近年來，人工智能、大數(shù)據(jù)等諸多熱門領(lǐng)域取得重大突破，都是以數(shù)學(xué)的發(fā)展為基礎(chǔ)。作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)的重要性不可忽視。

在人類探索宇宙的長河中，數(shù)學(xué)一直被視為一種神秘而普遍存在的力量。不管你是天才還是庸人，都或多或少有過被數(shù)學(xué)支配的恐懼，差別在于有人在解題的過程中得到快樂，但大部分人得到的是痛苦。在社交媒體上，關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)渣的心酸吐槽引發(fā)了“蓋樓”熱潮，解不出的微積分、求不出的雙曲線、搞不懂的陰影面積……那些抓耳撓腮、冥思苦想、垂死掙扎的過往引發(fā)了強(qiáng)烈共鳴，“原來，被數(shù)學(xué)虐傷的不是我一個(gè)人”。

數(shù)學(xué)這一門讓人“又愛又恨”的科目，究竟有何魔力，為何有著兩極分化的體驗(yàn)，它是一種怎樣特別的存在？

歷史很長，段位很高

數(shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)有什么用？相信每個(gè)人心目中都有自己模糊的答案。數(shù)學(xué)，可能是人們在現(xiàn)實(shí)生活中最陌生的朋友。在公眾眼中，數(shù)學(xué)也許僅僅意味著數(shù)字的加減乘除，天氣的冷暖變遷，乃至股市的跌宕起伏。而且我們不得不承認(rèn)，生活中大多數(shù)場景用到的數(shù)學(xué)知識僅僅只需要小學(xué)的教育水平。延綿兩千多年的數(shù)學(xué)文明，盡管已經(jīng)深邃得令人敬畏，卻依然沒有在現(xiàn)實(shí)世界中找準(zhǔn)它的生態(tài)位，難以展示它數(shù)千年來的精彩，也就很難讓世人感知它獨(dú)有的魅力。

那么，是什么，讓數(shù)學(xué)源遠(yuǎn)流長的美被忽略？又是什么，讓數(shù)學(xué)廣博深邃的魂被深藏？

如果我們回顧數(shù)學(xué)漫長的發(fā)展史，會發(fā)現(xiàn)對數(shù)學(xué)的熱忱和研究，大多時(shí)候代表了部分貴族的精神追求，數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展則依賴于貴族之間的志趣交流。對發(fā)現(xiàn)者而言，發(fā)明新的數(shù)學(xué)成果，更多的樂趣是享受到某種精神層面的喜悅。

自古希臘始，在兩千多年的時(shí)光歲月里，數(shù)學(xué)的長河逐漸流淌出逾百條支流。尤其是進(jìn)入20世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)的理論和應(yīng)用真正有了廣袤的空間。建立在計(jì)算機(jī)和信息科技陣地上的數(shù)學(xué)分支，終于融入現(xiàn)代文明的基因。時(shí)至今日，數(shù)學(xué)內(nèi)部的分工越發(fā)精細(xì)。但大體而言，現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系分化出四個(gè)演進(jìn)的主題，分別在理論、應(yīng)用、審美和傳承上演繹著自己的傳奇。

以理論研究為職業(yè)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)家指引了數(shù)學(xué)的前進(jìn)之光，以服務(wù)現(xiàn)實(shí)為目標(biāo)的應(yīng)用數(shù)學(xué)家預(yù)示著數(shù)學(xué)的實(shí)在方向，以創(chuàng)造精神美感為追求的藝術(shù)家融入了數(shù)學(xué)的審美立場，以教書育人為己任的老師則代表了數(shù)學(xué)的傳承發(fā)揚(yáng)。

然而，無論數(shù)學(xué)的前景指向哪里，它底層的邏輯體系一直堅(jiān)如磐石，它群星璀璨的成果不斷為現(xiàn)代物質(zhì)文明的大廈添磚加瓦。數(shù)學(xué)思想的涌現(xiàn)和創(chuàng)造日益成為一口取之不盡的甘泉，源源不斷地滋養(yǎng)著人類文明。

算術(shù)之外，生活里還藏著海量“數(shù)學(xué)”

現(xiàn)代人的世界，其實(shí)早已經(jīng)浸潤在數(shù)學(xué)的海洋里。如同空氣一樣，雖視而不見，卻無處不在。

著名的法國布爾巴基學(xué)派曾經(jīng)將數(shù)學(xué)比作一個(gè)城市，城市的規(guī)模就是數(shù)學(xué)的知識體系，并且這個(gè)體系在不斷擴(kuò)張。而在城市內(nèi)部，建筑物和街道也在被不斷修繕或重建。這個(gè)城市的居民既是間接使用數(shù)學(xué)的諸多百姓，也是那些直接運(yùn)用數(shù)學(xué)的普通人。

信息時(shí)代的生活離不開手機(jī)。手機(jī)里琳瑯滿目的程序正支配著大眾的決策。其中和生活息息相關(guān)的天氣預(yù)報(bào)已經(jīng)成為人們出行的必備指南。曾幾何時(shí)，天象是神秘和神圣的象征，只有極少數(shù)人才有權(quán)知道來自上天晦暗不明的指示。如今，人們就能在指尖輕易獲取天氣的信息。無論刮風(fēng)、下雨、陽光普照還是大雪紛飛，氣象局的預(yù)報(bào)總能為我們提供來自未來的秘密。這背后的原理，正是以流體動力學(xué)和混沌學(xué)為代表的數(shù)學(xué)應(yīng)用。

當(dāng)我們出門在外，地圖和導(dǎo)航成了我們的左膀右臂。正是基于數(shù)學(xué)家發(fā)明的保角變換而制作的地圖，才讓建筑物在平面地圖上的相對位置與真實(shí)世界一一對應(yīng)。當(dāng)我們穿梭于繁忙的地鐵時(shí)，正是基于拓?fù)鋵W(xué)而簡化繪制的地鐵圖為人們提供了直接明了的視角。

出租車的大量運(yùn)營為城市居民提供了出行的便利，外賣行業(yè)的興起更是讓忙碌的人群足不出戶享受到全城的美食。正是基于GPS、中國北斗等衛(wèi)星快捷、準(zhǔn)確的實(shí)時(shí)定位，讓千千萬萬的人們享受到了這些城市規(guī)模化、生活舒適化的便捷性。而這背后的功臣恰好是以洛倫茲變換為起點(diǎn)的狹義相對論和以黎曼幾何、張量代數(shù)為基礎(chǔ)的廣義相對論結(jié)出的豐碩果實(shí)。

在醫(yī)療健康領(lǐng)域，CT的斷層掃描、冷凍電鏡下DNA分子與細(xì)胞的立體圖像、人類器官、組織與血管的再造技術(shù)，甚至基于靶向腫瘤抗癌藥物的研發(fā)，都不難看到拓?fù)鋵W(xué)、分析與幾何學(xué)的精準(zhǔn)應(yīng)用。

工作之余，準(zhǔn)備享受美食時(shí)，人們卻不曾看到食物背后的后廚優(yōu)化、蔬菜配送、種植育種等等配套的工程?，F(xiàn)代化食物產(chǎn)量和質(zhì)量的提升，從播種到收獲，都和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的圖論、統(tǒng)籌、糧食統(tǒng)計(jì)學(xué)息息相關(guān)。

結(jié)束了一整天的忙碌后，現(xiàn)代人主要的休閑方式是使用手機(jī)、電腦、平板等娛樂設(shè)備。毫無疑問，這些來自信息時(shí)代的科技饋贈，正是源自康托的集合論、羅素悖論、哥德爾不完備定理、圖靈機(jī)、馮·諾依曼結(jié)構(gòu)的傳承。同時(shí)，互聯(lián)網(wǎng)背后默默運(yùn)行的算法，諸如大數(shù)據(jù)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等更是保證了我們能夠及時(shí)、高速與世界各地互通相連。

事實(shí)上，數(shù)學(xué)的應(yīng)用已無處不在。除了日常生活，生物、通信、高鐵、航空航天、軍工、股市、考古、電影等領(lǐng)域都在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的分支里汲取養(yǎng)分。如果說現(xiàn)代公民生活的每一個(gè)場景都是一個(gè)應(yīng)用程序，數(shù)學(xué)就是那底層的操作系統(tǒng)。我們看不見它，甚至無法感知，但卻明白它無與倫比的重要性。

小鏈接

在漫長的時(shí)間長河里，數(shù)學(xué)也曾發(fā)揮過中流砥柱的作用。

人類歷史上的三次工業(yè)革命都有數(shù)學(xué)的積極參與。第一次工業(yè)革命開啟了機(jī)械化時(shí)代，這其中，是牛頓與萊布尼茨發(fā)明的微積分引領(lǐng)了時(shí)代的步伐；第二次工業(yè)革命拉開了電氣化時(shí)代的序幕，其中居功至偉的當(dāng)屬麥克斯韋方程，正是電磁現(xiàn)象的數(shù)學(xué)解釋，讓人類大跨步邁入了現(xiàn)代文明；而第三次工業(yè)革命則是以自動化為標(biāo)志，以相對論與黎曼幾何、布爾數(shù)學(xué)等為標(biāo)桿，開辟出一條無比璀璨光明的道路。我們今天所享受的現(xiàn)代文明，都是前三次工業(yè)革命的福利。

如今，世界已經(jīng)來到第四次工業(yè)革命的前夕。這一次，人工智能、大數(shù)據(jù)、通訊技術(shù)、超算等信息科技更是以數(shù)學(xué)為先鋒，披荊斬棘，引領(lǐng)人類馳向無比廣闊和光明的信息化時(shí)代。其中基于數(shù)論橢圓曲線而設(shè)計(jì)的區(qū)塊鏈技術(shù)、基于概率論貝葉斯估計(jì)的深度學(xué)習(xí)技術(shù)、融合傅里葉分析、小波分析、群論、圖論的wifi、5G，乃至6G通訊信息等，不斷開拓國家的科技疆土，亦為人類文明的發(fā)展壯大貢獻(xiàn)智慧。

中國古代數(shù)學(xué)，強(qiáng)得可怕

禮樂射御書數(shù)，“數(shù)”是中國古代六藝之一。可以說，有人類的那一天，就有了數(shù)學(xué)。中國的數(shù)學(xué)在古代就曾領(lǐng)先國外不少段位。

●多古老，多先進(jìn)

從遠(yuǎn)古算起，直到14世紀(jì)，中國的數(shù)學(xué)一直走在世界的前列。比如說，十進(jìn)制是中國最早發(fā)明的，這是當(dāng)時(shí)世界上最簡便的計(jì)算工具，比巴比倫的六十進(jìn)位方便。清華大學(xué)保存的一批古代竹簡中，還保存著人類最早的十進(jìn)制計(jì)算器：算表。

“算表”由21支簡組成，簡的形制與其他各簡明顯不同。簡面上有紅色的橫貫欄線，使全篇成為整齊的格狀，每格中都填有數(shù)字。據(jù)媒體報(bào)道，這個(gè)數(shù)學(xué)表格比九九乘法表厲害，可以進(jìn)行乘法除法乘方開方的計(jì)算。比如，要計(jì)算81乘以72，就把80和1兩個(gè)位置的絲帶往下拉，70和2兩個(gè)位置的絲帶往左拉，形成四個(gè)交叉點(diǎn)，四個(gè)交叉點(diǎn)上的數(shù)字加起來，就是乘法的結(jié)果。

數(shù)學(xué)家吳文俊曾研究過中國古代數(shù)學(xué)，他發(fā)現(xiàn)，除了廣為人知的勾股定理比外國早了5個(gè)世紀(jì)之外，中國古代數(shù)學(xué)中，還藏有世界最早的幾何學(xué)、最早的方程組、最古老的矩陣……

王渝生在《中國算學(xué)史》中寫道，在中國古代數(shù)學(xué)（中國古代稱算學(xué)）中，還有開平方，開立方，解線性方程組的“遍乘直除”消元法，計(jì)算圓周率的“割圓術(shù)”，解高次方程的“增乘開方法”，解一次同余式的“大衍求一術(shù)”等，這些都比國外領(lǐng)先一個(gè)世紀(jì)甚至幾個(gè)世紀(jì)。

從殷商時(shí)期的萌芽，到秦漢時(shí)期籌算體系的建立，再到南北朝時(shí)期的發(fā)展，直至隋唐時(shí)期，中國古代數(shù)學(xué)到達(dá)一個(gè)高峰。然而，到了1370年，明太祖朱元璋規(guī)定八股文為科舉考試的主要文體，數(shù)學(xué)體現(xiàn)不到科舉考試的內(nèi)容里，自明初起300余年內(nèi)中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)研究呈現(xiàn)全面衰退態(tài)勢。

宋元數(shù)學(xué)家著作中借用未知數(shù)解方程式的方法，到了清朝，因長期失傳，一度被認(rèn)為是無人能解的“天書”。直到清代數(shù)學(xué)家梅瑴成引進(jìn)西方代數(shù)學(xué)《借根方》，對照之下，才恍然大悟。

●科舉考試也要考數(shù)學(xué)

古人學(xué)習(xí)四書五經(jīng)之外，數(shù)學(xué)也一度是古代學(xué)子的必修科目。

西周時(shí)期，數(shù)學(xué)成了“六藝”之一，是學(xué)校教學(xué)的必修必考科目之一。那時(shí)候的學(xué)校，學(xué)生全是官家子弟，學(xué)習(xí)的目的也是專門致力于解決實(shí)際問題，數(shù)學(xué)要解決的問題，包括土地丈量、谷倉容積的計(jì)算、堤壩和河渠的修建、稅收等。

在秦漢時(shí)期，“六年，教之?dāng)?shù)與方名”，教育從娃娃開始抓起，6歲就開始學(xué)數(shù)學(xué)了。到了隋朝時(shí)期，朝廷甚至成立了“數(shù)學(xué)?？茖W(xué)?！?，配備博士兩人，助教兩人，這個(gè)學(xué)校每一屆招收學(xué)生80人。

“?？茖W(xué)?！辈皇撬宄瘯r(shí)就有的。東漢靈帝光和元年，就曾設(shè)立“鴻都門學(xué)”（因地址在洛陽鴻都門而得名），這是一所文學(xué)、藝術(shù)?？茖W(xué)校，是宦官們一心想與皇親貴胄學(xué)校對著干才設(shè)立的。至于“數(shù)學(xué)?？茖W(xué)?！?，北魏就曾設(shè)立，前后存在50年以上。

但是到了隋朝，辦數(shù)學(xué)?？茖W(xué)校成為一項(xiàng)制度。到了唐朝，唐初沿用隋代的科舉制度，算學(xué)仍被作為國子監(jiān)設(shè)立的六科之一，稱為明算科，但招生人數(shù)縮減到30人。唐朝的“數(shù)學(xué)?？茖W(xué)?！睂掃M(jìn)嚴(yán)出，入學(xué)時(shí)不考試，由主管機(jī)關(guān)按家庭出身選送。但是入學(xué)后，要經(jīng)常考試，有旬試、月試、季試、歲試。歲試就是年終考試。歲試三次不及格（下等），就會被逐出校門，回家去吧。

既然是學(xué)校，就要有教材。公元656年，風(fēng)水大師李淳風(fēng)等人奉敕注釋并校訂了十部數(shù)學(xué)書作為教科書，合稱為“算經(jīng)十書”。這些書都是歷代數(shù)學(xué)家們的著作，直到清朝都在使用。其中大家熟悉的是《孫子算經(jīng)》，“雞兔同籠”問題就出自該書。

學(xué)生入學(xué)后，學(xué)制七年。七年期滿，若中途考試都合格，還要參加一次畢業(yè)考試，及格了才能送禮部直接參加明算科的科舉考試?？嫉煤茫趶木牌废碌墓俾?。

這大概是數(shù)學(xué)在中國歷史上最風(fēng)光的時(shí)候了。

但因?yàn)榛实郾救藢λ銓W(xué)的看法不一，算學(xué)——這所數(shù)學(xué)?？茖W(xué)校時(shí)興時(shí)廢，再加上明算科及第后待遇不如明經(jīng)、進(jìn)士等科學(xué)生的好，應(yīng)試的人并不多，至晚唐時(shí)期明算科考試漸漸停止。

對話袁亞湘院士：數(shù)學(xué)有點(diǎn)難，所以才好玩

人物名片：

袁亞湘，湖南郴州人，1982年畢業(yè)于湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)系，1986年獲英國劍橋大學(xué)博士學(xué)位。中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員。中國科學(xué)院院士、發(fā)展中國家科學(xué)院院士、巴西科學(xué)院通訊院士、美國數(shù)學(xué)會首屆會士、美國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會會士、倫敦?cái)?shù)學(xué)會榮譽(yù)會員。現(xiàn)任中國科協(xié)副主席。主要研究非線性最優(yōu)化計(jì)算方法，在信賴域法、擬牛頓法、非線性共軛梯度法、子空間方法等方面作出了重要貢獻(xiàn)。

如何培養(yǎng)孩子們對數(shù)學(xué)的興趣？如何才能學(xué)好這門看似枯燥的學(xué)科？8月8日上午，就該話題，《放學(xué)后》雜志對袁亞湘院士進(jìn)行了專訪，讓我們一起來看看這位頂級科學(xué)家是如何從從孩子的視角來認(rèn)識數(shù)學(xué)、解讀數(shù)學(xué)的吧。

奧數(shù)，有必要學(xué)嗎

Q：為了不讓孩子輸在起跑線上，許多家長總愛給孩子報(bào)各類培訓(xùn)班，奧數(shù)班就是其中之一，您覺得普通孩子需要學(xué)奧數(shù)嗎？

A：“不能輸在起跑線上”這句話背后的邏輯是：上不了好小學(xué)，就上不了好中學(xué)，就上不了好大學(xué)，就等于沒出息，但這一邏輯是不對的。人生是一場長跑，而非短跑，長跑的起跑線并沒有那么重要?，F(xiàn)在的成年人再回望小時(shí)候，考試成績、班級排名真的有那么重要嗎？學(xué)有余力的學(xué)生可以接觸奧數(shù)，但也要警惕超前教育帶來的危害。很多孩子學(xué)了奧數(shù)再學(xué)校園知識會覺得很容易，于是就不認(rèn)真聽學(xué)校老師上課，這樣的習(xí)慣如果養(yǎng)成，早期危害雖不明顯，但長此以往一定會吃大虧。對大部分的普通孩子來說，最重要的還是踏踏實(shí)實(shí)把課堂內(nèi)的課程學(xué)好，保證健康積極的心態(tài)，快快樂樂學(xué)習(xí)，才是最重要的。

領(lǐng)悟?qū)W好數(shù)學(xué)背后的“爬山之道”

Q：您在之前的采訪中說數(shù)學(xué)有5大特點(diǎn)，分別是“美、真、趣、難、慧”，但很多孩子暫時(shí)只感受到了數(shù)學(xué)的難，我們該怎么讓自己不那么懼怕數(shù)學(xué)呢？

A：難和易是一組辯證關(guān)系，因?yàn)椴粫?，所以覺得難。就像有的人不愛交響樂，聽到就頭疼；有的人不愛吃辣，吃辣就感覺痛苦，所以他們體會不到交響樂的優(yōu)美或吃辣的美味。孩子們感受不到數(shù)學(xué)之美，一方面是因?yàn)椴焕斫猓硪环矫嬉彩且驗(yàn)榧议L要求過于嚴(yán)厲，對成績、排名看得太重。家長們應(yīng)當(dāng)像鼓勵孩子踢足球、學(xué)唱歌一樣，鼓勵孩子們學(xué)數(shù)學(xué)，這樣才不會讓其對數(shù)學(xué)本身產(chǎn)生反感。

我很喜歡爬山，因?yàn)槊看闻啦煌纳?，都能看到?jīng)]看到過的風(fēng)景。類比到學(xué)數(shù)學(xué)，只有持之以恒，在不同階段的學(xué)習(xí)中積累不同的能力，才能不斷向上爬，欣賞到下一階段更好的風(fēng)景。如果每次學(xué)到新的知識，都能讓你心生愉悅，那么數(shù)學(xué)之美就盡在其中了。

學(xué)好數(shù)學(xué)不需要大量刷題

Q：刷題很辛苦，但不刷題心里又沒底，您覺得學(xué)數(shù)學(xué)有必要刷題嗎？

A：刷題，是對數(shù)學(xué)興趣的一種抹殺。試想，一個(gè)人再喜歡吃臭豆腐，天天吃恐怕也會膩吧？大量刷題會抹殺孩子的學(xué)習(xí)興趣，另一方面通過重復(fù)做題、死記硬背得到成績的提高并不是學(xué)好數(shù)學(xué)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要培養(yǎng)興趣，孩子們應(yīng)該帶著思考去做題，明白做題的目的和用途，在解題的過程中培養(yǎng)欣賞數(shù)學(xué)之美、解決具體問題的能力。

天賦并非學(xué)好數(shù)學(xué)的捷徑

Q：90后北大數(shù)學(xué)天才韋東奕爆紅網(wǎng)絡(luò)，成了很多學(xué)子崇拜的“韋神”。學(xué)好數(shù)學(xué)，天賦和努力哪個(gè)更重要？

A：我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“天才在于勤奮，聰明在于積累”。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)重在勤奮與積累，天賦并不是天生就有的，而是做得多了，做得好了，才有天賦。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)該腳踏實(shí)地完成，通過持之以恒的不斷努力，才能獲得成就。

數(shù)學(xué)要發(fā)展，青少年是未來的希望

Q：科技強(qiáng)國建設(shè)需要一批優(yōu)秀的年輕人才投入數(shù)學(xué)這種基礎(chǔ)學(xué)科的研究中。面對世界百年未有之大變局，請您談?wù)勅绾螌⒖茖W(xué)家精神融入科學(xué)教育，培育更多具備科學(xué)家潛質(zhì)、愿意獻(xiàn)身科學(xué)研究事業(yè)的青少年？

A：科技要自立自強(qiáng)，基礎(chǔ)科學(xué)尤為重要，而數(shù)學(xué)又是基礎(chǔ)科學(xué)中的基礎(chǔ)，發(fā)展數(shù)學(xué)的希望寄托在青少年身上。希望更多優(yōu)秀的青少年喜歡上數(shù)學(xué)，將來成為數(shù)學(xué)工作者，也希望廣大青少年們從小樹立科技報(bào)國之志，打開通往科學(xué)圣殿之門。