［摘" 要］ 除法的意義一般有兩種模型：包含除和等分除。教師可以通過“確定單位”“操作單位”“包含單位個(gè)數(shù)”等教學(xué)手段，引導(dǎo)學(xué)生分析問題，使除法問題的解決變得有條理、有順序。

［關(guān)鍵詞］ 包含除；等分除；單位化；結(jié)構(gòu)化

度量意識(shí)是學(xué)生在測(cè)量中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在解決除法問題時(shí)也有重要作用。為了方便表達(dá)與交流，在比較某些事物時(shí)人們常常設(shè)置一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量，用“單位”來量化研究對(duì)象，目的在于簡化解決問題的思維過程［１］。劉加霞教授稱這種解決問題的思維策略叫“單位化思想”。單位化思想有利于學(xué)生闡明思維過程，使思維有條理。單位化思想隱藏在“包含除”中，不易被提取出來使之明確化，導(dǎo)致學(xué)生在解決復(fù)雜的小數(shù)、分?jǐn)?shù)問題時(shí)容易混淆。

一、除法的兩種模型

除法就是不斷地減相同的數(shù)，把相同數(shù)看作一個(gè)單位，有幾個(gè)這樣的單位，商就是幾。它與單位化思想不謀而合。

除法的基礎(chǔ)是平均分，從分的過程來看，有兩個(gè)不同的模型，被研究者稱為“包含除”和“等分除”［２］。平均分的過程體現(xiàn)單位化思想，比如：12個(gè)蘋果，每3個(gè)裝一盤，可以裝幾盤？3個(gè)一盤，3就是題目中的單位，用這個(gè)單位去度量12，看12里面包含幾個(gè)3，學(xué)生很容易想到除法就是“不停地減去相同的數(shù)”。在教學(xué)整數(shù)除法時(shí)，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分的過程，讓學(xué)生通過操作“每幾個(gè)1份”，加深對(duì)“單位化思想”的理解；在教學(xué)小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法的意義時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生遷移知識(shí)，用除法的意義來理解新問題，比如2÷1/3，學(xué)生不會(huì)認(rèn)為是把2平均分成1/3份，而會(huì)思考2里面包含幾個(gè)1/3。

“等分除”更多體現(xiàn)“平均分”，幾個(gè)幾個(gè)地分，實(shí)際上是單位化思想［３］。比如“分物游戲”：15根骨頭，平均分給3只小狗，有幾種不同的分法？由于數(shù)字不大，學(xué)生說每只小狗分5根，實(shí)際上就是5根5根地分，5根是一個(gè)單位，這種分法是“包含除”。學(xué)生如果1根1根地分，會(huì)發(fā)現(xiàn)還剩很多，就大膽地調(diào)整為3根3根地分；然后對(duì)剩下的骨頭1根1根地分，可以說每一次“平均分”都有單位化思想。每一次調(diào)整的過程，學(xué)生都在思考“合適的單位”，經(jīng)歷調(diào)整“單位”的過程，加深對(duì)除法意義的理解。在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生常常根據(jù)乘法口訣或生活經(jīng)驗(yàn)很快得出1份有幾個(gè)，不再借助“合適的單位”，說明學(xué)生已有的知識(shí)對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)提出了更高要求。

二、教學(xué)中的偏頗

部分學(xué)生喜歡用“平均分”來解釋除法問題。比如，學(xué)生學(xué)習(xí)除法第一課“分物游戲”，這是學(xué)生第一次認(rèn)識(shí)平均分，強(qiáng)調(diào)要分得公平，每人一樣多，應(yīng)該“平均分”；學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”，再一次強(qiáng)化“平均分”的思想，把一張紙平均分成3份，其中的1份用分?jǐn)?shù)1/3表示，因此學(xué)生描述一個(gè)分?jǐn)?shù)時(shí)使用“平均分”；在學(xué)習(xí)“平均數(shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，除了“移多補(bǔ)少”的方法，學(xué)生知道把總數(shù)算出來再平均分成幾份，得到的數(shù)就是平均數(shù)；學(xué)習(xí)“小數(shù)除法”時(shí)，學(xué)生用“平均分”就無法解釋遇到的新問題。

比如，“誰打電話時(shí)間長”的問題：國內(nèi)電話費(fèi)0.3元1分鐘，笑笑花了5.1元，笑笑打了幾分鐘？有的學(xué)生將算式5.1÷0.3理解為“把5.1平均分成0.3份，每份是多少”，一些學(xué)生認(rèn)為不正確，因?yàn)橐郧捌骄殖蓭追輹r(shí)的“幾”是整數(shù)，現(xiàn)在卻是小數(shù)。于是筆者引導(dǎo)學(xué)生回到題目情境，把0.3元看作1份，看5.1元里包含幾個(gè)0.3元，有幾個(gè)0.3就有幾分鐘。教師引導(dǎo)學(xué)生將0.3看作此題中的“單位”，用它去度量5.1，讓學(xué)生用度量的思想理解除法的含義。教材多個(gè)地方強(qiáng)調(diào)“平均分”，造成學(xué)生對(duì)包含除的理解弱化的現(xiàn)象。

三、教材對(duì)兩種除法的安排

筆者發(fā)現(xiàn)教材比較重視“等分除”，對(duì)“包含除”較少關(guān)注。筆者對(duì)北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中各年段除法意義相關(guān)內(nèi)容的課時(shí)數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（見表1）。

從總體上看，筆者發(fā)現(xiàn)小學(xué)階段關(guān)于除法的運(yùn)算共計(jì)34課時(shí)，“等分除”有15課時(shí)，“包含除”有11課時(shí)，兩者皆涉及有8課時(shí)。而且在整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的除法教學(xué)時(shí)都是先教學(xué)“等分除”，再教學(xué)“包含除”，最后進(jìn)行融合學(xué)習(xí)?？梢?，教材力求平衡除法“等分除”與“包含除”兩種意義，不斷循環(huán)，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)除法意義的認(rèn)知螺旋上升。

單從某一年級(jí)看，又有偏向，特別是三年級(jí)下冊(cè)有8課時(shí)關(guān)于除法的內(nèi)容，如表2所示，其中有7課時(shí)都是“等分除”［４］。這一單元8課時(shí)內(nèi)容中，有6課時(shí)出現(xiàn)“平均分”。四年級(jí)只有2課時(shí)涉及“包含除”，數(shù)量較少，導(dǎo)致“平均分”在學(xué)生大腦里占據(jù)主導(dǎo)地位。學(xué)生對(duì)除法的理解習(xí)慣性認(rèn)為是“等分除”，這個(gè)單元具有推動(dòng)作用。但到了五年級(jí)，學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)除法時(shí)，無法理解復(fù)雜算式的意義，無法解決復(fù)雜的問題。在實(shí)踐教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)的困難集中出現(xiàn)在“人民幣兌換”這一內(nèi)容。

四、單位化思想的實(shí)踐

學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中較少涉及人民幣兌換的知識(shí)，與其他小數(shù)除法的問題相比，在解決這類題時(shí)出錯(cuò)率高。教學(xué)后，筆者針對(duì)常見的人民幣兌換問題對(duì)所教學(xué)的兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行測(cè)試，一班36人，二班47人，正確率統(tǒng)計(jì)如表3所示。

從結(jié)果看正確率最高的是一步計(jì)算，一班正確率達(dá)到100%，二班正確率是95%，明顯看出用乘法解決人民幣兌換問題最好。用除法解決問題時(shí)，兩個(gè)班的正確率分別下降到72.3%和86.1%，情況不是很好。在兩步混合計(jì)算中，兩個(gè)班的正確率都在83%左右。74000日元與100日元兌換多少人民幣，二者單位一樣，大部分學(xué)生利用單位化思想解決，只有少數(shù)學(xué)生不明白。如果匯率呈現(xiàn)100元的幣種與較大數(shù)額的幣種不一樣，需要轉(zhuǎn)化。如對(duì)于“100泰銖換23.28元人民幣，3400元人民幣換多少泰銖”，學(xué)生正確率約75%。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩類題進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，一類是用除法解決的問題，另一類是兌換率以100為單位呈現(xiàn)的題。為了讓學(xué)生真正理解其中的道理，用單位化思想解決問題時(shí)條理更清晰，筆者開展了教學(xué)實(shí)踐。

情境問題：淘氣和爸爸去香港迪士尼玩，成人票539港元，兒童票383港元，兩人門票共折合人民幣多少元？（當(dāng)時(shí)1元人民幣兌換1.15港元）

生1：以前我用“單位進(jìn)率”的思想來做，單位大化小用乘法，小化大用除法。但發(fā)現(xiàn)有些題不能用這種方法，比如，1元人民幣換多少港元，1港元換多少人民幣，搞不明白究竟用乘法還是用除法，要思考好一會(huì)兒。

生2：需要明白題目的意思才行，不能套用公式。門票是港元，就把1.15港元作為1份，看總數(shù)里有這樣的幾份，就能換幾個(gè)1元人民幣。

生1：你的意思是把1.15港元作為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，去度量539港元，看539里面包含幾個(gè)1.15，就知道能換多少人民幣。哦，那我知道了，用除法做。

為了強(qiáng)化單位化思想，筆者呈現(xiàn)了一組兩步計(jì)算的題。

情境問題：“五一”假期明明一家去日本旅游，5天共花了36000日元，折合人民幣多少元？（當(dāng)時(shí)100日元兌換人民幣6.42元）

生3：我以100日元為1份，36000里有這樣的360份；再利用份數(shù)×每份數(shù)=總數(shù)，就能得到結(jié)果。

生4：我先算1日元兌換人民幣多少元，再算36000日元兌換多少元人民幣。

為了讓學(xué)生更容易理解，筆者對(duì)每一種方法都畫了線段圖進(jìn)行說明，如圖1所示。

師：對(duì)比一下兩種方法，有什么相同的地方？

生5：我發(fā)現(xiàn)兩種方法都是以“1份”為單位來思考。第一種方法以100日元為1份，第二種以1日元為1份，先算出份數(shù)，再乘以每份數(shù)就得到結(jié)果。第二種的1份更小，線段也畫得更短。

師：1份可以是1，也可以是100，還可能是多少？

生6：1000、10000都可以。

生7：不是整百整千也可以，只要每份是相同的數(shù)。

學(xué)生說的“1份”就是一個(gè)單位，有了這樣的鋪墊，學(xué)生對(duì)復(fù)雜的問題也能順利解決。

情境問題：泰國學(xué)生小奇來到中國，買了一部價(jià)值2000元人民幣的手機(jī)，這部手機(jī)需要多少泰銖？（當(dāng)時(shí)100泰銖兌換人民幣23.28元，結(jié)果保留整數(shù)）

在沒有強(qiáng)調(diào)“份”之前，筆者對(duì)中等能力的學(xué)生小高進(jìn)行訪談，發(fā)現(xiàn)他說不清解題過程。小高認(rèn)為100泰銖為1份，2000元人民幣里有多少個(gè)100泰銖，顯然其思維是混亂的。

學(xué)習(xí)單位化思想后，小高認(rèn)為這道題不能把100泰銖作為1份，如圖2所示，要把23.28元人民幣看成1份，都是人民幣才能與2000元人民幣具有倍數(shù)關(guān)系，即2000元里有幾個(gè)23.28元，就有幾個(gè)100泰銖。

筆者調(diào)查了全班50人，有42人選擇以23.28元作為1份進(jìn)行思考，有8人選擇1元人民幣換多少泰銖，再算2000元人民幣換泰銖的總額。由此可見，單位化思想已經(jīng)植根在學(xué)生心中，使學(xué)生分析問題條理清晰，解決問題的能力得到了提高。

五、單位化視角下的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)

在解決問題的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)梳理單位化思想，發(fā)現(xiàn)不同問題之間的共同特征，形成結(jié)構(gòu)化思維，促進(jìn)知識(shí)的遷移。

比如，如圖3所示，兩摞同樣的紙，第一摞100張，第二摞大約有多少張？教師要引導(dǎo)學(xué)生用“份”數(shù)思想解決這一類問題，把1.2厘米高的紙看作1份，7.2厘米的紙有這樣的幾份，就有幾個(gè)100張。紙的張數(shù)不僅可以數(shù)出來，還可以通過測(cè)量高度算出來。

回顧教材，雖然場(chǎng)景不同，但到處都有單位化思想。比如，一捆鐵絲的長度不用靠長度單位測(cè)量出來，可以通過稱重量算出來；估算體育館有多少個(gè)座位時(shí)，可以把場(chǎng)館進(jìn)行區(qū)域劃分，每份差不多，數(shù)出其中1份，有這樣的幾份就能算出大概的座位數(shù)。

如圖4，估計(jì)數(shù)量時(shí)，同樣用到單位化“份”的思想，這成為解決問題的一個(gè)重要策略。

在分?jǐn)?shù)除法教學(xué)時(shí)，如圖5所示，教師要以單位化思想引導(dǎo)學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的意義、解釋算理、解決實(shí)際問題。

馬芯蘭老師認(rèn)為，乘除法、倍、比、分?jǐn)?shù)等知識(shí)以“份”的概念為核心生長起來，“在教學(xué)中，怎么重視‘份’這個(gè)概念都不為過”［５］。這里的“份”就是單位化的具體表現(xiàn)，也是理解除法意義的重要手段。

教師以單位化思想為主線，不僅可以提高學(xué)生對(duì)除法的認(rèn)識(shí)，加深對(duì)整數(shù)除法、小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法本質(zhì)的理解，還能讓學(xué)生串起分?jǐn)?shù)、比、倍等內(nèi)容與除法的聯(lián)系，提升學(xué)生以結(jié)構(gòu)化思維分析各種現(xiàn)象本質(zhì)的能力。

參考文獻(xiàn)：

［１］［３］ 劉加霞，孫海燕.單位化思想視角下的除法運(yùn)算本質(zhì)與教學(xué)建議［Ｊ］. 教學(xué)與管理，２０２１（２６）：５６－５８.

［２］ 林婕純. 基于單元整體教學(xué)的核心課例研究：以“除法的初步認(rèn)識(shí)”為例［Ｊ］. 小學(xué)數(shù)學(xué)教育，２０２１（Ｚ３）：１７－２０.

［４］ 張奠宙. 教材編寫要注意防止片面的思維定式：評(píng)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中忽視“包含除”的傾向［Ｊ］. 小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），２０１５ （９）：４－６.

［５］ 溫寒江. 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與創(chuàng)新能力培養(yǎng)：馬芯蘭教學(xué)法的研究與實(shí)踐［Ｍ］. 北京：北京科學(xué)技術(shù)出版社，２００６.