摘 要：進(jìn)化算法進(jìn)行橋梁結(jié)構(gòu)有限元模型修正，改善了傳統(tǒng)有限元模型修正算法的全局優(yōu)化能力。經(jīng)實(shí)橋驗(yàn)證，基于該方法修正后得到的連續(xù)剛構(gòu)橋有限元模型的計(jì)算精度提升顯著，能夠真實(shí)反映橋梁結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)力特性，驗(yàn)證了該算法的可靠性和可行性，為解決橋梁有限元模型修正問題提供了一種新的參考方式。

關(guān)鍵詞：橋梁監(jiān)測(cè)；有限元模型；差分進(jìn)化算法；優(yōu)化問題；響應(yīng)面法

中圖分類號(hào)：U442.5

0 引言

一個(gè)準(zhǔn)確且可靠的基準(zhǔn)有限元模型是橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)與安全評(píng)估的基本前提［1］。但是由于建模過程中模型的簡(jiǎn)化和施工中的不確定因素等原因?qū)е聵蛄航Y(jié)構(gòu)有限元模型不能真實(shí)反映結(jié)構(gòu)靜動(dòng)力參數(shù)，無法滿足橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)的要求，而必須對(duì)有限元模型進(jìn)行修正［2］。

有限元模型修正優(yōu)化算法經(jīng)歷了從直接搜索算法、序列二次規(guī)劃算法到當(dāng)前的各種進(jìn)化優(yōu)化算法［3-4］。Modak等［5］研究了在模型修正中基于梯度信息的優(yōu)化算法，發(fā)現(xiàn)該優(yōu)化算法雖然具有更高的計(jì)算效率，但也存在容易陷入局部最優(yōu)解的問題。Zhang BQ等［6］采用了差分進(jìn)化算法對(duì)不對(duì)稱阻尼系統(tǒng)不完整復(fù)雜模態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行有限元模型修正，結(jié)果表明該優(yōu)化方法對(duì)于非對(duì)稱阻尼系統(tǒng)有限元模型修正是可行的。近年來，許多學(xué)者采用了高斯過程模型［7］和貝葉斯優(yōu)化方法［8］進(jìn)行有限元模型修正。

張連振等［9］利用優(yōu)化算法理論結(jié)合梯度下降計(jì)算法對(duì)研究模型進(jìn)行修正，其計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有很好的契合性。孔憲仁等［10］將差分進(jìn)化算法、粒子群優(yōu)化算法、遺傳—粒子群組合算法三種算法應(yīng)用到模型修正，結(jié)果表明遺傳-粒子群算法與單獨(dú)使用差分進(jìn)化算法或粒子群算法相比，其效率和精度更高。

盡管目前有多種不同的優(yōu)化方法可用于解決橋梁有限元模型修正的問題，但尚未確定哪種算法在這一領(lǐng)域中表現(xiàn)最為出色。另外，各種算法僅適用于解決特定結(jié)構(gòu)的模型修正問題，缺乏通用性。因此，開發(fā)高效的優(yōu)化算法仍然是橋梁有限元模型修正技術(shù)亟須解決的一個(gè)重要挑戰(zhàn)。

為此，本文在上述學(xué)者研究成果基礎(chǔ)上，采用改進(jìn)的差分進(jìn)化算法來求解基于響應(yīng)面函數(shù)的橋梁有限元模型修正，并采用數(shù)值算例對(duì)改進(jìn)的遺傳優(yōu)化算法進(jìn)行驗(yàn)證。

1 基于響應(yīng)面函數(shù)的橋梁有限元模型修正

基于響應(yīng)面函數(shù)的橋梁有限元模型修正基本步驟為：

（1）建立初始有限元模型并獲得模態(tài)參數(shù)等實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)參數(shù)。

（2）待修正參數(shù)的選取和確定。

（3）確定響應(yīng)面函數(shù)或其他代理模型。

（4）試驗(yàn)設(shè)計(jì)并得到響應(yīng)面函數(shù)形式。

（5）根據(jù)目標(biāo)函數(shù)在參數(shù)設(shè)計(jì)空間進(jìn)行優(yōu)化迭代計(jì)算。

（6）有限元模型修正精度計(jì)算和確認(rèn)。

其中響應(yīng)面函數(shù)的確定流程如圖1所示，主要包括試驗(yàn)設(shè)計(jì)、響應(yīng)面函數(shù)類型選擇以及響應(yīng)面函數(shù)擬合和確認(rèn)。

參考文獻(xiàn)：

2 改進(jìn)的差分進(jìn)化算法

改進(jìn)的差分進(jìn)化優(yōu)化算法（Differential Evolution Algorithm，DE）的計(jì)算流程如下：

（1）采用拉丁超立方抽樣算法獲取初始種群的個(gè)體，并計(jì)算種群個(gè)體目標(biāo)函數(shù)值，初始化各個(gè)迭代參數(shù)。

（2）對(duì)種群中第i個(gè)個(gè)體進(jìn)行變異操作。

（3）對(duì)第i個(gè)個(gè)體的變異個(gè)體進(jìn)行交叉操作，獲得子代個(gè)體。

（4）計(jì)算第i個(gè)子代個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值，采用非線性規(guī)劃算法對(duì)第i個(gè)子代進(jìn)行選擇操作，獲得第i個(gè)子代的全局最優(yōu)解；如果子代個(gè)體比父代個(gè)體優(yōu)秀，則用子代個(gè)體替代原父代個(gè)體，否則，維持原父代個(gè)體不變。

（5）如果i沒有達(dá)到種群個(gè)體數(shù)量上限，i=i+1，返回步驟（2），否則前往步驟（6）。

（6）如果未達(dá)到迭代的終止條件，i=1，返回步驟（2），否則改進(jìn)的優(yōu)化完成。

3 工程算例

3.1 初始有限元模型的建立

本文選取一連續(xù)剛構(gòu)橋進(jìn)行數(shù)值模擬，以實(shí)現(xiàn)橋梁有限元模型修正，并采用改進(jìn)的差分進(jìn)化算法進(jìn)行優(yōu)化求解。

該預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)剛構(gòu)橋總長(zhǎng)為230 m，跨徑布置為60 m+110 m+60 m，主梁形式為單箱單室，主墩為雙肢薄壁墩。連續(xù)剛構(gòu)橋的初始有限元模型采用六自由度的梁?jiǎn)卧纯臻g有限元進(jìn)行建模，有限元模型如圖2所示。

經(jīng)過有限元計(jì)算的自振頻率及振型如圖3所示。

3.2 待修正設(shè)計(jì)參數(shù)的確定

研究［11］表明影響大跨度混凝土連續(xù)剛構(gòu)橋的動(dòng)力特性的因素有：跨度、截面尺寸、混凝土彈性模量、邊界約束條件、墩高與橋墩剛度等?？紤]到該橋跨度、截面尺寸與墩高是確定的因素，而橋墩剛度取決于混凝土彈性模量和橋墩截面尺寸。因此，在對(duì)該連續(xù)剛構(gòu)橋進(jìn)行有限元模型修正時(shí)，選取混凝土彈性模量和邊界約束條件作為待修正參數(shù)。即選取主橋兩端的支座豎向彈簧剛度以及混凝土彈性模量相對(duì)初始值的倍數(shù)N作為待修正參數(shù)。

初步確定待修正參數(shù)后，通過基于靈敏度的方法進(jìn)一步來篩選參數(shù)。待修正參數(shù)對(duì)頻率的靈敏度見圖4和圖5。由圖可知，1#墩和4#墩支座豎向剛度參數(shù)對(duì)前三階頻率影響均很小，這是由于橋墩支座豎向剛度一般都認(rèn)為是剛性，在有限元里面剛度系數(shù)設(shè)置的較大，對(duì)其改變影響較小。而橋墩彈性模量組對(duì)前三階頻率影響最為敏感，主梁彈性模量組中彈性模量組2相對(duì)影響較大，主梁其他彈模組對(duì)不同頻率也分別有影響。

基于上述分析，選擇橋墩彈性模量組1～2和主梁彈性模量1～4作為待修正參數(shù)組，依據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，選取修正參數(shù)范圍上下浮動(dòng)15%，參數(shù)設(shè)計(jì)范圍取值如表1所示。

3.3 代理模型的確定

確定待修正參數(shù)和區(qū)間后，采用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)，產(chǎn)生25個(gè)樣本點(diǎn)，依次代入有限元模型，進(jìn)行批量運(yùn)算，得到對(duì)應(yīng)的六階頻率響應(yīng)值。隨后，對(duì)樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行高次擬合得到的響應(yīng)面函數(shù)式。限于文章篇幅，這里只給出一階頻率兩參數(shù)響應(yīng)面模型，如圖6、圖7所示。空間曲面的縱坐標(biāo)軸為頻率響應(yīng)的值，橫坐標(biāo)軸為兩個(gè)待修正參數(shù)的值。根據(jù)曲面曲率，可看出兩個(gè)待修正參數(shù)對(duì)各階頻率的綜合影響，曲面曲率越大說明綜合影響越顯著。

對(duì)回歸所得到的代理模型進(jìn)行精度檢驗(yàn)，在設(shè)計(jì)空間中隨機(jī)選取18個(gè)檢驗(yàn)點(diǎn)，不包括試驗(yàn)設(shè)計(jì)的點(diǎn)，將該組參數(shù)代入有限元模型，計(jì)算各響應(yīng)擬合所得響應(yīng)面的R2值和相對(duì)均方根誤差（RMSE），計(jì)算結(jié)果如表2所示。

計(jì)算得R2值最小為0.898，RMSE值最大為0.027 7，故回歸所得的各階響應(yīng)面模型的精度均較高，可以作為反映結(jié)構(gòu)特性的有限元模型，并用于參數(shù)的優(yōu)化計(jì)算。

3.4 有限元模型修正結(jié)果

本文選用改進(jìn)的差分進(jìn)化算法進(jìn)行優(yōu)化求解。由于本文是求解函數(shù)的最小值，把函數(shù)值的倒數(shù)作為個(gè)體的適應(yīng)度值，適應(yīng)度計(jì)算函數(shù)為：

F［f（x）］=1f（x）（1）

改進(jìn)的差分進(jìn)化算法參數(shù)設(shè)置：種群規(guī)模N=100，進(jìn)化次數(shù)為100次，交叉因子為0.6，變異因子為0.1。將參數(shù)初始值代入響應(yīng)面模型中并進(jìn)行優(yōu)化求解，得到待修正參數(shù)如表3、圖8所示，并與理想頻率進(jìn)行比較如表4、圖9所示。

從整體來看，修正后的連續(xù)剛構(gòu)橋有限元模型頻率響應(yīng)更接近實(shí)測(cè)值，誤差水平顯著降低。由表4可知，對(duì)于修正前誤差較大的前三階頻率得到了明顯的改善，而誤差本來就很小的階次并未出現(xiàn)因?yàn)楸敬涡拚l(fā)生不需要的偏離，各個(gè)修正參數(shù)均具有良好的物理意義，可作為后期橋梁運(yùn)營養(yǎng)護(hù)的基準(zhǔn)模型。

3.5 不同優(yōu)化算法的對(duì)比

為驗(yàn)證該算法的計(jì)算精度，采用傳統(tǒng)差分進(jìn)化算法和改進(jìn)的差分進(jìn)化算法對(duì)上述模型分別進(jìn)行計(jì)算對(duì)比。兩種算法的參數(shù)均設(shè)置為：種群規(guī)模N=100，交叉因子率為0.6，變異因子為0.1，進(jìn)化次數(shù)為50次和100次。對(duì)比結(jié)果如表5所示。

由表5對(duì)比結(jié)果可以看出，在同等條件下，基于差分進(jìn)化算法和非線性規(guī)劃的混合尋優(yōu)算法在求解結(jié)果上要優(yōu)于傳統(tǒng)的差分進(jìn)化算法，且隨著進(jìn)化次數(shù)的增加，其總體誤差越小，驗(yàn)證了改進(jìn)的差分進(jìn)化算法同時(shí)兼有全局尋優(yōu)和局部尋優(yōu)特點(diǎn)，提高了傳統(tǒng)差分進(jìn)化算法的搜索性能。

4 結(jié)語

本文引入差分進(jìn)化算法到橋梁結(jié)構(gòu)有限元模型修正中，改善了傳統(tǒng)有限元模型修正算法的全局優(yōu)化能力?；谠摲椒ㄐ拚蟮玫降倪B續(xù)剛構(gòu)橋有限元模型計(jì)算精度提升顯著，能夠真實(shí)反映橋梁結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)力特性，驗(yàn)證了該算法的可靠性和可行性，為解決橋梁有限元模型修正問題提供了一種新的參考方式。

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