摘要： 動響應靈敏度分析廣泛應用于轉子模型修正、參數(shù)識別和結構優(yōu)化等問題。本文提出了一種基于多復域攝動的轉子動響應一階、二階和混合靈敏度分析方法。分別在兩個復數(shù)方向對設計參數(shù)進行攝動，得到雙復數(shù)域的轉子系統(tǒng)動力學方程，運用柯西?黎曼矩陣將復數(shù)運動方程擴維得到等價實數(shù)運動方程，求解等價實數(shù)運動方程，從而同時得到系統(tǒng)響應、一階靈敏度和二階靈敏度，并獲得動響應靈敏度的Hessian矩陣。以單盤轉子系統(tǒng)和燃氣發(fā)生器轉子系統(tǒng)為研究對象進行數(shù)值仿真分析，驗證所提轉子動響應靈敏度分析方法的正確性。相較于傳統(tǒng)的有限差分法，多復域攝動法對攝動步長引起誤差的不敏感，求解精度更高。

關鍵詞： 轉子動響應； 多復域攝動法； 二階靈敏度； 混合靈敏度

中圖分類號： O347.6 " "文獻標志碼： A " "文章編號： 1004-4523（2025）03-0469-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.03.003

Multi-complex domain perturbation method for sensitivity analysis of rotor dynamic response

JIANG Dong1， WANG Zhenlu1， QIAN Hui1， HANG Xiaochen1， CAO Zhifu2， ZHU Rui3

（1.School of Mechanical and Electronic Engineering， Nanjing Forestry University， Nanjing 210037， China；

2.College of Aerospace Engineering， Chongqing University， Chongqing 400044， China；

3.School of Engineering and Design， Technical University of Munich， Munich 80539， Germany）

Abstract： Rotor dynamic response sensitivity analysis is widely used in rotor model updating， parameter identification and structural optimization. In this paper， a first-order， second-order and mixed sensitivity analysis method for dynamic response of rotor system based on multi-complex domain perturbation method is proposed. The design parameters are perturbed in two complex directions respectively， and the motion equation of the rotor system in the double complex domain is obtained. Using the real matrix expression of the complex number， the complex motion equation is extended to obtain the equivalent real motion equation. By solving the equivalent real motion equation， the system response， first-order sensitivity and second-order sensitivity can be obtained simultaneously， and the Hessian matrix of dynamic response sensitivity can also be obtained. The numerical simulation analysis of single-disk rotor system and gas generator rotor system is carried out to verify the correctness of the rotor dynamic response sensitivity analysis method of multi-complex domain perturbation method. Compared with the traditional finite difference method， the multi-complex domain perturbation method shows insensitivity to the error caused by the perturbation step size， and the solution accuracy is higher.

Keywords： rotor dynamic response；multi-complex domain perturbation method；second-order sensitivity；mixed sensitivity

轉子動響應靈敏度可定量反映設計參數(shù)變化對動響應的影響，在轉子系統(tǒng)模型修正［1?3］、參數(shù)識別［4?5］和動力學優(yōu)化［6］等問題中至關重要。轉子系統(tǒng)在實際運行時經(jīng)常會伴隨著噪聲以及系統(tǒng)自身的振動［7］，高效準確的轉子動響應靈敏度分析至關重要。

轉子系統(tǒng)研制是一個迭代和多學科的過程［8?11］，轉子響應對參數(shù)靈敏度分析是動力學優(yōu)化設計的前提。PUGACHEV［8］在轉子系統(tǒng)輕量化設計優(yōu)化中應用基于梯度的優(yōu)化方法，以某典型渦輪轉子系統(tǒng)為例，利用伴隨矩陣法進行了靈敏度分析。蘇長青等［12］推導了三盤轉子系統(tǒng)隨機響應和動響應靈敏度公式，分析了轉子系統(tǒng)設計參數(shù)對響應的影響。潘宏剛等［13］針對汽輪機組中轉子質量和質心位置變化導致臨界轉速變化影響系統(tǒng)運行的問題，運用靈敏度分析方法分析參數(shù)變化對臨界轉速的影響，指導現(xiàn)場調(diào)試。TAHERKHANI等［14］采用基于靈敏度分析進行參數(shù)選擇方法和合適的采樣方法進行隨機模型修正，研究了復雜渦輪壓縮機轉子?軸承系統(tǒng)動態(tài)特性，獲得了理想的參數(shù)識別結果。WANG等［15］對柔性轉子系統(tǒng)的前兩階臨界轉速進行了靈敏度分析，提高了優(yōu)化效率，縮短了設計周期。CHEN等［16］研究發(fā)現(xiàn)應用靈敏度分析方法能夠快速選取相應的軸系節(jié)點及參數(shù)以進行修正，在模型修正過程中起到良好的作用?？梢婌`敏度分析在轉子系統(tǒng)優(yōu)化設計、模型修正等問題中具有十分重要的地位。

靈敏度分析方法主要包括：直接微分法、有限差分法和復變量求導法。直接積分法是求解靈敏度最直接的方法，它是通過求解時域動響應對系統(tǒng)參數(shù)的導數(shù)來計算。CAO等［17?19］推導了直接微分法的時域響應靈敏度，通過最小化測量響應和計算響應之間的殘差進行模型修正。陳敏等［2］利用有限差分獲得的一階參數(shù)靈敏度，使用增強響應靈敏度法進行參數(shù)識別。BAYBORDI等［20］將動響應靈敏度計算轉換為求解頻響函數(shù)靈敏度問題，再通過傅里葉逆變換得到時域動響應靈敏度，并應用于模型修正與損傷識別。劉廣等［21］將通過直接微分法得到非線性系統(tǒng)時域響應對物理參數(shù)的靈敏度矩陣用于參數(shù)識別反問題。胡智強等［22］和張磊等［23］先后研究了靈敏度計算過程中微分和離散的先后順序造成的響應靈敏度的一致性誤差。復變量求導法的突出特點是以較小的步長沿著虛軸對設計參數(shù)進行擾動，導數(shù)由不做減法運算的虛部響應得到。因此，該方法對攝動步長不敏感，結果精度高［24］。LANTOINE等［25］將復變量微分法擴展為廣義多復數(shù)步長法，用于計算全純函數(shù)的任意高階導數(shù)。GARZA等［24］運用多復域Newmark?β時間積分法計算簡單結構響應一階、二階靈敏度，并說明此方法精度高且便捷。田宇等［26］使用復變量求導法求解頻響函數(shù)靈敏度，解決了頻響函數(shù)本身存在復域時無法使用復變量求導法的問題。

本文提出一種基于多復域攝動法的轉子系統(tǒng)動響應一階、二階和混合靈敏度分析方法。對設計參數(shù)在兩個不同復域上分別進行參數(shù)攝動得到雙復數(shù)運動方程，使用復數(shù)在實數(shù)域的矩陣表達將復數(shù)方程轉化為實數(shù)域上擴維后的方程，最終通過Newmark?β法求解擴維后的實數(shù)域運動方程，同時得到原響應、一階靈敏度、二階靈敏度和混合靈敏度。以單盤轉子系統(tǒng)、燃氣發(fā)生器模擬轉子為例，使用本文方法計算轉子動響應的一階靈敏度、二階靈敏度和混合靈敏度，并在燃發(fā)轉子算例中用本文方法求解Hessian矩陣。以直接微分法結果作為動響應靈敏度的近似準確值，將多復域攝動法與有限差分法的結果進行誤差比較，證明本文方法的可行性和準確性。

1 理論基礎

1.1 多復域攝動法與復數(shù)的實數(shù)矩陣表達

1.1.1 一階靈敏度

復變量求導法是一種計算精度高且不受攝動步長影響的數(shù)值靈敏度求解方法，該方法在單復域上進行攝動求解一階靈敏度，其單復數(shù)的定義為：

式中，s_i^c表示每個時間點靈敏度計算值；si p表示每個時間點靈敏度的精確值；N_ω為總的時間節(jié)點數(shù)數(shù)目。

圖4為有限差分法和多復域攝動法在不同攝動系數(shù)下一、二階靈敏度分析結果誤差，隨著攝動系數(shù)數(shù)量級的減小求解的靈敏度精度逐漸提高。求解一階靈敏度誤差結果顯示，有限差分法在攝動系數(shù)為10-3時達到最準確結果，誤差的數(shù)量級能達到10-6；多復域攝動法的相對誤差在攝動系數(shù)為10-5時達到最準確結果，誤差的數(shù)量級能達到10-13。二階靈敏度誤差結果顯示，有限差分法在攝動系數(shù)為10-2時達到最準確結果，誤差的數(shù)量級為10-3；多復域攝動法的相對誤差在攝動系數(shù)為10-6時達到最準確結果，誤差的數(shù)量級能達到10-13。多復域攝動法的最小誤差遠小于有限差分法的最小誤差，多復域攝動法具有更高的精度。

2.2 燃氣發(fā)生器模擬轉子

參考真實航空發(fā)動機構造燃氣發(fā)生器模擬轉子如圖5（a）所示。由于主要研究轉子振動問題，忽略氣動性能，去除了葉片等部件。

模擬轉子主要由五級輪盤和中心拉桿組成。外部從左至右分別為壓氣機一級盤、二級盤、三級盤、離心葉輪盤和燃氣渦輪盤，由內(nèi)部的中心拉桿壓緊固定；支承位置位于轉子的兩端。

模擬轉子有限元模型采用Timoshenko梁單元建立，各部分的模型參數(shù)如表2所示。五級輪盤劃分為21個軸段，22個節(jié)點，節(jié)點編號從左到右依次為1～22，各軸段參數(shù)如表3所示；考慮盤單元的轉動慣量和陀螺效應，簡化為集中質量點添加到輪盤軸段對應節(jié)點處，如圖5（b）所示。

簡化后盤集中質量點參數(shù)如表4所示。其中離心葉輪盤沿軸向分布距離較長，且半徑變化較大，將其簡化為兩個盤單元。中心拉桿被劃分為15個軸段，16個節(jié)點，節(jié)點編號從左到右依次為1～16，各參數(shù)如表5所示。根據(jù)燃氣發(fā)生器轉子的實際配合關系，五級輪盤梁模型的節(jié)點5、節(jié)點14、節(jié)點15、節(jié)點20分別與中心拉桿的節(jié)點1、節(jié)點9、節(jié)點10、節(jié)點16采用近似剛性連接。綜上所述，所建立的燃氣發(fā)生器模擬轉子的有限元模型共有36個軸段、38個節(jié)點。系統(tǒng)阻尼采用瑞利阻尼，計算方法同式（22）。兩側支承以彈簧模擬，其剛度分別為17 kN/mm、25 kN/mm。

以左支承剛度為目標參數(shù)，分別使用直接微分法、有限差分法和多復域攝動法求解位移響應對左支承剛度（k1）的一、二階靈敏度。將直接微分法求解時的步長相較于其他兩種方法減小兩個數(shù)量級，以此得到的結果作為動響應靈敏度的近似準確值，使用2.1節(jié)誤差統(tǒng)計方法對多復域攝動法與有限差分法進行誤差對比，其對比結果如圖6所示。

圖6所示的8幅圖左側為對應節(jié)點響應的一階靈敏度，右側為二階靈敏度。首先每幅圖結果都表明使用本文所提多復域方法獲得的最佳精度都遠優(yōu)于有限差分法。有限差分法的一、二靈敏度最優(yōu)精度在左支承節(jié)點、一級盤節(jié)點、三級盤節(jié)點和燃氣渦輪節(jié)點處依次降低，特別是三級盤節(jié)點處二階靈敏度、燃氣渦輪節(jié)點處一、二階靈敏度誤差巨大。這是由于越遠離左支承節(jié)點的動響應對左支承剛度靈敏度越低，而過小的靈敏度代表攝動后動響應與原響應的差值越小，在有限差分法計算時兩動響應結果差值小于計算機最低計算精度的時刻越多，造成誤差越大。有限差分法獲得的最優(yōu)結果的攝動系數(shù)不穩(wěn)定，攝動系數(shù)過大會造成有限差分法過大的截斷誤差，而過小的攝動系數(shù)又會造成過大的舍入誤差。與之相比，多復變量求導法（MVDM）的最優(yōu)誤差的數(shù)量級穩(wěn)定控制在10-10以下，精度較高，且隨著攝動系數(shù)減小不會發(fā)散維持高精度。這種特點在使用時能便捷地選取攝動系數(shù)取得高精度的靈敏度值。

根據(jù)式（21），對左支承剛度（k1）和離心葉輪質量（m1）分別在不同復域進行攝動，求解轉子系統(tǒng)位移響應對左支承剛度的一階靈敏度、對離心葉輪質量的一階靈敏度和對兩參數(shù)的混合靈敏度，并使用有限差分法（FDM）分別求解上述靈敏度進行對比。圖7（a）、（b）分別為對兩參數(shù)的一階靈敏度。

MVDM計算響應對支承剛度和離心葉輪質量的二階靈敏度和混合靈敏度可組集為響應對兩參數(shù)的Hessian矩陣G。組合后的Hessian矩陣為：

式中，?^2 x（t）/?k_1^2 、?^2 x（t）/?m_1^2分別為轉子動響應對左支承剛度和離心葉輪質量的二階靈敏度；?^2 x（t）/（?k_1 ?m_1）、?^2 x（t）/（?m_1 δk_1）為轉子動響應對左支承剛度和離心葉輪質量的混合靈敏度。

四條靈敏度曲線如圖8所示。四條靈敏度曲線中同一時刻的靈敏度值填入式（28）中對應位置，即為轉子系統(tǒng)時域響應對k1和m1的Hessian矩陣。

3 結 論

本文提出一種基于多復域攝動法的轉子系統(tǒng)動響應一階、二階和混合靈敏度分析方法。多復域攝動法使用雙復域拓展復變量微分法，延續(xù)了復變量微分法高精度和對攝動步長不敏感的優(yōu)點，并通過多復數(shù)的實數(shù)矩陣表達使其在求解轉子動響應靈敏度時能夠方便應用。以單盤轉子系統(tǒng)、燃氣發(fā)生器模擬轉子為例，使用本文方法計算動響應的一階靈敏度、二階靈敏度和混合靈敏度。并以直接微分法求解時步長相較于有限差分法和多復域方法小多個數(shù)量級作為準確值，與有限差分法進行誤差比較，證明本文方法的可行性和準確性。

相較于有限差分法，本文所提多復域攝動法計算精度穩(wěn)定，不受攝動步長和靈敏度本身大小影響，能為轉子系統(tǒng)模型修正、結構優(yōu)化等提供準確的高階靈敏度。以此方法繼續(xù)在復域擴展，能對參數(shù)進行更多復域的攝動，從而求解更高階靈敏度。

參考文獻：

［1］ CAO Z， FEI Q， JIANG D， et al. A sensitivity-based nonlinear finite element model updating method for nonlinear engineering structures［J］. Applied Mathematical Modelling， 2021， 100： 632-655.

［2］ 陳敏， 劉廣， 汪利， 等. 基于增強響應靈敏度法的多體系統(tǒng)參數(shù)識別［J］. 振動與沖擊， 2022， 41（21）： 121-128.

CHEN Min，LIU Guang，WANG Li， "et al. Parametric identification of multibody system based on enhanced response sensitivity method［J］. Journal of Vibration and Shock， 2022， 41（21）： 121-128.

［3］ HE J， JIANG D， ZHANG D， et al. Interval model validation for rotor support system using Kmeans Bayesian method［J］. Probabilistic Engineering Mechanics， 2022， 70： 103364.

［4］ 李佳靖， 朱宏平， 翁順， 等. 動力特征解靈敏度分析的結構關鍵區(qū)域判別［J］. 振動工程學報， 2022， 35（5）： 1181-1187.

LI Jiajing，ZHU Hongping，WENG Shun， et al. Evaluation of critical region based on dynamic eigensensitivity analysis［J］. Journal of Vibration Engineering， 2022， 35（5）： 1181-1187.

［5］ 林榮洲， 侯磊， 孫傳宗， 等. 某航空發(fā)動機整機系統(tǒng)非線性振動特性分析［J］. 振動工程學報， 2022， 35（3）： 557-568.

LIN Rongzhou， HOU Lei， SUN Chuanzong， et al. Nonlinear vibration analysis of the overall aeroengine system［J］. Journal of Vibration Engineering， 2022， 35（3）： 557-568.

［6］ HELD A. On design sensitivities in the structural analysis and optimization of flexible multibody systems［J］. Multibody System Dynamics， 2022， 54（1）： 53-74.

［7］ 高朋， 侯磊， 陳予恕. 雙轉子-中介軸承系統(tǒng)非線性振動特性［J］. 振動與沖擊， 2019， 38（15）： 1-10.

GAO Peng， HOU Lei， CHEN Yushu. Nonlinear vibration characteristics of a dual-rotor system with inter-shaft bearing［J］. Journal of Vibration and Shock， 2019， 38（15）： 1-10.

［8］ PUGACHEV A O. Application of gradient-based optimization methods for a rotor system with static stress， natural frequency，and harmonic response constraints［J］. Structural and Multidisciplinary Optimization， "2013， 47（6）： 951-962.

［9］ 羅忠， 劉家希， 劉凱寧， 等. 彈性環(huán)式支承結構動剛度分析及其對轉子系統(tǒng)的影響［J］. 東北大學學報（自然科學版）， 2022， 43（5）： 667-673.

LUO Zhong， LIU Jiaxi， LIU Kaining， et al. Analysis of dynamic stiffness of the elastic ring support structure and its influence on the rotor system［J］. Journal of Northeastern University （Natural Science） ， 2022， 43（5）： 667-673.

［10］ 李坤， 曾勁， 于明月， 等. 考慮螺栓連接剛度不確定性的帶法蘭-圓柱殼結構頻響函數(shù)分析［J］. 振動工程學報， 2020， 33（3）： 517-524.

LI Kun， ZENG Jin， YU Mingyue， et al. Frequency response function analysis of flanged cylindrical shell structure with uncertainty of bolted connection stiffness［J］. Journal of Vibration Engineering， 2020， 33（3）： 517-524.

［11］ XU Y， LIU J， WAN Z， et al. Rotor fault diagnosis using domain-adversarial neural network with time-frequency analysis［J］. Machines， 2022， 10（8）： 610.

［12］ 蘇長青， 郭凡逸， 潘廣權， 等. 多盤轉子系統(tǒng)的隨機響應靈敏度分析［J］. 中國工程機械學報， 2018， 16（1）： 10-16.

SU Changqing， GUO Fanyi， PAN Guangquan， et al. Random response sensitivity of multi-plates system［J］. Chinese Journal of Construction Machinery， 2018， 16（1）： 10-16.

［13］ 潘宏剛， 袁惠群， 趙天宇， 等. 輪盤質量和位置對轉子臨界轉速靈敏度分析［J］. 振動.測試與診斷， 2017， 37（3）： 532-538.

PAN Honggang， YUAN Huiqun， ZHAO Tianyu， et al. Sensitivity analysis of wheel quality and location on rotor critical speed［J］. Journal of Vibration，Measurement amp; Diagnosis， 2017， 37（3）： 532-538.

［14］ TAHERKHANI Z， AHMADIAN H. Stochastic model updating of rotor support parameters using Bayesian approach［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2021， 158： 107702.

［15］ WANG J Y， ZHAO Y C， WANG C. The dynamic response and sensitivity analysis of the SFD-sliding bearing flexible rotor system［J］. Advanced Materials Research， 2012， 472-475： 1460-1464.

［16］ CHEN Y， ZHU R， JIN G， et al. A new mathematical modeling method for four-stage helicopter main gearbox and dynamic response optimization［J］. Complexity， 2019， 2019： 5274712.

［17］ CAO Z， FEI Q， JIANG D， et al. Sensitivity analysis of nonlinear transient response based on perturbation in the complex domain［J］. Journal of Computational and Nonlinear Dynamics， ASME， 2021， 16（1）： 011001.

［18］ CAO Z， FEI Q， JIANG D， et al. Dynamic sensitivity-based finite element model updating for nonlinear structures using time-domain responses［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2020， 184： 105788.

［19］ CAO Z， FEI Q， JIANG D， et al. Model updating of a stitched sandwich panel based on multistage parameter selection［J］. Mathematical Problems in Engineering， 2019， 2019： 1584953.

［20］ BAYBORDI S， ESFANDIARI A. Model updating and damage detection of jacket type platform using explicit and exact time domain sensitivity equation［J］. Ocean Engineering， 2023， 269： 113551.

［21］ 劉廣， 劉濟科， 呂中榮. 基于時域響應靈敏度分析的非線性系統(tǒng)參數(shù)識別［J］. 振動與沖擊， 2018， 37（21）： 213-219.

LIU Guang， LIU Jike， LYU Zhongrong. Parametric recognition of a nonlinear system based on time domain response sensitivity analysis［J］. Journal of Vibration and Shock， 2018， 37（21）： 213-219.

［22］ 胡智強， 馬海濤. 結構動力響應靈敏度分析伴隨法一致性問題研究［J］. 振動與沖擊， 2015， 34（20）： 167-173.

HU Zhiqiang， MA Haitao. On the consistency issue of adjoint methods for sensitivity analysis of dynamic responses［J］. Journal of Vibration and Shock， 2015， 34（20）： 167-173.

［23］ 張磊， 張嚴， 丁喆. 黏性阻尼系統(tǒng)時域響應靈敏度及其一致性研究［J］. 力學學報， 2022， 54（4）： 1113-1124.

ZHANG Lei， ZHANG Yan， DING Zhe， Adjoint sensitivity methods for transient responses of viscously damped systems and their consistency issues［J］. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2022， 54（4）： 1113-1124.

［24］ GARZA J， MILLWATER H. Multicomplex Newmark-Beta time integration method for sensitivity analysis in structural dynamics［J］. AIAA Journal， 2015， 53（5）： 1188-1198.

［25］ LANTOINE G， RUSSELL R P， DARGENT T. Using multicomplex variables for automatic computation of high-order derivatives［J］. ACM Transactions on Mathematical Software， 2012， 38（3）： 16.

［26］ 田宇， 曹芝腑， 姜東. 基于多復域的頻響函數(shù)靈敏度分析［J］. 振動與沖擊， 2021， 40（18）： 156-163.

TIAN Yu， CAO Zhifu， JIANG Dong. Sensitivity analysis of frequency response functions based on multicomplex domain［J］. Journal of Vibration and Shock， 2021， 40（18）： 156-163.

［27］ PRICE G B. An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions［M］. New York： "Marcel Dekker Inc.， 1991.

通信作者： 姜 東（1985—），男，博士，副教授。E?mail： jiangdong@njfu.edu.cn