摘要： 提出一種基于偏微分方程的圖像盲去模糊超分辨率重建算法， 旨在未知模糊核的情況下， 將含噪聲的低分辨率模糊圖像重建為清晰的高分辨率圖像. 首先， 針對圖像退

化過程構(gòu)建變分問題， 并借助變分方法推導(dǎo)出偏微分方程模型. 其次， 結(jié)合交替方向法和數(shù)值差分方法， 通過設(shè)計時空全離散數(shù)值格式求解未知的模糊核和清晰的圖像. 再次， 通過

一系列數(shù)值實驗， 分析參數(shù)選擇對圖像重建效果的影響， 確定合適的參數(shù)設(shè)置. 最后， 針對若干遙感圖像進(jìn)行實驗， 實驗結(jié)果證明了所給模型的有效性與可靠性.

關(guān)鍵詞： 偏微分方程； 盲去噪去模糊； 超分辨率重建； 變分方法

中圖分類號： O241.82" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A" 文章編號： 1671-5489（2025）01-0035-06

Blind Deblurring and Super-resolution Reconstruction Algorithmand Experiment Based on Partial Differential Equation

XU Wenda， WEN Xin， MAO Zhongxuan， ZOU Yongkui

（College of Mathematics， Jilin University， Changchun 130012， China）

Abstract：" We proposed a blind image deblurring and super-resolution reconstruction algorithm based on partial differential

equations （PDE）. The goal was to reconstruct clear， high-resolution images

from noisy， low-resolution blurred images without prior knowledge of the blur kernel. Firstly， we constructed a variational problem for the image degrad

ation process and derived a PDE model by using variational methods. Secondly， by combining the alternating direction method and numerical difference method

， we designed a spatiotemporal fully discrete numerical scheme to solve the unknown blur kernel and the clear image. Thirdly， through a series of numeri

cal experiments， we analyzed the impact of parameter selection on image reconstruction performance and" determined appropriate parameter settings. Finally， e

xperiments were conducted on several remote sensing images， and the experimental results proved" the effectiveness and reliability of the proposed model.

Keywords： partial differential equation; blind denoising and deblurring; super-resolution reconstruction; variational method

收稿日期： 2024-11-23.

第一作者簡介：" 徐文達(dá)（1985—）， 男， 漢族， 碩士， 工程師， 從事偏微分方程數(shù)值解的研究， E-mail： xuwenda@jlu.edu.cn. 通信作者簡介：

溫 馨（1995—）， 女， 漢族， 博士， 從事偏微分方程數(shù)值解的研究， E-mail： xinwen21@jlu.edu.cn.

基金項目： 吉林省科技廳項目（批準(zhǔn)號： 20240301017GX）.

衛(wèi)星采集的遙感圖像通常存在退化現(xiàn)象， 即同時伴有噪聲、 模糊及低分辨率的特征. 圖像的退化過程可建模為

u0=Dk*u+n，（1）

其中u表示清晰圖像， k為模糊核， D為下采樣算子，" n為高斯白噪聲，

u0為含噪聲的低分辨率模糊圖像. 圖像盲去模糊超分辨率重建任務(wù)要求在僅已知u0的

前提下， 恢復(fù)出u和k， 并確保u具有足夠高的分辨率. 顯然， 與非盲（即模糊核已知）的去

模糊超分辨率重建任務(wù)相比， 盲去模糊超分辨率重建更具挑戰(zhàn)性［1-2］， 也更符合實際圖像處理的需求.

為最大限度減少噪聲帶來的偏差， 該類問題可轉(zhuǎn)化為求解如下變分問題：

argminu，k‖Dk*u-u0‖2.（2）

顯然， （u，k）=（u0，δ）是一個平凡解， 其中δ為單位脈沖模糊核. 為得到合理的解， 需引入正則化項， 不同的正

則化項會對圖像的還原效果有不同影響， 因此人們設(shè)計了許多類型的正則化項. 例如： Rudin等［3］通過引入正則化項L（u）=∫Ωudx建立了TV（total variation）模型， 其中Ω表示圖像區(qū)域; You等［4］通過引入正則化項L（u）=∫Ωf（2u

）dx建立了YK（You-Kaveh）模型， 其中函數(shù)f為非負(fù)遞增函數(shù); Lysaker等［5］在YK模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)， 提出了LLT（Lysaker-Lundervold-Tai）模型; Guidotti等［6］

利用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)作為邊緣檢測器， 進(jìn)一步改進(jìn)了YK模型; Zhang等［7］通過加權(quán)結(jié)合TV模型和YK模型， 設(shè)計了一種自適應(yīng)模型; 張雨［8］針對被乘性

Gamma噪聲嚴(yán)重污染圖像的去散斑問題， 提出了一個全局凸的自適應(yīng)全變差模型; 溫馨等［9］進(jìn)一步改進(jìn)了文獻(xiàn)［7］中的正則化項.

但上述工作大部分聚焦于去噪任務(wù)和非盲的去噪去模糊問題， 而聚焦于去噪去模糊同時進(jìn)行的超分辨率重建工作目前尚未見文獻(xiàn)報道. 因此， 本文采用加權(quán)結(jié)合

的TV和YK正則化項， 構(gòu)造用于盲去噪去模糊超分辨率重建的模型， 并借助變分方法推導(dǎo)出偏微分方程組模型， 最后構(gòu)造全離散格式求解.

2.4 與經(jīng)典TV模型和YK模型的對比

注意到在本文模型中， 如果令μ=1， 則模型退化為TV模型; 如果令μ=0， 則模型退化為YK模型. 表2列出了本文模型與TV模型和YK模型的對比實驗結(jié)果.

綜上可見， 本文提出的基于偏微分方程的盲去模糊超分辨率重建算法在未知模糊核的情況下， 實現(xiàn)了從含噪聲的低分辨率模糊圖像到清晰高分辨率圖像的重建， 數(shù)值實驗驗證了其有效性和

可靠性， 為遙感圖像退化問題提供了一種高效解決方案.

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（責(zé)任編輯： 李 琦）