第6章 一次函數(shù)
領" 銜" 人:王競進(正高級教師)
組稿團隊:江蘇省鹽城市王競進初中數(shù)學名師工作室
一次函數(shù)是在我們已經(jīng)學習了代數(shù)式與代數(shù)式的值、方程(組)、數(shù)軸與平面直角坐標系等有關知識,并積累了一系列研究數(shù)學問題的思想、方法與策略的基礎上展開探索的內容?!昂瘮?shù)”主要研究變量之間的關系,一次函數(shù)圖象與性質的研究方法是今后進一步研究反比例函數(shù)、二次函數(shù)乃至高中的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)圖象與性質的基礎,是數(shù)學思維的一次飛躍。
從實際問題出發(fā),感悟抽象過程
與方程、不等式的研究方式類似,函數(shù)也是從同學們熟悉的實際問題出發(fā),逐步抽象、概括形成的概念。
例如,本章起始安排的是我們七年級就非常熟悉的用火柴棒搭小魚的數(shù)學活動。隨著所搭小魚條數(shù)的變化,所需火柴棒的根數(shù)也在變化;當所搭小魚條數(shù)確定時,所需火柴棒的根數(shù)也確定。由此引出兩個變量的關系:一個變量變化時,另一個變量也隨之變化;一個變量確定時,另一個變量也隨之確定。再抽象到兩個變量x和y的關系:如果對于x的每一個值,y都有唯一的值與它對應,那么我們稱y是x的函數(shù)。
從特殊圖象入手,凸顯數(shù)形結合思想
函數(shù)的研究離不開圖象和性質,其中的討論運用了數(shù)形結合的數(shù)學思想。探究一次函數(shù)的圖象和性質時,我們可以從特殊的、簡單的表達式入手,先畫出它的圖象,再討論其特征和性質。
在一次函數(shù)y=kx+b中,我們可以為k、b賦予一些特殊的、簡單的值,然后通過列表、描點、連線,畫出它的圖象。例如,我們可以畫出函數(shù)y=x-1的圖象,如圖1。
再通過觀察、比較、分析、類比,得到一次函數(shù)的性質。
在一次函數(shù)y=kx+b中:
如果k>0,函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大;
如果k<0,函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小;
如果b>0,圖象與y軸交于原點上方;
如果b=0,圖象與y軸交于原點;
如果b<0,圖象與y軸交于原點下方。
加強知識之間的內在聯(lián)系,
完善知識體系
一次函數(shù)與方程、方程組有著密切的聯(lián)系,它們可以共同應用于解決日常生活中的問題。
例如,一根彈簧的長度為10厘米,當彈簧受到x牛的拉力時(x不超過100),彈簧的長度是y(厘米),求拉力為70牛時,彈簧的長度。有關數(shù)據(jù)如表1所示:
從表中我們可以看出,拉力和彈簧長度增加量呈線性增長。因此,我們可以設函數(shù)表達式為y=kx+b。
根據(jù)題意,可列出方程組
解得k=0.05,b=10。所以一次函數(shù)表達式為y=0.05x+10。
當x=70時,y=10+0.05×70=13.5。所以當拉力為70牛時,彈簧長度是13.5厘米。
無論是在本章學習一次函數(shù)的概念、性質與應用,還是后續(xù)研究反比例函數(shù)、二次函數(shù)的概念、性質與應用時,我們都要能夠在“類比探究,整體感知”的過程中,形成研究函數(shù)的一般路徑、方法、策略,不斷發(fā)展自己的數(shù)學素養(yǎng)。
(作者單位:江蘇省建湖縣教育局教研室)