摘" "要：以2024年北京卷第20題為例，深入分析RC動態(tài)電路放電過程中各物理量的變化規(guī)律，并結(jié)合計算機作圖來實現(xiàn)定量模擬，從而準確把握導(dǎo)體棒的運動過程。最后，對高考試題進行教材溯源，給出教學(xué)建議。

關(guān)鍵詞：電磁感應(yīng)；RC動態(tài)電路；數(shù)值模擬；教材溯源

中圖分類號：G633.7 文獻標(biāo)識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2025）2-0047-5

電磁感應(yīng)中ＲＣ動態(tài)電路是近年來全國各地的高頻考點。２０２４年北京卷第２０題考查了電容器的放電過程，要求學(xué)生能在復(fù)雜情境中建立動力學(xué)模型，分析各物理量的變化規(guī)律，并定性畫出導(dǎo)體棒的運動圖像，具有較強的綜合性和創(chuàng)新性。為了更加清晰、準確地把握導(dǎo)體棒運動的全過程，有必要對各物理參量進行嚴謹?shù)亩炕芯?，以期為教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)提供參考。

１" " 原題再現(xiàn)

例題 （２０２４年北京卷第２０題）如圖1甲所示為某種“電磁槍”的原理圖。在豎直向下的勻強磁場中，兩根相距Ｌ的平行長直金屬導(dǎo)軌水平放置，左端接電容為Ｃ的電容器，一導(dǎo)體棒放置在導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，不計導(dǎo)軌電阻及導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的摩擦。已知磁場的磁感應(yīng)強度大小為Ｂ，導(dǎo)體棒的質(zhì)量為ｍ、接入電路的電阻為Ｒ。開關(guān)閉合前電容器的電荷量為Ｑ。

（１）求閉合開關(guān)瞬間通過導(dǎo)體棒的電流Ｉ；

（２）求閉合開關(guān)瞬間導(dǎo)體棒的加速度大?。?；

（３）在圖1乙中定性畫出閉合開關(guān)后導(dǎo)體棒的速度ｖ隨時間ｔ的變化圖線。

２" " 定性分析

在開關(guān)閉合的一瞬間，電容器充當(dāng)電源開始對外電路放電，電源電壓為兩極板間的電壓，即U=，所以此時流過導(dǎo)體棒的電流I==。再根據(jù)牛頓第二定律可知，安培力即為導(dǎo)體棒所受合力，此時有BIL=ma，故加速度a=。當(dāng)開關(guān)閉合后，由于導(dǎo)體棒受到向右的安培力，所以導(dǎo)體棒由靜止開始向右做加速運動，從而切割磁感線產(chǎn)生反電動勢，且反電動勢不斷增大。因此，電路中的總電動勢，等于電容器極板間的電壓與導(dǎo)體棒產(chǎn)生的動生電動勢之差。隨著電容器的持續(xù)放電，板間電壓不斷減小，直到與反電動勢相等時，回路電流為零，即安培力為零，放電過程截止，此時導(dǎo)體棒將以穩(wěn)定的收尾速度做勻速直線運動。綜上所述，導(dǎo)體棒由靜止開始做加速度減小的加速運動，導(dǎo)體棒的整個運動過程類似于機車恒功率啟動模型。

３" " 認知診斷與思維進階

自新高考實施以來，北京卷物理試題的呈現(xiàn)方式變?yōu)橐劳杏趧?chuàng)新情境，在物理觀念引領(lǐng)下，綜合應(yīng)用多種知識以求創(chuàng)造性地解決實際問題。例如，此題就是以教材習(xí)題為基礎(chǔ)，要求學(xué)生能類比常見物理模型，進而探討深層次問題。這是培養(yǎng)學(xué)生形成一系列核心素養(yǎng)（如運動與相互作用觀、能量觀、模型建構(gòu)和科學(xué)推理等）的具體體現(xiàn)。

３．１" " 注重過程分析，回歸數(shù)理內(nèi)涵

問題的完整表征是促進思維進階的重要環(huán)節(jié)。學(xué)生在定性分析本題并得出正確結(jié)果后，是否會進一步深入思考如下問題：

（１）電路是否可以不計任何電阻？

（２）電容器放電曲線是怎樣的形式？

（３）導(dǎo)體棒在運動過程中，回路存在哪些形式的能量轉(zhuǎn)化？

（4）電容器放電結(jié)束時，最終所帶電量是否為零？

（5）如果電路趨于穩(wěn)定后電容器帶電量不為零，如何計算整個過程中流經(jīng)導(dǎo)體棒的電量？

這些問題的定量探究在２０２４年全國甲卷物理壓軸題中均有所體現(xiàn)。通過對ＲＣ電路運用嚴謹?shù)臄?shù)理分析，并輔以圖像的形式展示各物理量隨時間的變化規(guī)律，將會使電容器的放電過程變得更清晰可見。歷經(jīng)嚴謹?shù)臄?shù)理回歸和圖像表征，有助于學(xué)生進一步理解教材概念“微元法”的本質(zhì)，從而強化其模型建構(gòu)和推理論證等關(guān)鍵能力的培養(yǎng)。

３．２" " 開展深度教學(xué)，促進教學(xué)相長

在實際教學(xué)中還發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生在面對含容直流電路時，由于電容器具有“隔直流，通交流”的作用，誤以為閉合開關(guān)瞬間，回路中不會有電流流過導(dǎo)體棒。造成這種認知偏差的原因是教師在平時教學(xué)時通常以陳述知識為主，直接拋出結(jié)論，過多注重結(jié)構(gòu)良好問題，而忽視結(jié)構(gòu)不良問題對學(xué)生關(guān)鍵能力的培養(yǎng)。長此以往，學(xué)生一旦形成“拿來主義”的認知理念，在面對陌生情境時就容易產(chǎn)生思維定式。因此，教學(xué)中應(yīng)該重視對物理過程的深入探究。當(dāng)教師呈現(xiàn)出放電曲線時，可以直觀展示出電容器放電過程是指數(shù)衰減規(guī)律，即有效放電時間很短，而非沒有電流。只有平時注重對規(guī)律本質(zhì)的深度理解和物理方法的培養(yǎng)，才能引導(dǎo)學(xué)生掌握必備知識，形成關(guān)鍵能力，同時也是提升教師教學(xué)研究能力的有效途徑。

４" " 定量分析

下面將從動力學(xué)和能量觀兩方面，運用數(shù)理分析手段，深入剖析ＲＣ電路從暫態(tài)到穩(wěn)態(tài)過程中，導(dǎo)體棒的運動情況及各物理量的變化規(guī)律［１］。

首先，對導(dǎo)體棒進行動力學(xué)理論分析：

選取電容和導(dǎo)體棒所在的閉合回路，ｑ為流過導(dǎo)體棒的電荷量，根據(jù)基爾霍夫電壓定律可知

-BLv=iR（１）

由牛頓第二定律有

FA=BiL=ma（２）

對（１）（２）式，等式兩邊同時微分可得

-dq-BLdv=Rdi（３）

BLdi=mda（４）

由電流的定義式可知

i=（５）

再對導(dǎo)體棒列動量定理

BLidt=mdv（６）

聯(lián)立（２）（３）（４）（５）（６）式可得

da=-（+）adt（７）

再對（７）式兩邊同時積分有

da=-（+）dt（８）

根據(jù)上文定性分析部分可知a0=，代入上式計算可得

a=e（９）

顯然，加速度隨時間ｔ呈指數(shù)衰減，當(dāng)ｔ＝０時，a=a0=，即為本題第（2）問答案；當(dāng)t→∞時，ａ＝０，電路趨于穩(wěn)定狀態(tài)。

由加速度的定義可知

dv=edt（１０）

積分可得導(dǎo)體棒運動的速度函數(shù)為

v=（1-e）（１１）

不難看出，速度隨時間是單調(diào)遞增的，當(dāng)t→∞時，vmax=，且收尾速度與電阻參量無關(guān)，電阻的作用只是延緩了電路從暫態(tài)趨于穩(wěn)態(tài)的時間，并不改變最終結(jié)果。雖然最大速度與電阻無關(guān)，但為了更加清楚地看出電阻的“阻礙”效果，可以利用Ｏｒｉｇｉｎ軟件進行數(shù)值模擬。不妨?。遥剑焙停遥剑保?，其余參量均設(shè)置為１，在同一坐標(biāo)系中，繪制出速度ｖ（左側(cè)縱軸）及其導(dǎo)函數(shù)即加速度ａ（右側(cè)縱軸）的時間圖像，如圖２所示。

由圖２可以直觀地看出，無論阻值多大，加速度最終都會趨近于０，速度趨近于０．５，且阻值越大，延緩效果越明顯，電路趨于穩(wěn)態(tài)所需的時間就越長，這與理論分析結(jié)果吻合。綜上所述，導(dǎo)體棒做加速度減小的加速運動。

再來分析整個過程中回路電流及電荷量隨時間的變化規(guī)律：

將（９）式代入（2）式，整理可得回路電流隨時間的函數(shù)關(guān)系為

i=e（１２）

顯然，電流隨時間也是呈指數(shù)衰減的，當(dāng)t→∞時，ｉ＝０，此時電容器極板間的電壓恰好等于導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢。

又因為dｑ＝ｉdｔ，所以等式兩邊同時積分可得

dq=edt（１３）

換元積分可得

q=（1-e）（１４）

可以發(fā)現(xiàn)電荷量隨時間呈單調(diào)遞增關(guān)系，當(dāng)t→∞時，qmax=，即電路達到穩(wěn)態(tài)時，最終流過導(dǎo)體棒的電荷量也與電阻參量無關(guān)。為了更加清楚地看出阻值大小對電路穩(wěn)態(tài)進程的影響，可以固定其他參量均為１，分別取Ｒ＝ ０、１、１５，在同一坐標(biāo)系中，繪制出電荷量ｑ（左側(cè)縱軸）及其導(dǎo)函數(shù)即電流ｉ（右側(cè)縱軸）的時間圖像，如圖３所示。

由圖３可知，電荷量隨時間遞增，電流則相反。無論阻值多大，流經(jīng)導(dǎo)體棒的電荷量最終都趨向于一定值０．５，電流趨近于０。隨著電阻的增大，二者趨向于定值的速度越來越慢，即電路達到穩(wěn)定狀態(tài)所需的時間越長，與上述理論分析結(jié)果一致。再考慮極限情況，若Ｒ＝０，則電流恒為０，導(dǎo)體棒感應(yīng)電動勢始終等于電容器極板間的電壓，運動瞬間可以達到穩(wěn)定狀態(tài)，即放電過程不需要時間就能完成。因此，在電容放電問題中需要設(shè)置外電阻，這也就回答了學(xué)生一開始思考的“電路是否可以不計任何電阻”這一關(guān)鍵問題。

最后，分析能量的轉(zhuǎn)化：

由于回路有電阻，因此會伴隨能量的損耗，令產(chǎn)生的焦耳熱為ＷＲ。將（１２）式代入焦耳定律有

ＷＲ=（e）2Rdt（１５）

計算化簡可得

ＷＲ=（1-e）（１６）

顯然，ＷＲ單調(diào)遞增，當(dāng)電路穩(wěn)定時

ＷＲmax=（１７）

由上文分析可知，導(dǎo)體棒做加速度減小的加速運動，穩(wěn)定時導(dǎo)體棒獲得最大動能，即動能為

dEk=mvdv=mvadt（１８）

將（９）（１１）式代入（１８）式，化簡可得

Ek=（e-e）dt

（１９）

換元積分可得

Ek=

（1+e）-e（２０）

當(dāng)電路穩(wěn)定時，即

Ｗkmax==mv（２１）

在整個電路中，電容屬于動態(tài)儲能元件，根據(jù)電容器儲能公式可知，一開始儲存的電場能為

W=CU=（２２）

由于此過程是一個放電過程，令電容器釋放的電場能為ＷCｔ，則

ＷCｔ=UCdq=dq=

dq-qidt（２３）

將（１２）（１４）式代入（２３）式，化簡可得

ＷCｔ=（1-e）-

（e-e）dt（２４）

對（２４）式換元積分可得

ＷCｔ=（1-e）-

（1+e）-e（２５）

當(dāng)電路穩(wěn)定時，即全過程電容器釋放的電場能為

ＷCtmax=（２６）

將（１６）式與（２０）式相加，恰好等于（２５）式；再考慮特殊情況，當(dāng)t→∞時，觀察（１７）（２１）（２６）式不難發(fā)現(xiàn)

+=（２７）

即電容器釋放的電場能時刻等于回路電阻產(chǎn)生的焦耳熱與導(dǎo)體棒運動的動能之和，這也是能量守恒在ＲＣ動態(tài)電路中的具體體現(xiàn)。上述分析進一步表明，含容電路在無外力驅(qū)動的條件下，達到穩(wěn)態(tài)時能量參量均與電阻因子無關(guān)，電阻只是延緩了電路趨于穩(wěn)態(tài)的時間，電阻越大，延緩效果越明顯，這與文獻［２］中充電形式下得到的結(jié)論是一致的。

為了更加直觀地展現(xiàn)出ＷＲ、Ｅｋ、ＷCｔ三者的變化規(guī)律，方便起見，?。遥剑保?，其他參量設(shè)置為１，在同一坐標(biāo)系下繪制出不同形式的能量隨時間變化的圖像，如圖４所示。

可以看出，電容器釋放的能量、回路損失的能量及導(dǎo)體棒獲得的動能均隨時間呈遞增規(guī)律，但增幅逐漸減小，最終都趨向于穩(wěn)定值，且在任意時刻，電場釋放的能量都等于焦耳熱與動能之和。圖像直觀驗證了文中理論研究結(jié)果的正確性，根據(jù)圖像可知，當(dāng)電路穩(wěn)定后，釋放的電場能約為０．３７，小于初始電場能０．５，這表明，放電截止時電容器極板間所帶電量并不為零。

５" " 教學(xué)啟示

５．１" " 立足評價體系，助推核心素養(yǎng)

在《中國高考評價體系》的引導(dǎo)下，堅持“一核”“四層”“四翼”的總體要求，２０２４年北京卷試題命制凸顯基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，同時也展現(xiàn)了自己的特色［３］。此題在學(xué)生已熟練掌握勻變速直線運動的基礎(chǔ)上進一步深入考查變加速直線運動，從特殊到一般的分析過程體現(xiàn)了學(xué)生運用已有知識靈活處理問題的創(chuàng)新能力，是一道值得品鑒和反復(fù)推敲的好題。此外，電磁感應(yīng)類考題往往以力電綜合形式呈現(xiàn)，需要學(xué)生具備較強的分析推理能力，這要求教師在平時教學(xué)時要循循善誘，不斷引導(dǎo)學(xué)生在陌生情境中理清知識脈絡(luò)，發(fā)展多重思維，將核心素養(yǎng)落到實處。

５．２" " 深挖教材內(nèi)涵，促進教考銜接

教材是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的一手資源，同時也為高考命題專家提供了豐富的情境素材和靈感源泉。高三備考階段要充分挖掘教材問題、課后習(xí)題、拓展學(xué)習(xí)等欄目的教學(xué)功能，將隱性知識顯性化。此題的同源情境在多種版本教材中均有出現(xiàn)。例如，人教版教材必修第三冊第十章第4節(jié)“電容器的電容”中的“拓展學(xué)習(xí)”欄目，應(yīng)用傳感器觀察電容器的放電過程，通過計算機作圖繪制出了ＲＣ動態(tài)電路的放電曲線（ｉ－ｔ圖像），并提出思考問題：ｉ－ｔ圖像的面積代表什么物理意義？怎樣根據(jù)圖像估算電容器在放電過程中釋放的電荷量及拓展思考充電曲線的形狀［４］，這正是“微元思想”在此類問題中的具體應(yīng)用。再如，魯科版教材選擇性必修第二冊第一章章末練習(xí)第６題，以電磁軌道炮彈為情境，考查ＲＣ電路的放電過程，并求解金屬棒剛開始運動時的加速度大?。郏担荨２浑y發(fā)現(xiàn)，２０２４年北京卷這道高考試題正是該課后習(xí)題的縮影。因此，在習(xí)題教學(xué)中要積極引導(dǎo)學(xué)生重視教材、用好教材，加強對基本概念和基本模型的歸納總結(jié)，夯實學(xué)生物理素養(yǎng)的根基。

５．３" " 把握教學(xué)難度，提升關(guān)鍵能力

電磁感應(yīng)作為高中物理綜合性最強的知識模塊，通常涉及復(fù)雜的動力學(xué)分析、能量、動量及電路問題的綜合運用，尤其是含容電路的定量研究，往往會涉及競賽層面的知識。建議在平時教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)拓寬知識結(jié)構(gòu)，注重探索復(fù)雜問題情境，從現(xiàn)象中尋找事物所蘊含的物理特征，運用多學(xué)科知識解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)科關(guān)鍵能力，聚焦學(xué)科核心素養(yǎng)。在面對復(fù)雜問題的探究時，可以將信息技術(shù)融入物理課堂，以可視化方式呈現(xiàn)物理規(guī)律，使學(xué)生更清晰地把握運動過程的全貌。 參考文獻：

［１］中華人民共和國教育部．普通高中物理課程標(biāo)準（２０１７年版２０２０年修訂）［S］．北京：人民教育出版社，２０２０．

［２］蔣達東，黃得清．對“電容＋金屬棒”經(jīng)典模型的深度解析［Ｊ］．物理教學(xué)，２０２４，４６（５）：５０－５２．

［３］教育部考試中心．中國高考評價體系［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１９．

［４］彭前程，黃恕伯．普通高中教科書物理必修第三冊［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１９．

［５］廖伯琴．普通高中教科書物理選擇性必修第二冊［Ｍ］．濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，２０１９．

（欄目編輯" " 陳" 潔）