一、教學(xué)內(nèi)容與核心素養(yǎng)目標(biāo)

（一）教學(xué)內(nèi)容

“二次函數(shù)”是北師大版初中數(shù)學(xué)九年級下冊第二章的內(nèi)容，與此前學(xué)習(xí)的一元二次方程、一次函數(shù)和反比例函數(shù)密切相關(guān)，也是高中學(xué)習(xí)函數(shù)、解析幾何和不等式的基礎(chǔ)。

（二）核心素養(yǎng)目標(biāo)

1.數(shù)學(xué)眼光：培養(yǎng)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)世界中觀察數(shù)量關(guān)系和空間形式的能力，以及對數(shù)學(xué)規(guī)律的敏銳觀察和感知能力；從生活現(xiàn)象導(dǎo)入學(xué)習(xí)二次函數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生從生活中提取數(shù)學(xué)問題，完成建模的意識，引導(dǎo)其形成基礎(chǔ)的數(shù)感、量感和空間觀念，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)知能力，逐步內(nèi)化為觀察世界的思維習(xí)慣。

2.數(shù)學(xué)思維：在課堂活動中發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力。其重點(diǎn)在于幫助學(xué)生掌握根據(jù)已知條件進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)推理、系統(tǒng)分析的思維方式，使其面對數(shù)學(xué)問題時(shí)，能夠條分縷析，秉持科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，進(jìn)而培養(yǎng)高階思維，深刻理解數(shù)學(xué)概念，形成注重邏輯性的思維品質(zhì)。

3.數(shù)學(xué)語言：鍛煉學(xué)生用數(shù)學(xué)語言精確表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的能力，課堂上組織符號運(yùn)算、圖象分析等活動，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)據(jù)、圖表等方式描述二次函數(shù)中的數(shù)量關(guān)系和空間特征，逐步形成用數(shù)學(xué)語言交流的習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：突出二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特性與圖象特征，幫助學(xué)生掌握其圖象的開口方向、頂點(diǎn)和對稱軸等特征，理解其數(shù)量關(guān)系及在不同問題中的表現(xiàn)形式。

教學(xué)難點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)建模能力，引導(dǎo)其從具體情境中提煉數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用二次函數(shù)知識構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，在解題過程中逐步提升推理能力。

三、教學(xué)準(zhǔn)備

教具準(zhǔn)備：準(zhǔn)備多媒體設(shè)備、幾何畫板以及相關(guān)的學(xué)習(xí)資料，以便在課堂上展示二次函數(shù)的圖象和特性，借助可視化工具幫助學(xué)生直觀地理解函數(shù)的性質(zhì)。

預(yù)習(xí)準(zhǔn)備：要求學(xué)生自主預(yù)習(xí)二次函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，提前熟悉函數(shù)的定義、表達(dá)式及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用，為課堂深入探討二次函數(shù)的特性和實(shí)際應(yīng)用做鋪墊。

四、教學(xué)過程

（一）引入情境，吸引數(shù)學(xué)目光

師：同學(xué)們，今天我們來思考一個(gè)問題。大家有沒有玩過投籃或者看過踢出去的足球的軌跡？你們覺得它們在空中的運(yùn)動軌跡是怎樣的？

生：球的行動軌跡會形成一條弧線，看起來像課本里介紹的拋物線。

師：（展示一個(gè)拋物運(yùn)動軌跡的圖象，圖象中顯示出清晰的拋物線形狀。）仔細(xì)觀察這個(gè)圖象，大家覺得這個(gè)弧線形的軌跡和我們之前學(xué)習(xí)的圖形有什么相似之處？

生：看起來像一條弧線，但應(yīng)該不是圓弧，而是拋物線。

師：預(yù)習(xí)了的同學(xué)們肯定知道：拋物運(yùn)動可以用數(shù)學(xué)函數(shù)來表示，而二次函數(shù)正是描述這種軌跡的數(shù)學(xué)表達(dá)式之一。我們以投籃和拋物運(yùn)動為例，繼續(xù)觀察數(shù)學(xué)中的二次函數(shù)。現(xiàn)在我們來思考一個(gè)問題：當(dāng)我們將物體投擲出去時(shí)，除了弧形的運(yùn)動軌跡外，這個(gè)圖形還有什么樣的特征？

生：它是對稱的，左邊和右邊的形狀看起來一樣。

師：對！這是一個(gè)非常重要的發(fā)現(xiàn)。大家知道形狀的對稱性在數(shù)學(xué)上是如何表示的嗎？

生：可以用對稱軸表示。

師：沒錯(cuò)。二次函數(shù)的圖象正是圍繞對稱軸左右對稱的。大家覺得觀察到對稱性和弧線形狀，能否幫助我們理解這個(gè)函數(shù)的圖象？

生：能。

（設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)借助投籃和拋物運(yùn)動等生活中的實(shí)例引入二次函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)學(xué)的應(yīng)用情境，并建立對數(shù)學(xué)觀察的視角。教師鼓勵(lì)學(xué)生觀察生活現(xiàn)象，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“數(shù)學(xué)眼光”，使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念有更強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)理解。）

（二）先行探究，建立直觀認(rèn)識

師：（展示一次函數(shù)圖象）在開始二次函數(shù)的學(xué)習(xí)之前，我們先回顧一下之前學(xué)習(xí)的一次函數(shù)。一次函數(shù)的圖象是什么形狀？

生：一次函數(shù)的圖象是一條直線。

師：那么，大家覺得一次函數(shù)圖象有什么特性？比如，它的斜率或者方向和什么有關(guān)？

生：一次函數(shù)的斜率決定了圖象的方向。斜率為正時(shí)，圖象向上；斜率為負(fù)時(shí)，圖象向下。

師：二次函數(shù)的圖象是一條曲線。接下來，我們就來探索一下這種曲線的特性。請大家在幾何畫板上輸入不同的二次函數(shù)表達(dá)式，如y=x2，y=-x2+2x+3等，并觀察這些圖象的開口方向和特征。

（教師展示幾何畫板操作步驟，并逐步引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象的開口方向和對稱性。）

師：大家看一下，二次函數(shù)的圖象是否像一次函數(shù)一樣，呈現(xiàn)出一條直線？

生：不是的。它是一條曲線。

師：很好。觀察一下這些曲線，當(dāng)a的符號不同，即a是正數(shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，圖象的開口方向是怎樣的？

生：當(dāng)a為正時(shí)，圖象開口向上；當(dāng)a為負(fù)時(shí)，圖象開口向下。

師：很好。我們還觀察到二次函數(shù)的圖象有對稱特性，這個(gè)特性是什么？

生：二次函數(shù)圖象關(guān)于一條豎直線對稱。

師：對！這條豎直線稱為對稱軸，它將二次函數(shù)的圖象一分為二，使圖象左右對稱。大家可以試著觀察，看看對稱軸的具體位置和二次函數(shù)表達(dá)式中的哪些參數(shù)有關(guān)系。

生：好像與c和a有關(guān)。

師：對，這就是我們下一步要探討的內(nèi)容。請大家在幾何畫板中改變a和c的值，觀察對稱軸的位置如何變化，并將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律記錄下來。

（設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)借助幾何畫板的動態(tài)演示，幫助學(xué)生直觀觀察和感受二次函數(shù)圖象的特性，了解圖象的開口方向和對稱性及其決定因素，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和抽象思維，強(qiáng)化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中“數(shù)學(xué)眼光”的培養(yǎng)。）

（三）深度推理，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

師：二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式是y=ax2+bx+c（在黑板上呈現(xiàn)）?，F(xiàn)在我們具體分析這個(gè)表達(dá)式中的各個(gè)參數(shù)，看看它們分別對圖象有什么樣的影響。大家覺得a、b和c分別可能會控制二次函數(shù)的哪些特征？

生：a決定了開口方向和圖象的寬度；b可能與對稱軸的位置有關(guān)，c影響圖象在y軸上的位置。

師：很好！接下來，我們來推導(dǎo)一下頂點(diǎn)和對稱軸的表達(dá)式。在推導(dǎo)過程中，大家會進(jìn)一步理解二次函數(shù)圖象的具體結(jié)構(gòu)。請大家認(rèn)真看。

（教師展示配方法推導(dǎo)頂點(diǎn)和對稱軸公式的過程，詳解每個(gè)步驟并給出結(jié)果。）

師：我們推導(dǎo)得到了頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=-■，這條對稱軸將二次函數(shù)圖象左右分開，也就是我們剛才觀察到的圖象的對稱特性。大家有什么問題嗎？

生：沒有問題，明白了對稱軸公式的推導(dǎo)過程。

師：很好。那a的數(shù)值對圖象的開口有什么影響呢？接下來，請大家在幾何畫板中嘗試改變a的值，從a=1到a=3，觀察圖象是如何變化的。（學(xué)生在幾何畫板中操作，觀察圖象開口的變化。）

生：當(dāng)a增大時(shí)，圖象的開口變窄；當(dāng)a減小時(shí)，圖象的開口變寬。

師：對，a的大小確實(shí)決定了圖象開口的大小。大家是否還觀察到c的值對圖象的影響？

生：c的值影響圖象的上下位置，它可以決定圖象在y軸的截距。

師：沒錯(cuò)，c項(xiàng)控制了圖象在y軸上的高度。通過a、b和c三個(gè)參數(shù)，我們可以基本控制二次函數(shù)圖象的形態(tài)。大家覺得這樣的控制方式有什么作用？

生：這樣可以根據(jù)實(shí)際需要來調(diào)整函數(shù)圖象的形狀，使它符合實(shí)際應(yīng)用。

師：很好！這就是二次函數(shù)的一個(gè)重要應(yīng)用。通過這些數(shù)學(xué)關(guān)系，我們可以在現(xiàn)實(shí)生活中運(yùn)用二次函數(shù)模型解決各種問題。

（設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)采用配方法推導(dǎo)二次函數(shù)的頂點(diǎn)和對稱軸公式，引導(dǎo)學(xué)生在推導(dǎo)過程中理解二次函數(shù)解析式與圖象特性的關(guān)系；利用實(shí)際操作、動態(tài)展示和參數(shù)分析步驟，幫助學(xué)生掌握圖象的變化規(guī)律，培養(yǎng)邏輯推理和批判性思維能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“數(shù)學(xué)思維”。）

（四）應(yīng)用情境，構(gòu)建模型意識

師：同學(xué)們，現(xiàn)在我們來看看拋物線軌跡的問題。假設(shè)你們在一次投籃比賽中，投出的籃球在空中形成了一條弧線?，F(xiàn)在請思考：這種運(yùn)動軌跡能用我們學(xué)過的二次函數(shù)來描述嗎？

生：可以，這個(gè)弧線就像我們學(xué)的二次函數(shù)圖象，是一種拋物線。

師：很好！那如果我給出一些條件，比如，球的最高點(diǎn)距離地面2米，籃球出手點(diǎn)到最高點(diǎn)的水平距離是3米，大家能用這些數(shù)據(jù)來建立一個(gè)二次函數(shù)模型嗎？

師：首先我們需要確定拋物線的頂點(diǎn)位置。根據(jù)題目條件，最高點(diǎn)就是頂點(diǎn)，坐標(biāo)為（3，2）。設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx+c，那么，如何根據(jù)已知條件求出a、b、c的具體值？

生：可以將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式來求出參數(shù)。

師：對。我們還需要其他兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)來確定這些參數(shù)。在投籃開始時(shí)，球在地面位置，設(shè)這個(gè)位置的坐標(biāo)為（0，0）。還有沒有其他可用的條件？

生：如果知道球到達(dá)籃筐的高度和位置，可以將其作為第三個(gè)點(diǎn)。

師：非常好！當(dāng)我們擁有了三個(gè)點(diǎn)，就可以確定二次函數(shù)的表達(dá)式了。接下來，讓我們代入這些坐標(biāo)來求解函數(shù)解析式，并畫出投籃軌跡的拋物線圖。

（設(shè)計(jì)意圖：提供與學(xué)生生活相關(guān)的投籃實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生利用實(shí)際問題構(gòu)建二次函數(shù)模型，理解二次函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用。利用建立模型的過程培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、模型意識以及實(shí)際應(yīng)用能力，符合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“數(shù)學(xué)建?！迸c“應(yīng)用意識”要求。）

（五）合作交流，提升表達(dá)能力

師：同學(xué)們，接下來大家根據(jù)自己的喜好分成小組，每組選擇一個(gè)生活中的二次函數(shù)應(yīng)用場景，如拋物線軌跡、水柱噴射或建筑物弧形結(jié)構(gòu)。請你們討論如何運(yùn)用二次函數(shù)模型來描述這一現(xiàn)象，并用精確的數(shù)學(xué)語言和符號表達(dá)出來。

（教師分組并布置任務(wù)，每組領(lǐng)取不同的應(yīng)用場景。學(xué)生開始討論，分析如何應(yīng)用二次函數(shù)來構(gòu)建場景中的數(shù)學(xué)模型。）

生：我們小組選擇了噴水池的水柱噴射軌跡。假設(shè)水柱噴射出的高度是頂點(diǎn)，我們設(shè)這個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4）。大家認(rèn)為接下來該如何做？

生：可以將噴水點(diǎn)設(shè)為原點(diǎn)（0，0），然后代入公式y(tǒng)=ax2+bx+c。接著，利用頂點(diǎn)的坐標(biāo)求出a、b和c的具體值。

生：把這些數(shù)據(jù)代入解析式，我們就可以得到模型，然后畫出圖象就能直觀展示這個(gè)過程。

（學(xué)生在幾何畫板上操作，代入不同參數(shù)，建立模型并繪制函數(shù)圖象，觀察結(jié)果。）

師：很好。每組都有了模型。接下來，我們展示和討論各自的模型和解題思路，特別注意在表達(dá)過程中運(yùn)用數(shù)學(xué)符號，清晰表述每一個(gè)步驟及結(jié)果。

小組1展示：

生：我們小組選擇的例子是拱橋的形狀。設(shè)拱橋的最高點(diǎn)為頂點(diǎn)（5，8），橋底的跨度為10米，因此可以設(shè)定拱橋的另一端點(diǎn)為（0，0）。然后我們代入這些已知點(diǎn)，求出模型表達(dá)式為y=-0.32x2+3.2x。對稱軸在x=5處，拱橋圖象的開口向下，且左右對稱。

師：解釋得非常清楚，尤其是運(yùn)用了對稱軸的特性，使模型更加準(zhǔn)確。這樣的方法是否可以用于其他類似的場景呢？

生：可以。二次函數(shù)的對稱性和開口方向非常適合描述類似的弧形結(jié)構(gòu)。

小組2展示：

生：我們組選擇的是噴泉水柱的噴射軌跡，設(shè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為（4，8），噴泉口位置為（0，0）。通過計(jì)算，得到二次函數(shù)的解析式為y=-0.5x2+4x。圖象顯示水柱的對稱軸位于x=4的位置。我們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)模型不僅可以描述水柱的軌跡，還能用于其他拋物形的拋物線運(yùn)動。

師：很棒的發(fā)現(xiàn)。通過觀察和實(shí)際建模，你們發(fā)現(xiàn)了二次函數(shù)在描述對稱運(yùn)動方面的優(yōu)勢，這是數(shù)學(xué)模型的一個(gè)重要特性。

（設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過小組討論和展示，學(xué)生在協(xié)作中逐步提升數(shù)學(xué)表達(dá)能力，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)語言和符號清晰表達(dá)思維過程，不斷提升表達(dá)技巧，鍛煉“數(shù)學(xué)表達(dá)”。）

（六）總結(jié)提升，內(nèi)化數(shù)學(xué)素養(yǎng)

師：我們探討了二次函數(shù)的圖象特征及其實(shí)際應(yīng)用，大家能不能總結(jié)一下二次函數(shù)在描述生活中的拋物線現(xiàn)象時(shí)的優(yōu)勢？

生：可以更直觀地描述運(yùn)動軌跡和弧形結(jié)構(gòu)，描述物體的拋物運(yùn)動。

師：很好！二次函數(shù)的對稱性、頂點(diǎn)和開口方向等特性，能讓我們清晰理解圖象的結(jié)構(gòu)和變化。大家思考一下，如果遇到一個(gè)實(shí)際問題，需要構(gòu)建一個(gè)數(shù)學(xué)模型時(shí)，通常應(yīng)該怎么做？

生：首先觀察實(shí)際問題的特征，然后選擇適合的數(shù)學(xué)工具建立模型。

師：非常好！模型是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的橋梁，我們可以用數(shù)學(xué)模型的建立、求解和解釋，進(jìn)一步將二次函數(shù)的知識與應(yīng)用結(jié)合起來。希望大家在今后的學(xué)習(xí)和生活中，多多運(yùn)用數(shù)學(xué)視角去觀察和分析問題！

（設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生梳理知識框架和解題思路，總結(jié)課堂內(nèi)容，內(nèi)化二次函數(shù)的知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。學(xué)生自我反思總結(jié)，可以在加深對數(shù)學(xué)工具的理解的同時(shí)，增強(qiáng)應(yīng)用意識，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。）

五、課堂小結(jié)

本節(jié)課圍繞二次函數(shù)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)展開，以解析式y(tǒng)=ax2+bx+c的形式揭示其獨(dú)特的對稱性、開口方向以及頂點(diǎn)位置。剖析二次項(xiàng)系數(shù)a的符號和大小，探討其對圖象開口方向及弧線寬窄的控制，使學(xué)生初步掌握二次函數(shù)的基本特征：b影響對稱軸位置，使其左右平移；c則直接決定函數(shù)圖象在y軸的截距，從而影響圖象縱向的具體位置。改變每一項(xiàng)取值，可使二次函數(shù)圖象呈現(xiàn)出豐富的變化，而這些特性賦予二次函數(shù)描述現(xiàn)實(shí)拋物形軌跡的數(shù)學(xué)優(yōu)勢。

六、課后作業(yè)

請結(jié)合實(shí)際生活中的情境，觀察并尋找其他具有二次函數(shù)關(guān)系的現(xiàn)象，分析其圖象特征及規(guī)律，嘗試探討這些現(xiàn)象是否符合二次函數(shù)的圖象特性，思考該現(xiàn)象的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并分析不同參數(shù)對圖象形態(tài)的影響。請大家著重關(guān)注其對稱性、開口方向、弧線頂點(diǎn)等方面的特征，進(jìn)一步加深對數(shù)學(xué)模型的理解，提升對現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的觀察力與分析力。

七、教學(xué)反思

本次教學(xué)結(jié)合實(shí)際情境引入二次函數(shù)，使學(xué)生逐步構(gòu)建數(shù)學(xué)模型與思維框架，但部分環(huán)節(jié)仍顯不足。課堂節(jié)奏略顯緊湊，在推導(dǎo)與驗(yàn)證解析式對圖象影響的環(huán)節(jié)，學(xué)生對系數(shù)與圖象變化間的關(guān)聯(lián)認(rèn)知不夠，難以完全達(dá)到預(yù)期的理解深度。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中，學(xué)生需要通過多角度、多情境的反復(fù)操作來加深直觀理解，進(jìn)而逐步過渡至抽象表達(dá)。但因時(shí)間限制，課上未能讓學(xué)生在各個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行充分的探索和思考。

未來的教學(xué)中需進(jìn)一步分解二次函數(shù)的具體結(jié)構(gòu)特征，使學(xué)生的每個(gè)步驟都有清晰的操作思路與知識鏈條。課堂討論部分需進(jìn)一步注重引導(dǎo)，讓學(xué)生在互動中深入探索函數(shù)與現(xiàn)實(shí)情境的聯(lián)系，在模型構(gòu)建與展示環(huán)節(jié)，可優(yōu)化為小組合作與個(gè)人探究交替進(jìn)行。這樣既有利于個(gè)體理解的推進(jìn)，也能借助小組反饋增強(qiáng)學(xué)生的邏輯表述與推理能力。教學(xué)中對數(shù)學(xué)語言的引導(dǎo)可進(jìn)一步優(yōu)化，使學(xué)生的表達(dá)更加嚴(yán)謹(jǐn)，達(dá)到從直觀語言到符號語言的平穩(wěn)過渡。在小組展示過程中，教師應(yīng)重視數(shù)學(xué)符號的使用與邏輯的條理性表達(dá)，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力。

編輯：常超波