關鍵詞：多目標拓撲優(yōu)化；齒輪箱；折衷規(guī)劃法；組合賦權法

0 引言

行星齒輪減速器是以平穩(wěn)傳動和高傳動比為特點的精密型減速器，其減速器箱體部分更是整個傳動系統(tǒng)的支撐，在保障傳動系統(tǒng)平穩(wěn)高效的工作方面起著重要作用。但箱體設計保守造成材料浪費，此外箱體是噪聲、振動的主要來源之一。通過對箱體多目標拓撲優(yōu)化，減小箱體材料用量，可改善箱體靜動態(tài)特性。因此，對箱體結構進行拓撲優(yōu)化具有十分重要的工程意義與應用價值。

國內外學者針對多目標拓撲優(yōu)化問題已開展了大量的研究。張喜清等［1］考慮了齒輪箱體在不同工況下承受多種載荷，將齒輪箱體進行輕量化，通過優(yōu)化第1階固有頻率并在約束條件下考慮應力、位移和體積分數(shù)；但只考慮了單個目標，應用范圍大大下降。范文杰等［2］綜合考慮了靜態(tài)多工況下的剛度和動態(tài)固有頻率兩方面的優(yōu)化目標，通過折衷規(guī)劃法得到最優(yōu)解，解決兩個相異優(yōu)化目標無法同時優(yōu)化的不足，也避免了優(yōu)化單一；但對于多目標的權重值用主觀賦予法，容易出現(xiàn)結果的不可靠現(xiàn)象。張志飛等［3］在權重分配方法的選擇上說明了主觀賦權法的不足，基于單目標拓撲優(yōu)化生成子序列和母序列，采用灰色關聯(lián)分析方法確定各指標的權重；但容易出現(xiàn)依賴原始數(shù)據而導致的脫離實際的問題。

現(xiàn)有研究成果有效實現(xiàn)了齒輪箱體的拓撲優(yōu)化，但在多目標拓撲優(yōu)化時，子目標權重值的選擇仍存在較多不足：主觀賦權法不一致性強、可信度不高；客觀賦權法過度依賴數(shù)據忽略主觀判斷，可能導致結果脫離實際。基于上述存在的不足，本文提出使用組合賦權法作為子目標權重值分配的方法。以某款印刷機械用行星齒輪箱體為研究對象，以剛度、前4階固有頻率為優(yōu)化指標，并用組合賦權法對指標權重值進行精準分配，使用折衷規(guī)劃法將子目標進行歸一化，并構建綜合目標函數(shù)，對齒輪箱箱體進行多目標拓撲優(yōu)化。

1 建立剛柔混合三維模型

齒輪箱由傳動系統(tǒng)和箱體兩個部分組成，整體尺寸為100 mm×100 mm×168 mm。傳動系統(tǒng)包含兩級行星輪系，其中第1級輪系的內齒圈固定于外殼上，第1、2級輪系的行星輪同軸固聯(lián)，為雙聯(lián)齒輪。箱體分為上、下端蓋兩部分，下端蓋的4個固定孔與機架連接后6個自由度受到限制。傳動系統(tǒng)通過3個滾動軸承和第1級輪系的內齒圈支撐在箱體上，齒輪箱三維模型如圖1所示。齒輪箱的主要參數(shù)如表1所示。

根據齒輪箱三維模型在Romax 中建立剛柔混合三維模型。傳動系統(tǒng)中的軸、齒輪等零件通過參數(shù)化建模建立為剛性體。其中，內齒圈與箱體設置為剛性連接。

箱體部分利用前處理軟件建立為柔性體。對箱體模型進行簡化處理，排除細微特征，如螺栓孔螺紋、倒角等；劃分網格；再建立rbe2、rbe3單元用于添加約束和載荷，bar單元代替螺栓連接；最后把剛性體和柔性體縮聚為一個剛柔混合三維模型。節(jié)點1、2、3、4分別對應滾動軸承1、剛性連接、滾動軸承2、3的中心點，如圖2所示。表2列出了上、下端蓋和螺栓的材料參數(shù)。

2 靜動態(tài)特性分析

2. 1 靜態(tài)分析

通過對剛柔混合三維模型靜力學分析，提取箱體應力、位移云圖（圖3）和節(jié)點1、2、3、4所受的力和轉矩（表3）。

箱體所受最大應力主要分布在4個螺栓孔附近，箱體最大應力約為4. 8 MPa，最大位移約為56. 50 μm。箱體整體有良好的剛度和強度，后端蓋的等效應力和位移均較小，存在很大的優(yōu)化空間。此外，減小或保證箱體柔度（指標5）十分必要。

2. 2 模態(tài)分析

在結構設計中，提高低階固有頻率可優(yōu)化結構剛度、質量和阻尼特性，改善模態(tài)特性，達到減振和降噪的目的，因此在一般的模態(tài)分析中，通常只考慮前3 階模態(tài)［4］（指標2、3、4）。本文分析計算了在約束條件下箱體前4 階固有頻率的數(shù)值和振型，分別如表4、圖4所示。

齒輪箱輸入轉速為3 000 r/min，由此計算出：

1）軸的轉動頻率：輸入軸50. 0 Hz，行星架10. 4 Hz，輸出軸2. 1 Hz。

2）輪系嚙合頻率：第1級行星輪系1 000. 0 Hz，第2級行星輪系嚙合頻率142. 8 Hz。

計算結果顯示，各軸的轉動頻率和齒輪副的嚙合頻率都未與箱體固有頻y率重合，因此不存在共振的情況。

2. 3 動態(tài)響應分析

1）軸的轉動頻率：輸入軸50. 0 Hz，行星架10. 4 Hz，輸出軸2. 1 Hz。

2）輪系嚙合頻率：第1級行星輪系1 000. 0 Hz，第2級行星輪系嚙合頻率142. 8 Hz。

計算結果顯示，各軸的轉動頻率和齒輪副的嚙合頻率都未與箱體固有頻y率重合，因此不存在共振的情況。

2. 3 動態(tài)響應分析

系統(tǒng)的動態(tài)響應分析是在內部激勵的作用下，傳動系統(tǒng)各部件的動態(tài)響應情況。齒輪傳動內部激勵主要由3部分構成：嚙合剛度激勵、誤差激勵和嚙合沖擊激勵。而傳動誤差直接決定了誤差激勵導致動態(tài)響應的變化，進而發(fā)生振動噪聲［5］。因此，以第1級行星輪系的傳動誤差和齒輪嚙合剛度為激勵引入齒輪箱的動態(tài)響應分析中，設定分析的頻率范圍為0～6 080 Hz，阻尼系數(shù)為5%，測取節(jié)點1、2、3、4的位移幅值響應。

線性模態(tài)柔度表示受激勵振動難易程度的模型，模態(tài)柔度越大，表明減速器在該頻率下更容易發(fā)生振動［6］。4節(jié)點位移幅值響應及模態(tài)柔度如圖5所示。

由圖5可知，4個節(jié)點的位移幅值響應在632. 3 Hz和3 283. 2 Hz 均達到峰值，節(jié)點4 位移幅值響應在632. 3 Hz 的峰值最大，約為0. 29 μm。傳動系統(tǒng)在2 967. 1、3 236. 3、3 294. 3 Hz附近線性模態(tài)柔度達到峰值，箱體的第4 階固有頻率（表4）與模態(tài)柔度3 290. 2 Hz峰值頻率相近，容易引起共振，引起箱體的振動和噪聲，影響箱體的壽命和安全，需要對箱體的第4階固有頻率進行優(yōu)化（指標1）。

根據文獻［7］8414和前人的研究成果可知，齒輪箱振動噪聲主要發(fā)生在齒輪嚙合頻率處，是齒輪嚙合頻率與系統(tǒng)固有頻率重合，引起共振，產生噪聲。本文中系統(tǒng)模態(tài)柔度峰值頻率與箱體第4階固有頻率基本重合，與文獻［7］8414分析結果基本一致，驗證了上述分析結果的可靠性。

3 組合賦權法權重分配

指標賦權法常分為主觀賦權法和客觀賦權法兩種。其中，層次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是主觀賦權法的經典方法，該方法不確定性很強，優(yōu)化結果的可信度不高；灰色關聯(lián)法是經典的客觀賦權法，該方法易出現(xiàn)依賴原始數(shù)據，忽略主觀經驗判斷而導致的脫離實際的問題。為了克服主觀賦權法和客觀賦權法的缺陷，提出了一種基于博弈論的組合賦權法［8］，以綜合考慮上述兩種方法的優(yōu)點，確定5個優(yōu)化指標的權重值。

層次分析法［9］是將兩兩指標的關系量化，設計人員可根據指標間的重要程度從1、3、5、7、9中取值，也可根據實際選取中間值，構建比較矩陣

式中，n 為指標總數(shù)；aij為指標ai對指標aj的相對重要程度，即aij = ai /aj（i，j=1，2，…，5）。本文中根據靜動態(tài)分析選定第4階頻率，第1、2、3階固有頻率，剛度5個優(yōu)化指標，層次分析法主觀判斷如下：動態(tài)響應分析結果表明箱體第4階固有頻率與齒輪箱模態(tài)柔度較為接近，重要性最高；由靜態(tài)分析結果可知，箱體有良好的剛度和強度，重要性適中；由模態(tài)分析可知，箱體前3階固有頻率與轉頻、嚙合頻率無重合，重要性較低且按階數(shù)增加重要性降低判斷。得到比較矩陣為

式中，CCI 為定義的一致性指標；λ 為最大特征根；m 為唯一非零特征根；RRI 為引入的隨機一致性指標，取值為1. 12。經過一致性檢驗后，對矩陣A 求得最大特征值對應的特征向量，并根據特征向量計算出5個指標的權重值C1=（0. 46，0. 07，0. 08，0. 17，0. 22）。

灰色關聯(lián)法［10］是評價子序列與母序列是否緊密的數(shù)學方法。對模型做單目標拓撲優(yōu)化，得到的指標數(shù)值為子序列Xi，得到的指標數(shù)值中提取最優(yōu)值為母序列X0，單目標拓撲優(yōu)化指標數(shù)值如表5所示。

首先，對Xi和X0進行歸一化處理得到Xi′和X0′，求取子序列和母序列對應數(shù)值的絕對差值S 并求出其絕對差值的最大值Smax和最小值Smin，然后利用關聯(lián)系數(shù)r0i （k）得到關聯(lián)度值并由式（4）得到權重值C2，推導過程為

式中，θ 為調節(jié)系數(shù)，一般取值為0. 5；n 為指標總數(shù)，本文為5個指標，故n=5。分別以5個指標為目標函數(shù)，設體積分數(shù)為0. 5，為約束函數(shù)做單目標拓撲優(yōu)化得到子、母序列數(shù)值（表5），根據上述推導過程得出5個指標的權重值為C2=（0. 16，0. 19，0. 20，0. 10，0. 35）。

博弈論組合賦權［11］是一種把兩種權重值相協(xié)調、相組合的集成，綜合主、客觀賦權的方法。設權重值集合為Ck=（Ck1，Ck2，…，Ckn）（k=1，2，…，M），本文中M=2，指標總數(shù)為n=5，線性組合權重系數(shù)為L=（L1，L2）（M=2），則向量間線性組合為

4 箱體多目標拓撲優(yōu)化

4. 1 構建多目標拓撲優(yōu)化目標函數(shù)

對于靜態(tài)剛度問題，可把剛度最大化問題轉換為柔度最小化問題。對于動態(tài)低階固有頻率，一般使低階固有頻率最大化。在優(yōu)化過程中常會出現(xiàn)前后固有頻率互換而出現(xiàn)振蕩的現(xiàn)象，為了克服這種現(xiàn)象，使用平均頻率法［12］來定義動態(tài)低階固有頻率目標函數(shù)：

式中，Λ（ρ）為平均頻率；f 為需要優(yōu)化的低階頻率的階次；λi為第i 階特征頻率；λ0、a0為給定參數(shù)（均取值為1）；ωi為第i 階頻率權重系數(shù)。

為簡化計算，將前文5個優(yōu)化指標進行整合：柔度子目標對應指標5，權重為γ1；前3階固有頻率子目標對應指標2、3、4，權重為γ2 （第1、2、3階固有頻率指標權重之和）；第4階固有頻率子目標對應指標1，權重為γ3。使用折衷規(guī)劃法結合平均頻率法來得到多目標拓撲優(yōu)化的綜合目標函數(shù)［13］：

式中，C（ρ）max、C（ρ）min、Λ（ρ）max、Λ（ρ）min、b（ρ）max、b（ρ）min分別為柔度、前3階固有頻率、第4階固有頻率3個子目標優(yōu)化結果的最大值和最小值，用于消除量綱。

通過HyperMesh 軟件中Optistruct 模塊進行拓撲優(yōu)化，該模塊使用變密度法作為優(yōu)化算法。變密度法是將結構離散化，將離散化的微分單元的單元密度規(guī)定在［0，1］之間，在特定工況、目標函數(shù)、約束條件下求解每個微分單元的最優(yōu)密度值，為避免中間密度出現(xiàn)，SIGMUND［14］提出了固體各向同性材料懲罰模型法，該方法采用懲罰因子，在冪函數(shù)的作用下將中間密度值逼近至0或1。設置目標函數(shù)為綜合目標函數(shù)Z（ρ），約束條件設置為體積分數(shù)Va，數(shù)學模型為

式中，Z（ρ）為綜合目標函數(shù)；V 為箱體體積分數(shù)，Va取值為0. 5；ρ 為單元密度，ρi為第i 單元的密度；E0為初始彈性模量，E 為優(yōu)化后的彈性模量；q 為懲罰因子，取值為3。

圖6為多目標優(yōu)化的流程。

4. 2 箱體多目標拓撲優(yōu)化及結構優(yōu)化

結構拓撲優(yōu)化是一種結構設計方法，其針對給定的載荷和約束條件，在特定的設計區(qū)域內尋求做出最優(yōu)的有限材料分布形式，從而滿足所規(guī)定的要求［15］。

圖7所示為箱體有限元模型，為拓撲優(yōu)化分析模型，根據靜態(tài)分析結果可知，箱體存在很大的優(yōu)化空間，將上、下端蓋的螺栓孔、固定孔和軸承座等部位設置為非優(yōu)化區(qū)域，其余箱體部位均設置為優(yōu)化區(qū)域。將圖2中Romax節(jié)點1、2、3、4所受的力和力矩（表3）施加在箱體有限元模型相對應的位置。

由式（8）可知，在拓撲優(yōu)化之前需要3個子目標的最值以消除綱量。因此，在多目標拓撲優(yōu)化之前需要對單個目標分別進行拓撲優(yōu)化。分別以柔度最小、前4階固有頻率最大為優(yōu)化目標，以體積分數(shù)為約束［同式（9）］，在HyperMesh中進行單目標拓撲優(yōu)化，在優(yōu)化結果中得到每個子目標的最值，代入式（8）中，以綜合目標函數(shù)Z（ρ）為優(yōu)化目標，設置體積分數(shù)為約束函數(shù)，拓撲優(yōu)化結果如圖8所示。

經過13次迭代，結構邊界較為清晰，生成三角結構保證了箱體的剛度和強度，完成了齒輪箱靜動態(tài)多目標拓撲優(yōu)化。此外，還對比了層次分析法、灰色關聯(lián)法和組合賦權法的迭代曲線，如圖9所示。

隨著迭代的進行，3個子目標均按預期迭代且收斂，達到了箱體提高前4階固有頻率和降低箱體柔度的目的。由圖9可知，柔度、第4階層次分析法最優(yōu)，前3階固有頻率灰色關聯(lián)法最優(yōu)，組合賦權法綜合了兩種賦權法，迭代曲線介于層次分析法和灰色關聯(lián)法迭代曲線之間，充分驗證了該方法在協(xié)調、主觀和客觀賦權法方面的有效性，證明了組合賦權法的優(yōu)越性。

為了驗證拓撲優(yōu)化科學性和準確性，需要對箱體進行優(yōu)化設計。由文獻［16］可知，根據拓撲優(yōu)化后材料分布，采用添加加強筋的方式，去除保守部分，加強薄弱部分。

本文同樣根據拓撲優(yōu)化結果，切除藍色區(qū)域厚度；根據靜態(tài)分析結果，箱體應力主要分布于螺栓孔，上端蓋因與前排內齒輪固連產生較大的位移，且根據前4階模態(tài)振型確定振型位移明顯的位置，綜合應力、位移和模態(tài)振型采取對上端蓋增加肋板的方式進行箱體結構優(yōu)化［17］。箱體材料去除厚度和肋板添加位置及其具體厚度如圖10所示。

通過設置材料密度，對比優(yōu)化前后箱體質量。優(yōu)化前箱體質量為1 433. 8 g，優(yōu)化后箱體質量為1 272. 6 g，質量降低了約11. 2%。

4. 3 優(yōu)化前后對比分析

對優(yōu)化后箱體的強度、模態(tài)和位移幅值響應進行分析，分析結果如圖11所示。

經過優(yōu)化后，箱體的最大應力約為2. 9 MPa，而其最大位移則約為53. 6 μm，4個節(jié)點的位移幅值響應在656. 6 Hz和3 331. 8 Hz均達到峰值，節(jié)點1位移幅值響應在3 331. 8 Hz的峰值最大，約為0. 05 μm。前4階固有頻率如表7所示。

根據第2節(jié)和第4. 2節(jié)優(yōu)化前后箱體靜動態(tài)分析結果，對優(yōu)化前后箱體的應力、位移等進行對比，如表8所示。

5 結論

針對齒輪箱振動噪聲問題，采用組合賦權法賦予子目標權重值，采用折衷規(guī)劃法建立了最小化柔度、最大化前4階固有頻率的綜合目標函數(shù)，并依據優(yōu)化結果、應力位移和模態(tài)振型改進了箱體結構，得到結論如下：

1）箱體質量降低了11. 2%；最大應力和位移分別降低了39. 6% 和5. 1%；箱體軸承座和內齒圈中心點定義的4個節(jié)點最大位移幅值響應由0. 29 μm下降到0. 05 μm，下降了82. 8%；前4 階固有頻率分別上升5. 9%、6. 1%、9. 1%、8. 6%。結構優(yōu)化后，箱體的靜動態(tài)特性均有所提升。

2）使用基于博弈論的組合賦權法，綜合考慮層次分析法和灰色關聯(lián)法，驗證了組合賦權法的優(yōu)越性，避免了主觀賦權法可信度不高和客觀賦權法過度依賴數(shù)據而導致脫離實際的問題，為齒輪箱體多目標拓撲優(yōu)化設計提供參考。