情況下，修正項(xiàng)β 也只在翼型近壁面附近發(fā)生變化，且其值變化的范圍也比較小. 隨著攻角增大到12. 2°，開始發(fā)生流動(dòng)分離，β的變化區(qū)域隨之改變. 進(jìn)一步增大攻角，流動(dòng)分離現(xiàn)象更劇烈的情況下β 值變化的范圍也進(jìn)一步增大. 總的來說，β 只是在翼型的上表面以及尾部發(fā)生了變化，這與流場分離區(qū)域大致符合；而在翼型下表面及遠(yuǎn)場區(qū)域，β 基本沒有發(fā)生改變. 表1 總結(jié)了30 000 網(wǎng)格下流場反演在各個(gè)攻角下計(jì)算出的升力系數(shù).

可以看到SA 模型難以準(zhǔn)確預(yù)測復(fù)雜流動(dòng)情況下的升力系數(shù)，通過流場反演，修正了原始的SA 湍流模型，使其能夠較為準(zhǔn)確預(yù)測升力系數(shù).

3. 2模型訓(xùn)練及預(yù)測結(jié)果對(duì)比

通過流場反演得到了SA 模型修正項(xiàng)β 的空間分布，接下來需要運(yùn)用機(jī)器學(xué)習(xí)算法訓(xùn)練模型，模型的輸入是從流場中提取的具有物理意義的特征η，模型輸出是修正項(xiàng)β，訓(xùn)練好的模型能夠預(yù)測其他流動(dòng)情況下的修正，代入CFD 求解器中能夠改進(jìn)SA 模型對(duì)于升力系數(shù)的預(yù)測. 利用在8. 2°、12. 2°、14. 2°攻角下進(jìn)行流場反演得到的數(shù)據(jù)訓(xùn)練模型，對(duì)9. 0°、10. 2°、12. 5°、13. 2°攻角下進(jìn)行預(yù)測.在之前的研究中，大多采用MLP 預(yù)測修正項(xiàng)，本文使用PyTorch 深度學(xué)習(xí)框架搭建了一個(gè)8 層（包含輸入輸出層）的MLP 網(wǎng)絡(luò)，每層包含64 個(gè)神經(jīng)元.搭建的基于Encoder-Process-Decoder 結(jié)構(gòu)的圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型超參數(shù)下，Encoder 模塊與Decoder 模塊中都使用包含2 層32 維的MLPs 結(jié)構(gòu)，Process階段由3 個(gè)GN-block 構(gòu)成，每個(gè)GN-block 中的Edge-block 和Node-block 都由2 層32 維的MLP 構(gòu)成. 使用相同的初始學(xué)習(xí)率0. 001，相同的優(yōu)化器Adam 更新權(quán)重，相同的激活函數(shù)ReLU，訓(xùn)練相同數(shù)量的5000 個(gè)epoch，采用相同的損失函數(shù)MSE.圖8 展示了在網(wǎng)格單元數(shù)為3000 的網(wǎng)格上14°攻角下預(yù)測的修正項(xiàng)β 的相對(duì)誤差云圖. 從圖8 展示的誤差分布可以看出，誤差主要還是集中在翼型的上表面，雖然看上去GNN 模型所預(yù)測的誤差范圍更廣，但是實(shí)際上GNN 預(yù)測的誤差卻比MLP 低一個(gè)數(shù)量級(jí)，說明融入空間信息的GNN 模型能更好地預(yù)測β，能取得更好的效果.

表2 總結(jié)了3000網(wǎng)格下MLP與GNN對(duì)各個(gè)攻角計(jì)算出的升力系數(shù)及其相對(duì)誤差.

從表2 可以看到，相較于MLP，GNN模型所預(yù)測的升力系數(shù)更接近實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，預(yù)測的相對(duì)誤差也更小，更能夠改進(jìn)SA 湍流模型對(duì)升力系數(shù)的預(yù)測.

圖9展示了網(wǎng)格數(shù)分別為3000、12000、21000、30000 這4套網(wǎng)格上的結(jié)果. 圖9 中橫坐標(biāo)aoa 表示攻角大小，括號(hào)中表示在不同網(wǎng)格上計(jì)算結(jié)果，縱坐標(biāo)表示求解出的升力系數(shù). 可以看出在保持MLP 與GNN 相同參數(shù)量情況下，總的來說在4 套網(wǎng)格上GNN 求解出的升力系數(shù)都要比MLP 更加接近實(shí)驗(yàn)測量出的升力系數(shù)，這是由于GNN 在預(yù)測修正項(xiàng)的過程中引入了空間信息，利用消息傳遞機(jī)制，收集周圍多個(gè)點(diǎn)的特征信息一起用來預(yù)測修正項(xiàng).

3. 3針對(duì)GNN 的消息傳遞機(jī)制的改進(jìn)

通過進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)輸入特征δ 的分布與β很相似，都是集中在翼型表面以及尾部附近，如圖10. 為了使GNN 能夠更加敏銳地捕捉到翼型附近β 的變化，因此構(gòu)造了新的消息傳遞機(jī)制. 在新的消息傳遞機(jī)制中利用特征δ 增添了兩個(gè)權(quán)重wv_i和we_ij，新的消息傳遞更新過程如式（18）和式（19）所示.

圖9 展示了網(wǎng)格數(shù)分別為3000、12000、21000、30 000 這4 套網(wǎng)格上的結(jié)果. 圖9中橫坐標(biāo)aoa表示攻角大小，括號(hào)中表示在不同網(wǎng)格上計(jì)算結(jié)果，縱坐標(biāo)表示求解出的升力系數(shù). 可以看出在保持MLP與GNN 相同參數(shù)量情況下，總的來說在4 套網(wǎng)格上GNN 求解出的升力系數(shù)都要比MLP 更加接近實(shí)驗(yàn)測量出的升力系數(shù)，這是由于GNN 在預(yù)測修正項(xiàng)的過程中引入了空間信息，利用消息傳遞機(jī)制，收集周圍多個(gè)點(diǎn)的特征信息一起用來預(yù)測修正項(xiàng).

在更新點(diǎn)上特征與邊上特征時(shí)分別乘上權(quán)重w_{v_i}、w_{e_ij}，權(quán)重的值通過特征δ 來計(jì)算，計(jì)算表達(dá)式如式（20）和式（21）

從特征δ的分布圖10可以看出在遠(yuǎn)場δ 的取值接近于0，經(jīng)過一個(gè)正切函數(shù)之后賦予一個(gè)接近于零的權(quán)重，但是在翼型表面附近，經(jīng)過正切函數(shù)之后就得到了一個(gè)非零的權(quán)重，引入權(quán)重之后弱化了GNN模型在訓(xùn)練過程中遠(yuǎn)場部分的消息傳遞，突出了翼型表面附近的消息傳遞，使得GNN對(duì)壁面附近的空間信息更加敏感，進(jìn)而改進(jìn)了GNN模型的效果. 改進(jìn)消息傳遞機(jī)制后的效果如圖11.

從圖11 可以看到，在改進(jìn)GNN 的消息傳遞機(jī)制后，GNN 的效果得到進(jìn)一步的改進(jìn)，并且通過加權(quán)的方式改變消息傳遞機(jī)制，既沒有增大計(jì)算開銷，也沒有增大時(shí)間復(fù)雜度，是一種較理想的方式.

4結(jié)論

本文基于FIML框架，針對(duì)目前該框架內(nèi)普遍采用的多層感知機(jī)網(wǎng)絡(luò)對(duì)于湍流空間相關(guān)性表征不足的缺陷，提出使用圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行湍流建模，搭建了基于Encoder-Process-Decoder結(jié)構(gòu)的圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型. 并將網(wǎng)格點(diǎn)之間的相對(duì)位移向量以及兩點(diǎn)間的歐式距離等空間信息編碼成邊上的特征，通過消息傳遞對(duì)點(diǎn)上特征和邊上特征進(jìn)行聚合. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在保證參數(shù)量與傳統(tǒng)MLP 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相當(dāng)?shù)耐瑫r(shí)，提升了預(yù)測的準(zhǔn)確率. 進(jìn)一步地，為了使GNN能夠更加準(zhǔn)確地捕捉到翼型附近的修正項(xiàng)變化，本文改進(jìn)了GNN 訓(xùn)練過程的消息傳遞機(jī)制. 通過訓(xùn)練策略的調(diào)整，使得在參數(shù)量相當(dāng)?shù)那闆r下，GNN 的效果得到進(jìn)一步提升. 這為圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展提供了一個(gè)新的思路：即考慮輸入特征與輸出特征的分布情況來合理設(shè)計(jì)這樣一種加權(quán)函數(shù)，突出圖中重點(diǎn)部分的消息傳遞，進(jìn)而改進(jìn)圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測效果.

盡管引入空間信息的FIML 方法在S809翼型中取得了較之前更好的效果，但是本文提出方法的泛化能力仍有進(jìn)一步提升的空間. 首先，訓(xùn)練的模型推廣應(yīng)用到不同雷諾數(shù)時(shí)預(yù)測結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果差異較大；其次，訓(xùn)練的模型應(yīng)用到不同幾何外形時(shí)結(jié)果也不夠理想. 這主要是因?yàn)樵诓煌字Z數(shù)、不同的幾何外形情況下，邊界層內(nèi)的流動(dòng)特征差異較大，在給定數(shù)據(jù)集上訓(xùn)練得到的修正模型，在推廣應(yīng)用于其它情形時(shí)，仍有局限性，這也是后續(xù)將要重點(diǎn)研究的方向. 除此之外，本文的湍流模型修正系數(shù)的優(yōu)化目標(biāo)暫時(shí)僅考慮翼型的升力系數(shù)，實(shí)際上翼型的氣動(dòng)性能還包括阻力系數(shù)，力矩系數(shù)等，而其對(duì)應(yīng)的流場特性還包括壓力、速度等的分布. 要準(zhǔn)確預(yù)測復(fù)雜湍流流動(dòng)，這些物理量也是應(yīng)該關(guān)注的. 因此，在后續(xù)的研究中，我們將針對(duì)更寬廣的優(yōu)化目標(biāo)開展傳統(tǒng)湍流模型的修正方法研究.