摘要： 基于非局部應(yīng)變梯度理論研究了具有軸向速度的二維納米薄板的橫向自由振動特性。根據(jù)廣義哈密頓原理建立系統(tǒng)面內(nèi)平動的振動控制方程，以四端簡支情況為例，利用復(fù)模態(tài)分析法推導(dǎo)了納米板的固有頻率，通過控制方程的平衡解確定了系統(tǒng)的臨界速度，并進一步對亞臨界和超臨界速度下前4階模態(tài)函數(shù)的實部和虛部進行了分析。數(shù)值結(jié)果表明，尺度效應(yīng)在微納尺度下會導(dǎo)致系統(tǒng)自振頻率發(fā)生改變，非局部參數(shù)和應(yīng)變梯度參數(shù)分別對納米板的等效剛度產(chǎn)生“軟化”和“硬化”效應(yīng)，從而影響了納米板的固有頻率和模態(tài)函數(shù)，高階頻率和振型受到尺度參數(shù)的影響更為顯著。

關(guān)鍵詞： 納米板； 非局部應(yīng)變梯度理論； 尺度效應(yīng)； 臨界速度

中圖分類號： TB383；O326 " "文獻標(biāo)志碼： A " "文章編號： 1004-4523（2025）03-0653-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.03.023

Vibration characteristics analysis of two types of size effects on in-plane translational nanoplates

WANG Jing1，2， YU Yanglan1，2， SHEN Huoming3， WANG Yuxing3，4， DAI Xiaojun5

（1. School of Mechanical Engineering， Southwest Petroleum University， Chengdu 610500， China；

2. State Key Laboratory of Oil and Gas Reservoir Geology and Exploitation， Southwest Petroleum University， Chengdu 610500， China； 3. School of Mechanics and Aerospace Engineering， Southwest Jiaotong University， Chengdu 611756， China；

4. School of Mechanical Engineering， Southwest Jiaotong University， Chengdu 611756， China；

5. School of Civil Engineering and Architecture， Southwest Petroleum University， Chengdu 610500， China.）

Abstract： The transverse free vibration characteristics of a two-dimensional nanoplate with axial velocity are investigated based on the nonlocal strain gradient theory. The vibration control equations for the in-plane advection of the system are established according to the generalized Hamilton’s principle， and the intrinsic frequency of the nanoplate is derived by using complex modal analysis in the case of a four-ended simple support. The critical velocity of the system is determined by the equilibrium solution of the control equations， and the real and imaginary parts of the first-fourth-order modal functions are further analyzed for both the sub-critical and the supercritical velocities. The numerical results show that the scaling effect leads to a change in the self-oscillation frequency of the system at the micro- and nanoscale， and the nonlocal and strain gradient parameters have ‘softening’ and ‘hardening’ effects on the equivalent stiffness of the nanoplates， respectively， which affects the intrinsic frequency and the modal function of the nanoplates. This affects the intrinsic frequency and mode function of the nanoplates， and the higher order frequencies and vibration modes are more significantly affected by the size parameters.

Keywords： nanoplates；nonlocal strain gradient theory；size effect；critical speed

自1991年首次發(fā)現(xiàn)碳納米管以來，納米力學(xué)領(lǐng)域便引起了人們的廣泛關(guān)注，眾多實驗和數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，微觀材料變形會呈現(xiàn)出“尺度效應(yīng)”現(xiàn)象，因而，研究人員對經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)理論的適用性產(chǎn)生質(zhì)疑。鑒于此，發(fā)展出了一系列修正理論用以描述材料和結(jié)構(gòu)的尺度效應(yīng)，如非局部理論、偶應(yīng)力理論、應(yīng)變梯度理論、速度梯度理論和高階剪切變形理論等。其中，非局部理論和應(yīng)變梯度理論的應(yīng)用最為廣泛，這兩種理論分別使用“硬化”和“軟化”的力學(xué)參數(shù)來描述微觀層面的尺度影響。LIM等［1］將這兩類參數(shù)結(jié)合在一起，提出了非局部應(yīng)變梯度理論模型，通過探索碳納米管波傳播問題中的色散關(guān)系，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中“軟化”和“硬化”現(xiàn)象會同時存在。該理論提出以來，學(xué)者們將其應(yīng)用于多種微納結(jié)構(gòu)的彎曲、屈曲、振動以及波傳播等力學(xué)行為探索中，該理論下結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為對于尺寸的依賴程度與單一理論存在一定差異，這也使其成為目前研究的熱點之一。

由于二維納米板結(jié)構(gòu)在納米醫(yī)學(xué)、芯片、傳感器和軍工等諸多工程領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，分析其力學(xué)行為和特性對于相關(guān)器件的設(shè)計和優(yōu)化至關(guān)重要。PRADHAN等［2］推導(dǎo)了Winkler地基的非局部納米板的運動方程，討論了非局部參數(shù)、彈性模量和剛度等主要參數(shù)對無量綱振動頻率的影響。REDDY［3］使用非線性應(yīng)變下的非局部微分本構(gòu)關(guān)系，重新闡述了經(jīng)典和剪切變形梁板理論，給出了廣義位移形式的虛功。?UR等［4］建立了非局部修正正弦剪切變形磁電耦合功能梯度納米板模型，并對其動態(tài)響應(yīng)進行分析。GAO等［5］基于修正偶應(yīng)力理論結(jié)合Reddy梁和Mindlin板建立了三階剪切板模型，求解了四端簡支板靜力彎曲和自由振動的問題。LI等［6］在文獻［5］的研究基礎(chǔ)上，利用變分公式建立了一個尺寸相關(guān)的功能梯度微板模型，結(jié)論指出，修正偶應(yīng)力模型預(yù)測的四端簡支微板橫向中心撓度、電勢、應(yīng)力和水平方向電位移小于經(jīng)典正弦板模型的預(yù)測值。GHORBANPOUR等［7］建立具有撓曲電和表面效應(yīng)的非局部納米環(huán)板，通過一階剪切變形理論研究了長徑比、小尺度參數(shù)、厚度等多個參數(shù)對動態(tài)力學(xué)行為的影響。ZHANG等［8］采用具有對稱性的負二階梯度彈性理論對各向同性非矩形板進行分析，研究了環(huán)形、扇形及三角形微板的自由振動特性。MARYNOWSKI［9］考察了熱效應(yīng)對具有軸向速度的多尺度板的影響，對溫度、速度、內(nèi)部阻尼等參數(shù)進行了討論。MOSTAFA等［10］進行彈性地基上受迫振動石墨烯板在熱力耦合下的幾何非線性分析，基于非局部應(yīng)變梯度理論進行了瞬態(tài)行為的參數(shù)研究。BABAEI等［11］建立了無限長功能梯度多孔材料圓柱板模型，利用非局部應(yīng)變梯度理論和高階剪切變形理論研究了模型的熱響應(yīng)和力學(xué)響應(yīng)。KARIMIASL等［12］研究了黏彈性條件下磁電納米板的臨界荷載。BEDROUD［13］基于Mindlin一階剪切變形理論建立了非局部中厚圓形和環(huán)形功能梯度板模型，進行參數(shù)分析及靜態(tài)屈曲分析。YAN等［14］考慮表面效應(yīng)和壓電納米薄板在力電耦合作用下的電彈性響應(yīng)。YAN等［15］進一步根據(jù)修正的Kirchhoff板模型研究了不同面內(nèi)約束四端簡支壓電納米板的表面效應(yīng)，討論了壓電結(jié)構(gòu)的尺度依賴性。

現(xiàn)有文獻大多集中在研究納米板的單一尺度效應(yīng)上，大部分使用的是非局部理論或應(yīng)變梯度理論，在這些理論框架下無法確定系統(tǒng)硬化、軟化特性的競爭關(guān)系，因此有必要建立一種力學(xué)模型以綜合考察兩類尺度效應(yīng)的影響。為解決這一問題，LUO等［16］通過非局部應(yīng)變梯度理論研究了軸對稱功能梯度圓形納米板在徑向荷載下振動特性的尺度相關(guān)性，在此基礎(chǔ)上，WANG等［17］采用相同理論進一步討論了圓形Mindlin納米板面外自由振動的力學(xué)行為，但均未考慮到軸向速度的影響。在上述背景下，本文基于非局部應(yīng)變梯度理論提出一類具有軸向速度的二維納米薄板模型，通過廣義哈密頓原理建立了橫向自由振動的控制方程，運用復(fù)模態(tài)分析法推導(dǎo)了四端簡支納米板的固有頻率和臨界速度，討論尺度參數(shù)對兩者的影響，并進一步對亞臨界和超臨界速度下納米板前4階模態(tài)函數(shù)進行了分析。

1 面內(nèi)平動非局部應(yīng)變梯度納米板模型

具有軸向速度的納米矩形薄板模型如圖1所示。板長為La，寬為Lb，厚度為h，材料密度為ρ，彈性模量為E，兩端受不隨厚度變化的拉力fx和fy，以速度c沿x方向作勻速運動。

為了確認模型和方法的可靠性，可以借助退化比較的手段，將當(dāng)前結(jié)果與已有數(shù)據(jù)進行驗證比對。首先當(dāng)τ=0，ξ=0，系統(tǒng)被簡化為宏觀尺度下的運動板模型，文獻［30］與本文結(jié)果的對比如圖3（a）所示，其中圓形是通過本文模型得到的頻率，實線是已有文獻中的數(shù)據(jù)［30］。進一步，假設(shè)c=0，系統(tǒng)為微觀尺度下的靜態(tài)納米板，圖3（b）給出了本文和已有文獻的數(shù)據(jù)對比，其中實線是本文得出的數(shù)據(jù)，圓點為已有文獻的數(shù)據(jù)［31］。通過退化比較的結(jié)果可以看出，本文獲得的模型與已有文獻數(shù)據(jù)結(jié)果較為一致，表明模型準(zhǔn)確性良好。

為了對比不同理論下對尺度效應(yīng)的敏感程度，圖4展示了經(jīng)典彈性理論（CET），經(jīng)典非局部理論（NET）、應(yīng)變梯度理論（SGT）及非局部應(yīng)變梯度理論（NSGT）下，前2階固有頻率隨軸向速度的變化情況。首先，經(jīng)典彈性理論主要適用于宏觀尺度下的系統(tǒng)，其局限性在于無法準(zhǔn)確預(yù)測納米尺度下系統(tǒng)的振動特性，雖然應(yīng)變梯度理論和經(jīng)典非局部理論都考慮了尺度參數(shù)對固有頻率的影響，但由于其建模方式的不同導(dǎo)致了相反的結(jié)果。應(yīng)變梯度理論預(yù)測的結(jié)果在系統(tǒng)等效剛度方面高于經(jīng)典彈性理論，而傳統(tǒng)非局部理論的結(jié)果則低于經(jīng)典彈性理論，表明了等效剛度減小。當(dāng)采用非局部應(yīng)變梯度理論時，數(shù)值計算的結(jié)果介于兩者之間，這表明該理論同時考慮了剛度“軟化”和“硬化”效應(yīng)。此外，在不同理論框架下，高階固有頻率對尺度參數(shù)的敏感性更高，進一步驗證了尺度效應(yīng)的存在。綜上所述，不同理論模型對納米板振動特性的描述存在差異，而非局部應(yīng)變梯度理論相較其他理論是一個更為全面的模型，其中融合了對等效剛度增強和減弱的影響。

為了進一步驗證上述結(jié)論，引入了一個新的關(guān)系式：

ξ=Zτ （21）

Z作為一個引入的比例因子，其功能在于衡量非局部參數(shù)與材料長度尺度參數(shù)的相對大小，進而深入探討這兩種尺度參數(shù)對系統(tǒng)固有頻率的實際影響，定量評估這兩個參數(shù)在小尺度結(jié)構(gòu)振動分析中的重要性。

圖5和6給出了不同比例因子下，兩個尺度參數(shù)對納米板前兩階固有頻率的影響。當(dāng)比例因子Z=1時，系統(tǒng)的固有頻率數(shù)值保持不變，與宏觀情況下的結(jié)果相一致，未受到尺度效應(yīng)的影響。當(dāng)非局部參數(shù)和材料長度尺度參數(shù)的相互影響導(dǎo)致剛度的軟化和硬化趨勢互相平衡時，系統(tǒng)的固有頻率就不會隨尺度參數(shù)的變化而發(fā)生明顯的變化，這種抵消效應(yīng)導(dǎo)致在特定條件下，尺度效應(yīng)不會顯著影響系統(tǒng)的動態(tài)特性，為PEDDIESON等［32］基于Eringen非局部理論的研究中未觀察到尺度依賴現(xiàn)象提供了合理的解釋。當(dāng)比例因子Zlt;1時，表明非局部參數(shù)大于材料長度尺度參數(shù)，系統(tǒng)等效剛度的降低將導(dǎo)致固有頻率的降低，在該條件下，非局部參數(shù)相較于材料長度尺度參數(shù)對系統(tǒng)的振動特性具有更顯著的影響，系統(tǒng)以“軟化”效應(yīng)為主。相反地，當(dāng)Zgt;1時，此時材料長度尺度參數(shù)占優(yōu)，系統(tǒng)“硬化”效果較為顯著，固有頻率升高。比較非局部參數(shù)和材料長度尺度參數(shù)的大小，可以確定在小尺度結(jié)構(gòu)中起主導(dǎo)作用的參數(shù)：即非局部參數(shù)大于材料長度尺度參數(shù)，非局部效應(yīng)對固有頻率產(chǎn)生顯著影響，反之則材料長度尺度參數(shù)占優(yōu)。隨著振動模態(tài)階數(shù)的升高，系統(tǒng)的物理行為和響應(yīng)特性更易受到尺度效應(yīng)的影響。

圖6（c）和（d）以雷達圖的形式更加直觀地描述出不同比例因子對系統(tǒng)的影響。當(dāng)比例因子Zgt;1時，可以觀察到橘色線所圍成的區(qū)域最大，這表明非局部參數(shù)發(fā)揮主導(dǎo)作用，導(dǎo)致系統(tǒng)剛度的軟化，固有頻率降低。當(dāng)比例因子Z=1時，可以看到紫色線所圍成的區(qū)域不隨參數(shù)變化而變化，這表示固有頻率保持恒定，此時尺度效應(yīng)消失，不再對系統(tǒng)產(chǎn)生影響。當(dāng)比例因子Zlt;1時，綠色線所圍成的區(qū)域最小，這說明此時材料長度尺度參數(shù)起主導(dǎo)作用，導(dǎo)致系統(tǒng)等效剛度增加，固有頻率增大。

2.2 系統(tǒng)的模態(tài)函數(shù)

首先確定臨界速度，若式（13）有平衡解，則位移不依賴于時間并滿足邊界條件，即

采用分離變量的方法可以確定系統(tǒng)的臨界速度，表2給出了前8階臨界速度的值，其中參數(shù)取τ=0.15，ξ=0.1，K1=K2=100，λ=1。

進一步分別取無量綱速度為c=3，c=10。圖7和8分別給出了亞臨界速度和超臨界速度情況下線性派生系統(tǒng)的前4階模態(tài)?？梢杂^察到，盡管線性派生系統(tǒng)的納米板的邊界條件對稱，但平動速度的存在破壞了模態(tài)函數(shù)實部與虛部關(guān)于板中點的對稱性或反對稱性。在處于低速階段即亞臨界速度范圍內(nèi)時，前4階模態(tài)函數(shù)呈現(xiàn)出周期性，展現(xiàn)相對規(guī)律的特征，類似靜止板的模態(tài)圖形趨勢，模態(tài)函數(shù)的實部具有明顯的彎曲樣式，位移模式稍顯復(fù)雜。而在超臨界速度下，系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)振型呈現(xiàn)周期性，位移規(guī)律更加復(fù)雜，實部和虛部之間的差異更加明顯。

通過改變非局部參數(shù)與材料長度尺度參數(shù)的數(shù)值比例關(guān)系，對比分析亞臨界速度與超臨界速度條件下，納米板前4階模態(tài)函數(shù)的實部與虛部的特性。如圖9和10所示，可以看出，在亞臨界速度條件下，模態(tài)函數(shù)的形狀基本保持不變，尺度參數(shù)對模態(tài)的影響相對較小。隨著模態(tài)階數(shù)的提高，尺度參數(shù)對模態(tài)函數(shù)影響的顯著性逐步增加。對于模態(tài)函數(shù)的實部，尺度參數(shù)引起的幅值變化較為有限，對虛部而言，幅值的變化則較為顯著，兩者變化趨勢在整體上保持一致。

如圖11和12所示，在超臨界速度下，尺度參數(shù)不僅對實部和虛部函數(shù)的幅值有著較大的影響，還會顯著改變其整體走勢。隨著臨界速度的提升，模態(tài)函數(shù)的駐點數(shù)量發(fā)生改變，導(dǎo)致在超臨界速度下，尺度效應(yīng)對模態(tài)振型的影響更為突出。

3 結(jié) "論

本文通過非局部應(yīng)變梯度理論建立了具有軸向速度的納米薄板運動模型，結(jié)合基爾霍夫板理論和哈密頓原理進行橫向振動控制方程的推導(dǎo)，對四端簡支情況進行了模態(tài)分析研究，具體結(jié)論如下：

（1）尺度參數(shù)會影響系統(tǒng)的等效剛度導(dǎo)致固有頻率發(fā)生改變。非局部參數(shù)使得系統(tǒng)等效剛度減小，產(chǎn)生軟化的效果，固有頻率隨之減小。材料長度尺度參數(shù)導(dǎo)致相反的效果，即等效剛度增加，產(chǎn)生硬化的效果，固有頻率增加。系統(tǒng)的高階頻率對尺度參數(shù)的敏感依賴性更加明顯。值得注意的是，當(dāng)非局部參數(shù)與材料長度尺度參數(shù)相等時，系統(tǒng)反映出的剛度軟化和硬化效果會相互抵消，這與宏觀尺度下的結(jié)果保持一致。

（2）由于軸向運動速度的存在，模態(tài)函數(shù)的實部和虛部沒有統(tǒng)一的對稱性，既不關(guān)于板的中點對稱也不存在反對稱。當(dāng)系統(tǒng)處于低速狀態(tài)，即亞臨界速度范圍內(nèi)，前4階模態(tài)振型具有良好的周期性和規(guī)則性。隨著速度增大系統(tǒng)進入超臨界狀態(tài)后，系統(tǒng)雖具有周期性，但位移的規(guī)律復(fù)雜性增加，實部和虛部差異明顯。

（3）在亞臨界范圍內(nèi)，尺度效應(yīng)隨著階數(shù)的升高變得更加敏感，但總體走勢較為一致。而在超臨界范圍內(nèi)，尺度效應(yīng)會同時影響幅值、駐點和整體趨勢的走向，說明尺度效應(yīng)在超臨界范圍內(nèi)更加敏感。

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第一作者： 王 "璟（1987―），男，博士，副教授。

E-mail： wangjing@swpu.edu.cn

通信作者： 沈火明（1968―），男，博士，教授。

E-mail： hmshen123@126.com

附錄A