摘" "要：基于伯努利方程的本質(zhì)，厘清了當(dāng)前中學(xué)階段伯努利原理教學(xué)中存在的幾個(gè)困惑，指出了錯(cuò)用伯努利原理的幾種典型現(xiàn)象，糾正當(dāng)前的一些錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞：伯努利方程；機(jī)械能守恒；流線；壓強(qiáng)

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A " " 文章編號(hào)：1003-6148（2025）2-0065-4

伯努利方程是丹尼爾·伯努利（Ｄａｎｉｅｌ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ，１７００—１７８２）在１７２６年推出的理想流體定常流動(dòng)能量方程，是流體力學(xué)的基石之一。中學(xué)階段的教材只是通過觀察一些現(xiàn)象來歸納出這個(gè)原理，即“流體在流速大的地方壓強(qiáng)小，流速小的地方壓強(qiáng)大”，但伯努利原理的本質(zhì)和適用條件并沒有在教材中明確給出，使得中學(xué)階段伯努利原理教學(xué)中仍有一些尚待厘清的問題。在此，經(jīng)查閱資料，對(duì)一些典型問題進(jìn)行了闡釋。

１" " 為什么流速大壓強(qiáng)就會(huì)小

伯努利原理是基于伯努利方程得出的，而伯努利方程是根據(jù)機(jī)械能守恒定律推導(dǎo)出的。如圖１所示，對(duì)于在流管內(nèi)流動(dòng)的理想流體，如果流體機(jī)械能守恒，則在流管的前后兩處有

p1+ρv+ρgh1=p2+ρv+ρgh2

這就是伯努利方程，方程中ｐ1、ｐ2表示流體前后兩處的靜壓，ｖ1、v2表示相應(yīng)的流速，h1、h2表示流體前后兩處的高度，ρ表示流體的密度。伯努利方程也可以表達(dá)為

p+ρv2+ρgh=C

式中，Ｃ表示常數(shù)。當(dāng)流體的高度變化可以忽略時(shí)，伯努利方程就變成了

p+ρv2=C

由此方程便可得出“流體在流速大的地方壓強(qiáng)小”，人們習(xí)慣將此規(guī)律稱為伯努利原理。因此，之所以流速（ｖ）大壓強(qiáng)（ｐ）就會(huì)小，是因?yàn)闊o重力外的其他外力對(duì)流體做功時(shí)，等高流動(dòng)的流體機(jī)械能守恒。

２" " “流速”大小的參照物是地面嗎

課本并未強(qiáng)調(diào)所謂的“流速”究竟是以什么為參照物。不少師生認(rèn)為，根據(jù)初中教科書的定義，如果沒有特別說明參照物，那么參照物通常選地面。然而，這種觀點(diǎn)經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生矛盾。例如，在高速行駛的車內(nèi)進(jìn)行圖２所示的實(shí)驗(yàn)，會(huì)發(fā)現(xiàn)以地面為參照物，B處水流速度小壓強(qiáng)也小，這就出現(xiàn)矛盾了。之所以說B處水流速度小，是因?yàn)檎麄€(gè)裝置原本都隨車一起高速向左運(yùn)動(dòng)，B處水管更窄水會(huì)加速（速度小于車速），反而會(huì)使得B處水流相對(duì)地面的速度小于A處和C處，但B處液柱最低又說明B處壓強(qiáng)最小。之所以出現(xiàn)這種矛盾，是因?yàn)椴荒軐ⅰ傲魉俅髩簭?qiáng)小”中的“流速”理解為流體相對(duì)于地面的速度。那么“流速”大小的參照物究竟是什么呢？

事實(shí)上，根據(jù)伯努利方程的本質(zhì)，可以得出“流速”的參照物不是地面，而是流線本身。在運(yùn)用伯努利原理分析現(xiàn)象時(shí)，只能針對(duì)同一條流線前后比較流速的大小，因此流速的比較只有相對(duì)于同一流線上的不同位置才有意義。例如，對(duì)于圖３中的理想流體，流體從Ａ１處流到Ａ２處，機(jī)械能守恒；因?yàn)椋粒蔡幜黧w的流速比Ａ１處更大，所以Ａ２處流體的壓強(qiáng)比Ａ１處小。倘若將Ａ２處液體的流速與其他管道內(nèi)的流體比較，則無法得出壓強(qiáng)的大小關(guān)系。

３" " 為什么壓強(qiáng)的測(cè)量要在流體的“側(cè)面”

流體向各個(gè)方向都會(huì)產(chǎn)生壓強(qiáng)，那么所謂的“壓強(qiáng)小”，究竟應(yīng)該是流體哪個(gè)位置的壓強(qiáng)小呢？通常認(rèn)為流體“流速大壓強(qiáng)小”中的“壓強(qiáng)”指的是流體“側(cè)面”（圖４中Ａ處）的壓強(qiáng)，而非流體“正前方”（圖４中Ｂ處）的壓強(qiáng)。這種經(jīng)驗(yàn)與實(shí)際符合得比較好，但其本質(zhì)原因是什么呢？

事實(shí)上，伯努利方程中ρｖ２指的是單位體積流體的動(dòng)能，也可以表示為動(dòng)壓，即把定向流動(dòng)的流體速度減為零時(shí)動(dòng)能轉(zhuǎn)化成的壓（壓力勢(shì)能）。圖４中Ａ處（流體的“側(cè)面”）測(cè)得的壓強(qiáng)是靜壓（ｐ），Ｂ處（流體的“正前方”）測(cè)的則是靜壓（ｐ）和動(dòng)壓（ρｖ２）的總和，稱為總壓（也稱全壓）。皮托管（又稱空速管）是測(cè)量氣流總壓和靜壓以確定氣流速度的一種管狀裝置，不少飛機(jī)上都安裝了此裝置。圖５所示為皮托管原理圖，Ａ處測(cè)的是總壓，Ｂ處測(cè)的是靜壓，總壓與靜壓之差就是動(dòng)壓，根據(jù)動(dòng)壓的大小即可推出流體流速的大小。

根據(jù)p+ρｖ２=C，可得伯努利原理的本意是流速（ｖ）大的地方靜壓（ｐ）小。因此，“流速大的地方壓強(qiáng)小”中的壓強(qiáng)指的是流體“側(cè)面”（圖４中Ａ處）的壓強(qiáng)（靜壓），而不是流體“正前方”（圖４中Ｂ處）的壓強(qiáng)（全壓）。

４" " “流速大”和“壓強(qiáng)小”的因果關(guān)系是什么

伯努利方程是一個(gè)描述流體狀態(tài)方程的表達(dá)式，其中包含了流速、壓強(qiáng)和高度三個(gè)狀態(tài)量。伯努利方程中ρｖ２和ρｇｈ以及ｐ可以看成是三種能量，ρｖ２是單位體積流體的動(dòng)能，ρｇｈ是單位體積流體的重力勢(shì)能，ｐ除了表示靜壓外還可以表示單位體積流體的壓力勢(shì)能。當(dāng)理想流體無黏、定常流動(dòng)時(shí)，流體的動(dòng)能、壓力勢(shì)能和重力勢(shì)能組成一個(gè)“不變量”，而伯努利方程體現(xiàn)的就是這種機(jī)械能守恒的關(guān)系。

不少教師經(jīng)常把“流體在流速大的地方壓強(qiáng)小”錯(cuò)誤地理解成“因?yàn)樗俣却?，所以壓?qiáng)小”，然而這一因果關(guān)系并不是伯努利原理的本意。伯努利原理只是對(duì)流體機(jī)械能守恒現(xiàn)象的定性描述，其本身并不涉及任何因果關(guān)系。雖然可以用伯努利方程根據(jù)一個(gè)量計(jì)算出另一個(gè)量，但這種計(jì)算關(guān)系本身并不涉及任何物理上的因果關(guān)系。不能簡(jiǎn)單地將流速和壓強(qiáng)的變化歸因于彼此。事實(shí)上，這兩個(gè)量的變化是同時(shí)發(fā)生的，而不是一個(gè)量導(dǎo)致另一個(gè)量的變化［1］。

對(duì)于“流速大”和“壓強(qiáng)小”的因果關(guān)系，還可從因果律的本質(zhì)上進(jìn)行分析。因果律與時(shí)間有關(guān)，“因”在前，“果”在后?！傲魉俅蟆焙汀皦簭?qiáng)小”是同時(shí)發(fā)生的，因此沒有因果關(guān)系。

５" " 伯努利原理的微觀本質(zhì)是什么

從微觀角度分析，壓強(qiáng)是由分子的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)撞擊容器壁產(chǎn)生的（圖６）。若流體在機(jī)械能守恒的情況下宏觀流速增大，那么就會(huì)有一些分子不再撞擊容器壁，而是沿特定方向移動(dòng)，或者說分子的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)變得“整體”上比原來有序了（圖７），此時(shí)分子對(duì)容器壁的撞擊就會(huì)“整體”上減弱，宏觀上看就是對(duì)容器壁的壓強(qiáng)減小了。

６" " 伯努利原理任何情況下都成立嗎

伯努利方程是一個(gè)基于機(jī)械能守恒定律推導(dǎo)出的流體動(dòng)力學(xué)方程，并非任何情況下都成立。只有流體的機(jī)械能守恒時(shí)伯努利原理才成立，可將伯努利原理的限制條件歸納為以下四點(diǎn)。

（１）同一流線。即只能根據(jù)速度的大小得出同一流線上不同位置的壓強(qiáng)大小關(guān)系，不能直接跨流線進(jìn)行比較。

（２）不可壓縮。即流體必須是不可壓縮的，如果流體可以壓縮，那么在流動(dòng)過程中，壓力做的功將會(huì)有部分轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，流體的機(jī)械能不再守恒，伯努利方程也不再成立。

（３）無黏滯性。即流體的黏滯性必須可以忽略，如果流體的摩擦效應(yīng)或黏滯性效應(yīng)不可忽略，那么在流動(dòng)時(shí)機(jī)械能將會(huì)發(fā)生變化，伯努利方程也就不再成立。

（４）定常流動(dòng)。即除了流體本身的壓力和重力之外的力不能對(duì)流體做功，否則流體的機(jī)械能就不再守恒［2］。

因此，伯努利原理的完整表述應(yīng)當(dāng)為：對(duì)于定常流動(dòng)的理想流體，當(dāng)高度變化可以忽略時(shí)，同一流線上流速大的地方壓強(qiáng)?。?］。

現(xiàn)實(shí)中有相當(dāng)多的現(xiàn)象其實(shí)并不滿足以上條件，此時(shí)伯努利原理不成立。一個(gè)經(jīng)典的例子就是臺(tái)風(fēng)，圖８是典型強(qiáng)臺(tái)風(fēng)的風(fēng)速與氣壓分布圖，以地面為參照物，臺(tái)風(fēng)的中心流速和壓強(qiáng)都最小，并不滿足伯努利原理。

中學(xué)階段教學(xué)中，忽略伯努利方程的適用條件而錯(cuò)用伯努利原理的現(xiàn)象較為廣泛。例如，圖９中對(duì)著紙條上方吹氣，紙條會(huì)飄起來；圖１０中對(duì)著硬幣上方吹氣，硬幣會(huì)“跳”到杯子里；圖１１中對(duì)著杯子上方吹氣，乒乓球會(huì)“跳”起來。這些現(xiàn)象的經(jīng)典錯(cuò)誤解釋為：從口中吹出的氣流流速大壓強(qiáng)小……

事實(shí)上，這些例子中伯努利方程根本不成立。圖９—圖１１中的例子都涉及到“吹氣”，人通過肺部做功將空氣加速從口中吹出，這個(gè)過程中氣流的壓強(qiáng)保持不變，因?yàn)闆]有發(fā)生壓力勢(shì)能和動(dòng)能的轉(zhuǎn)換。氣流因?yàn)楸环巫龉Χ鴻C(jī)械能變大，此時(shí)伯努利方程不再成立。只有當(dāng)氣流在自身壓差力的作用下加速時(shí)，壓強(qiáng)才會(huì)減小，因?yàn)榇藭r(shí)壓力勢(shì)能會(huì)轉(zhuǎn)化為動(dòng)能。因此，從口中吹出的氣流其氣壓并沒有減小。同時(shí)，用伯努利原理解釋這些例子時(shí)都不可避免地會(huì)跨流線比較壓強(qiáng)，這些都違反了伯努利方程的限制條件。這些現(xiàn)象形成的原因，都與流體的黏性有關(guān)，此處不一一展開。

教師必須具備足夠的知識(shí)儲(chǔ)備，才能給予學(xué)生正確的指導(dǎo)。在中學(xué)階段講解伯努利原理時(shí)，雖然可以簡(jiǎn)化內(nèi)容，但必須確保所傳授的知識(shí)準(zhǔn)確無誤。不能用錯(cuò)誤的例子來解釋這一原理，更不能扭曲事實(shí)或講解錯(cuò)誤。對(duì)于不滿足伯努利方程的情況切不可用伯努利原理解釋，這樣才能保證物理學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性，為學(xué)生打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

［１］任少鐸．伯努利方程的本質(zhì)及機(jī)翼升力的教學(xué)分析［Ｊ］．物理教師，２０２３，４４（６）：６３－６５．

［２］易文彬，孟慶昌，鄧輝，等．伯努利方程教學(xué)設(shè)計(jì)中的若干問題［Ｊ］．力學(xué)與實(shí)踐，２０２１，４３（６）：９６７－９７２．

［３］朱緒力，滕桂榮，陳慶光，等．伯努利定理適用條件分析［Ｊ］．力學(xué)與實(shí)踐，２０１４，３６（１）：９２－９４．

（欄目編輯" " 蔣小平）