摘要：數(shù)據(jù)同化是一組統(tǒng)計(jì)方法的集合. 在數(shù)值模型動(dòng)態(tài)運(yùn)行過(guò)程中，基于數(shù)據(jù)分布、觀測(cè)及背景誤差，數(shù)據(jù)同化方法能夠融合新觀測(cè)數(shù)據(jù)，提高模型對(duì)系統(tǒng)瞬時(shí)狀態(tài)的估計(jì)精度. 當(dāng)前，數(shù)據(jù)同化方法已被廣泛應(yīng)用于地球科學(xué)等研究領(lǐng)域. 集合卡爾曼濾波（Ensemble KalmanFilter， EnKF）是一種常用同化方法. 在該方法中，誤差的協(xié)方差估計(jì)很重要，集合數(shù)量過(guò)少可能在估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣時(shí)產(chǎn)生偽相關(guān)問(wèn)題，導(dǎo)致濾波發(fā)散. 協(xié)方差局部化方法（CovarianceLocation，CL） 和局部分析（Local Analysis，LA）方法是兩種常見(jiàn)的局部化方法，常被用于解決偽相關(guān)問(wèn)題. 其中，CL 方法不適用于集合變換卡爾曼濾波（Ensemble Transform KalmanFilter， ETKF）. 近年來(lái)，雖有部分研究將變體形式的CL 方法成功應(yīng)用于ETKF數(shù)據(jù)同化，但計(jì)算繁瑣. 本文提出了隨機(jī)協(xié)方差局部化（ Random Covariance Location，RCL） 方法， 該方法也適用于ETKF 同化. 本文分析了RCL 方法與LA 方法在處理誤差協(xié)方差矩陣、集合變換矩陣等方面的區(qū)別，然后將兩種方法分別應(yīng)用于ETKF，生成兩種同化算法. 本文通過(guò)算例對(duì)比了各同化算法對(duì)不同類(lèi)型數(shù)值模型的同化效果. 結(jié)果表明，RCL 方法同樣能解決偽相關(guān)問(wèn)題. 另一方面，對(duì)不同的模型類(lèi)型，兩種同化算法的同化效果各有特點(diǎn)：對(duì)線性平流模型，基于RCL 的算法的同化效果略低于基于LA的算法，但魯棒性更強(qiáng)；對(duì)非線性3 元Lorenz 模型， 隨觀測(cè)誤差的減小，基于RCL 的算法的同化效果優(yōu)于基于LA的算法，但魯棒性略有降低.

關(guān)鍵詞： 數(shù)據(jù)同化； 集合變換卡爾曼濾波； 協(xié)方差局部化； 局部分析

中圖分類(lèi)號(hào)： O224 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A DOI： 10. 19907/j.0490-6756. 230395

1引言

數(shù)據(jù)同化方法［1］是一組統(tǒng)計(jì)方法的集合. 在地球科學(xué)等研究領(lǐng)域數(shù)據(jù)同化方法有著廣泛應(yīng)用. 在數(shù)值模型動(dòng)態(tài)運(yùn)行過(guò)程中，數(shù)據(jù)同化方法能夠基于數(shù)據(jù)分布、觀測(cè)值及背景誤差，通過(guò)融合新觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)提高數(shù)值模型對(duì)系統(tǒng)瞬時(shí)狀態(tài)的估計(jì)精度.

集合卡爾曼濾波（Ensemble Kalman Filter，EnKF）是一種典型的數(shù)據(jù)同化方法. 1994 年，在對(duì)海洋數(shù)據(jù)的同化中EnKF 方法首次被提出［2］. 該方法有效結(jié)合了集合預(yù)測(cè)和卡爾曼濾波［3］，通過(guò)前向積分結(jié)合新觀測(cè)數(shù)據(jù)，得到一組分析集合，并采用卡爾曼濾波方程來(lái)實(shí)施更新，能夠大幅降低濾波的計(jì)算量. 在EnKF 中，誤差協(xié)方差矩陣預(yù)測(cè)集通過(guò)統(tǒng)計(jì)方法得到，當(dāng)集合數(shù)目過(guò)大時(shí)計(jì)算成本過(guò)高；當(dāng)集合數(shù)量太少時(shí)則可能出現(xiàn)抽樣不足、預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差低估及偽相關(guān)問(wèn)題，導(dǎo)致濾波發(fā)散.

為了在集合數(shù)目較少時(shí)應(yīng)用EnKF 并提高其同化效果，研究者提出了一些改進(jìn)方法，如協(xié)方差膨脹（Covariance" Inflation， CI）法［4］、協(xié)方差局部化（Covariance Location， CL）法［5］及局部分析（LocalAnalysis， LA）法［6］等. CI 方法引入了膨脹因子，并通過(guò)它來(lái)彌補(bǔ)被低估的預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差. 雖然CI方法能克服預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差的低估問(wèn)題，但它并不能解決偽相關(guān)性. CL 方法則通過(guò)在預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣和局部函數(shù)之間運(yùn)用Schur 乘積［7］，同時(shí)對(duì)預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差陣中超過(guò)預(yù)設(shè)距離的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行截?cái)鄟?lái)解決偽相關(guān)問(wèn)題. 最后，LA 方法以待估計(jì)狀態(tài)變量為中心構(gòu)建局部區(qū)域，并在局部范圍內(nèi)進(jìn)行更新，以得到預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差的局部近似. 當(dāng)前，越來(lái)越多的研究指向CL 方法和LA方法［8］.

雖然CL 方法能夠解決偽相關(guān)問(wèn)題，但它卻不適用于集合變換卡爾曼濾波（Ensemble TransformKalman Filter， ETKF）方法［9］，原因在于：CL 方法基于預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣，在ETKF 中無(wú)法進(jìn)行顯式計(jì)算，導(dǎo)致其中的Schur 乘積運(yùn)算無(wú)法進(jìn)行.為解決這個(gè)問(wèn)題，文獻(xiàn)［10］提出了一種適用于ETKF 方法的近似CL 方法. 該方法通過(guò)將n × m列零向量（n 表示狀態(tài)變量的數(shù)量， m 表示集合的數(shù)量）添加到預(yù)測(cè)集合的擾動(dòng)矩陣中來(lái)擴(kuò)展和修改矩陣，解決矩陣維數(shù)不一致的問(wèn)題. 已有研究表明，該方法僅是一種弱近似、同化效果較差.

增益形式的ETKF（Gain form of EnsembleTransform Kalman Filter， GETKF）方法也是一種改進(jìn)的ETKF 方法［11］. 該方法成功將CL 方法應(yīng)用于ETKF，可惜計(jì)算復(fù)雜度太高［12，13］，原因在于其修正預(yù)測(cè)集合擾動(dòng)矩陣時(shí)所采用方法較為繁瑣.本文提出了一種簡(jiǎn)化的協(xié)方差局部化（ RandomCovariance Location， RCL）方法，用以代替GETKF 方法中使用的CL 方法. 本文比較了RCL方法和LA 方法在處理背景誤差協(xié)方差矩陣及集合變換矩陣等方面的差異. 然后，通過(guò)將RCL 和LA 方法分別應(yīng)用于ETKF，本文生成了兩種同化算法. 最后，本文以算例比較了兩種同化算法對(duì)不同類(lèi)型數(shù)值模型的處理效果. 后文的安排如下.第2 節(jié)介紹了CL方法、LA方法和RCL方法等3 種局部化方法. 第3節(jié)介紹算例分析需要的數(shù)值模型.第4節(jié)進(jìn)行算例分析. 最后，第5節(jié)總結(jié)所得結(jié)果.

4. 2RCL 法和LA 法對(duì)集合變換矩陣的影響

為了研究RCL 法和LA 法對(duì)集合變換矩陣T的影響，我們?cè)O(shè)置觀測(cè)誤差的方差R = 10. 當(dāng)同化時(shí)間t = 5 時(shí)，RCL 和LA 的集合變換矩陣的比較結(jié)果如圖3 所示. 可以看到，RCL 能夠消除遠(yuǎn)距離偽相關(guān)現(xiàn)象，始終保持對(duì)角化. 此外，隨觀測(cè)誤差的減少，RCL 方法和LA 方法的集合變換矩陣的差異逐漸增大，后者在局部區(qū)域變得松散，說(shuō)明RCL方法在更新集合擾動(dòng)方面具有更強(qiáng)魯棒性.

4. 3 RCL 和LA方法對(duì)同化算法的影響

為研究RCL 和LA方法對(duì)ETKF同化算法的影響，我們分別用線性平流模型和3 元Lorenz模型進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn). 對(duì)線性平流模型，分別設(shè)定R = 1和R =0. 001進(jìn)行兩次實(shí)驗(yàn)，其余設(shè)置同前，其中對(duì)RCL 方法固定L = 2.實(shí)驗(yàn)結(jié)果參見(jiàn)表1 和表2.可以看到，相比傳統(tǒng)ETKF 算法，分別使用RCL 和LA方法的算法都能提高同化效果，使用LA方法的提升更顯著，但時(shí)間成本也更大. 此外，與使用LA 方法的同化算法相比，使用RCL 方法的算法更具魯棒性，即便觀測(cè)誤差的方差顯著變化算法的性能也保持穩(wěn)定.

對(duì)3 元Lorenz 模型（簡(jiǎn)稱(chēng)L3 模型），分別設(shè)定R=1和R=0.001進(jìn)行兩次實(shí)驗(yàn)，其余設(shè)置為p=3，m =2，L =2. 與文獻(xiàn)［9］相同， 我們將模型運(yùn)行1500個(gè)同化周期， 丟棄前500 個(gè)周期，取后1000 次循環(huán)的平均值作為實(shí)驗(yàn)結(jié)果，參見(jiàn)表3 和表4. 可以看到，使用RCL 和LA 方法后，ETKF算法的同化性能均明顯提升，使用LA 方法的算法具有較低的均方根誤差，同化時(shí)間則高于其余算法. 此外，隨觀測(cè)誤差的降低，各同化算法性能均有提升， 使用RCL 方法的算法具有最好的同化效果，但魯棒性有所降低，原因可能是L3 模型的非線性.

5結(jié)論

本文提出了簡(jiǎn)化的協(xié)方差局部化（ RCL）方法，并將其應(yīng)用于集合變換卡爾曼濾波. 本文對(duì)RCL方法和LA方法對(duì)背景誤差協(xié)方差矩陣和集合變換矩陣的影響進(jìn)行了比較，并將這兩種局部化方法分別應(yīng)用于ETKF同化算法，并將這些同化算法分別應(yīng)用于不同類(lèi)型的數(shù)值模型，通過(guò)比較其同化效果來(lái)間接比較兩種局部化方法對(duì)同化算法的影響. 所得結(jié)果如下.

（i）RCL方法可以解決偽相關(guān)問(wèn)題.

（ii）RCL相對(duì)LA方法具有更強(qiáng)魯棒性.

（iii）在對(duì)同化效果的影響方面，對(duì)線性平流模型，LA方法好于RCL 方法，但需要更長(zhǎng)時(shí)間，且RCL 方法的魯棒性更強(qiáng). 對(duì)3元Lorenz模型，當(dāng)觀測(cè)誤差方差較小時(shí)，RCL 方法優(yōu)于LA方法 ，所需同化時(shí)間小于后者，但魯棒性略有損失.