3X+1問題

從任意一個(gè)正整數(shù)X開始，重復(fù)對(duì)其進(jìn)行下面的操作：如果這個(gè)數(shù)是偶數(shù)，把它除以2；如果這個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則把它擴(kuò)大到原來的3倍后再加1。你會(huì)發(fā)現(xiàn)，序列最終總會(huì)變成4，2，1，4，2，1，……的循環(huán)。

例如，所選的數(shù)是67，根據(jù)上面的規(guī)則可以依次得到：67，202，101，304，152，76，38，19，58，29，88，44，22，11，34，17，52，26，13，40，20，10，5，16，8，4，2，1，4，2，1，……

數(shù)學(xué)家們?cè)嚵撕芏鄶?shù)，沒有一個(gè)能逃脫“421 陷阱”。但是，是否對(duì)于所有的數(shù)，序列最終總會(huì)變成 4，2，1 循環(huán)呢？

這個(gè)問題可以說是一個(gè)“坑”——乍看之下，問題非常簡(jiǎn)單，突破口很多，于是數(shù)學(xué)家們紛紛往里面跳；殊不知進(jìn)去容易出去難，不少數(shù)學(xué)家到死都沒把這個(gè)問題搞出來。

已經(jīng)中招的數(shù)學(xué)家不計(jì)其數(shù)，這可以從3X + 1問題的各種別名看出來：3X + 1問題又叫 Collatz 猜想、Syracuse問題、Kakutani問題、Hasse算法、Ulam問題，等等。

后來，由于命名爭(zhēng)議太大，干脆直接叫作3X + 1問題了。

直到現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家們?nèi)匀粵]有證明，這個(gè)規(guī)律對(duì)于所有的數(shù)都成立。

一個(gè)小魔術(shù)

在一張紙上并排畫11個(gè)小方格，叫你的好朋友背對(duì)著你（讓你看不到他在紙上寫什么），在前兩個(gè)方格中隨便填兩個(gè)1到10之間的數(shù)。從第3個(gè)方格開始，在每個(gè)方格里填入前兩個(gè)方格里的數(shù)之和。讓你的朋友一直算出第10個(gè)方格里的數(shù)。假如你的朋友一開始填入方格的數(shù)是7和3，那么前10個(gè)方格里的數(shù)分別是：7、3、10、13、23、36、59、95、154、249。

現(xiàn)在，叫你的朋友報(bào)出第10個(gè)方格里的數(shù)，稍作計(jì)算你便能猜出第11個(gè)方格里的數(shù)應(yīng)該是多少。你的朋友會(huì)非常驚奇地發(fā)現(xiàn)，把第11個(gè)方格里的數(shù)計(jì)算出來，所得的結(jié)果與你的預(yù)測(cè)一模一樣！

其實(shí)，僅憑借第10個(gè)數(shù)來推測(cè)第11個(gè)數(shù)的方法非常簡(jiǎn)單，你需要做的僅僅是把第10個(gè)數(shù)乘以1.618，得到的乘積就是第11個(gè)數(shù)了。

在上面的例子中，由于249×1.618=402.882≈403，因此你可以胸有成竹地?cái)喽ǎ?1個(gè)數(shù)就是403。而事實(shí)上，154與249相加真的就等于403。不管最初的兩個(gè)數(shù)是什么，按照這種方式加下去，相鄰的兩數(shù)之比總會(huì)越來越趨近于1.618，這個(gè)數(shù)正是傳說中的“黃金分割”。

利用組合數(shù)學(xué)中的“生成函數(shù)”，可以完美地解釋這些現(xiàn)象產(chǎn)生的原因。