摘要：常見(jiàn)的動(dòng)態(tài)變換包括平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、翻折變換和伸縮變換，這些方法是用運(yùn)動(dòng)變化的觀念處理靜態(tài)問(wèn)題的重要手段.何時(shí)可以使用、如何使用是研究的核心問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：動(dòng)態(tài)變換；數(shù)學(xué)解題；靜態(tài)問(wèn)題

所謂的“運(yùn)動(dòng)變換思想”，就是指將靜態(tài)的問(wèn)題放在一個(gè)運(yùn)動(dòng)變換的過(guò)程中加以思考與分析.這種將靜態(tài)問(wèn)題動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化的思想，有利于從運(yùn)動(dòng)變換的角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究，挖掘出題目深度隱含著的若干信息，從而顯露出問(wèn)題的本質(zhì)特征，由此就可能獲得簡(jiǎn)潔、新穎的求解方法.下面舉例解析運(yùn)動(dòng)變換思想在解題中的若干運(yùn)用，希望能對(duì)廣大教師有所幫助.

1平移變換

將有關(guān)圖形的一個(gè)部分進(jìn)行平行移動(dòng)，在此過(guò)程中可以出現(xiàn)一些特殊情形，從而得到滿足題意的特殊位置，這就為完成答題提供了重要思考方向.

例1已知x，y滿足x2＋y2-2x＋4y=0，求x-2y的最大值.

解析：令x-2y=t，則t的幾何意義為直線x-2y=t在x軸上的截距，且直線隨t的變化平行移動(dòng)，由于動(dòng)點(diǎn)（x，y）同時(shí)滿足曲線方程和直線方

程，所以直線x-2y=t與圓x2＋y2-2x＋4y=0有公共點(diǎn).由圖1可知直線l1，l2為兩個(gè)極限位置.又圓心為C（1，-2），半徑為5，由|1-2×（-2）-t|12＋22=5知，此時(shí)tmax=10，即x-2y的最大值為10.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)將直線進(jìn)行平移變換，探究出問(wèn)題的核心部分，即當(dāng)直線與圓相切時(shí)就是兩個(gè)極限位置，也就是要求參數(shù)的臨界點(diǎn)的值.

例2已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長(zhǎng)都是2，D為BC中點(diǎn)，試求點(diǎn)A1到平面ADC1的距離.

解析：如圖2所示，連接A1C交AC1于O，連接OD，易知OD∥A1B.

又OD平面C1AD，則A1B∥平面C1AD，則點(diǎn)A1到平面ADC1的

距離是A1B上任意一點(diǎn)到平面ADC1的距離，即為點(diǎn)B到平面ADC1

的距離.又D為BC中點(diǎn)，易知點(diǎn)B到平面ADC1的距離即點(diǎn)C到平

面ADC1的距離.由AD⊥BC，易知平面ADC1⊥平面BB1C1C，C1D為交線，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥C1D于H，則CH⊥平面ADC1，則CH的長(zhǎng)就是點(diǎn)A1到面ADC1的距離，所以在Rt△CC1D中容易計(jì)算出CH=255.

【設(shè)計(jì)意圖】如何確定點(diǎn)到平面的距離是解決本題的一個(gè)關(guān)鍵，通過(guò)進(jìn)行多次的平移變換，將此距離放到了一個(gè)滿足題意且容易解決的一個(gè)特殊位置，使問(wèn)題獲得圓滿解決.

2旋轉(zhuǎn)變換

將一個(gè)圖形中的某些元素繞著一個(gè)點(diǎn)或一條直線旋轉(zhuǎn)，在此過(guò)程中觀察一些特殊位置的情況，這些特殊情況就是解題的突破口.

例1直線y-ax-1=0與雙曲線3x2-y2=1相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)a為何值時(shí)，A，B兩點(diǎn)都在雙曲線左支上？

解析：由于直線y-ax-1=0過(guò)定點(diǎn)（0，1）且繞其旋轉(zhuǎn)，由圖3可

知，當(dāng)直線與雙曲線左支交于A，B兩點(diǎn)時(shí)，其極限位置為l1及l(fā)2，其中

l2與雙曲線相切，l1與雙曲線漸近線平行，而由y-ax-1=0，

3x2-y2=1，消去y得

（3-a2）x2-2ax-2=0，令Δ=（-2a）2＋8（3-a2）=0，得

a1=6，a2=-6（舍去），又知l1的斜率為3，且從l1到l2的過(guò)程中直線的傾斜角逐漸增大，所以a∈（3，6）.

【設(shè)計(jì)意圖】在旋轉(zhuǎn)問(wèn)題中，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意把握好旋轉(zhuǎn)的極限位置.極限情況下參數(shù)值的求法，有時(shí)還需通過(guò)分類討論才能最終確定應(yīng)取的值.

例2若四面體的一條棱長(zhǎng)為xcm，其余棱長(zhǎng)都為2cm，則（1） x∈.（2）當(dāng)該四面體的體積最大時(shí)，試求x的值.

解析：（1）如圖4所示，設(shè)四面體PABC中PA=xcm，其余棱長(zhǎng)都為2cm，現(xiàn)固定△ABC，讓△PBC繞著直線BC進(jìn)行旋轉(zhuǎn)分析.當(dāng)P→A時(shí)，x→0，隨著△PBC繞BC

沿順時(shí)針?lè)较虿粩嘈D(zhuǎn)，導(dǎo)致x越來(lái)越大；當(dāng)P→D時(shí)，x→AD=23

（其中點(diǎn)D為菱形ACDB的一個(gè)頂點(diǎn)），故所求x∈（0，23）.

（2）設(shè)點(diǎn)P到平面ABC的距離為d，則VPABC=13·S△ABC·d=33d，所以要

使其體積最大，只需使點(diǎn)P到平面ABC的距離d最大，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的過(guò)程，易知當(dāng)平面PBC⊥平面ABC時(shí)，點(diǎn)P到平面ABC的距離取得最大值.取最大值時(shí)，△PBC中BC邊上的高為3cm，故此時(shí)所求x=6cm.

【設(shè)計(jì)意圖】運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換的觀點(diǎn)分析問(wèn)題，隨著一個(gè)平面的旋轉(zhuǎn)變動(dòng)把幾何體的變化規(guī)律揭示出來(lái)，再抓住不變的元素列式.利用極限位置是解決范圍和最值問(wèn)題的有效方法.

3翻折變換

通過(guò)把原來(lái)的圖形進(jìn)行折疊，轉(zhuǎn)變成另一個(gè)幾何圖形，但這其中有很多的量是不變的，抓住了不變量進(jìn)行分析就能快速解題.

例1在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長(zhǎng)為2，寬為1，

邊AB，AD分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖5），將矩形折疊，使點(diǎn)A落在線段DC上.求折痕所在直線的斜率的取值范圍.

解析：①設(shè)折痕所在直線的斜率為k，當(dāng)k=0時(shí)，

此時(shí)A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，符合題意.

②當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)將矩形折疊后點(diǎn)A落在線段DC上的點(diǎn)

為G（a，1），所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱，有kOG·k=－1，即1a·k=-1，得a=-k.由于0lt;a≤2，故-2≤klt;0，結(jié)合①得，折痕所在直線的斜率的取值范圍為［-2，0］.

【設(shè)計(jì)意圖】此題以“翻折”為載體，考查了直線方程關(guān)于直線對(duì)稱或者點(diǎn)對(duì)稱等知識(shí)，是一類情境新穎的活題，給斜率問(wèn)題又增添了“動(dòng)起來(lái)”的活力.

例2如圖6所示，ABCD是正方形，E是AB的中點(diǎn)，將△ADE和△BEC沿DE和CE折起，使AE與BE重合，記A與B重合后的點(diǎn)為P.

（1）求證：PE⊥平面PDC.

（2）求二面角PCDE的度數(shù).

解析：（1）因?yàn)樵瓐DABCD是正方形，由翻折過(guò)程可知，PE⊥PD，PE⊥PC，故PE⊥平面PDC.

（2）

如圖7所示，取CD中點(diǎn)F，連接PF，PE.在原平面圖形中，AD=BC，ED=EC，翻折后A與B重合為P，故PD=PC，可知PF⊥CD，EF⊥CD，則∠PFE是二面角PCDE的平面角.設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，得PE=a2，EF=a，故sin∠PFE=a2a=12，則二面角PCDE的度數(shù)為30°.

【設(shè)計(jì)意圖】從所給的原平面圖形的特殊性去分析，垂直關(guān)系和相等關(guān)系最明顯，這也是在“翻折”為空間圖形中可能保持性質(zhì)的兩個(gè)重要關(guān)系，解題時(shí)必須重點(diǎn)關(guān)注.

4伸縮變換

通過(guò)對(duì)題目中的某些元素進(jìn)行伸長(zhǎng)（擴(kuò)大）或縮短（縮?。┳儞Q，把不典型的、不熟悉的情況變成已知的情形，這就是成功解題、探索前進(jìn)的道路.

例1如圖8所示，在多面體ABCDEF中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，EF∥AB，EF=32，EF與平面AC的距離為2，則該多面體的體積是（）.

A. 92

B. 5

C. 6

D. 152

解析：現(xiàn)讓EF的長(zhǎng)發(fā)生變化，分析如下.當(dāng)EF→0時(shí)，

V多面體ABCDEF→V四棱錐EABCD=13×32×2=6；當(dāng)EF→3時(shí)，V多面體ABCDEF→

V直三棱柱ADEBCF=S△BCF·AB=12×3×2×3=9，所以6lt;V多面體ABCDEFlt;9.故運(yùn)用排除法，應(yīng)選D.

【設(shè)計(jì)意圖】此解法抓住了選擇題的特點(diǎn)，通過(guò)對(duì)EF的伸縮變換，得到一些容易計(jì)算的特殊情況下的體積特例，將所求的幾何體體積的范圍給估算出來(lái)，為確定選項(xiàng)提供了決定因素.

例2已知函數(shù)y=f（x）（x≥1，x∈R）滿足f（3x）=3f（x），并且當(dāng)1≤x≤3時(shí)，f（x）=1-|x-2|，求集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素.

解析：由于當(dāng)1≤x≤3時(shí)，f（x）=1-|x-2|，所以當(dāng)3≤x≤9時(shí)，fx3=1-x3-2，則f（x）=3fx3=3-|3x-6|；當(dāng)9≤x≤27時(shí)，fx3=3-3·x3-6=3-|x-6|，此時(shí)，f（x）=

3fx3=9-|3x-18|；當(dāng)27≤x≤81時(shí)，fx3=9-3·x3-18=9-|x-18|，此時(shí)f（x）= 3fx3=27-|3x-54|；當(dāng)81≤x≤243時(shí)，fx3=27-3·x3-54=27-|x-54|，此時(shí)f（x）=

3fx3=81-|3x-162|.由此可得f（99）=81-|3×99-162|=-54，接下來(lái)解方程f（x）=-54.

當(dāng)27≤x≤81時(shí)，由27-|3x-54|=-54，解得x=45（負(fù)值舍去）；當(dāng)9≤x≤27時(shí)，由

9-|3x-18|=-54，得3x-18=±63，沒(méi)有滿足題意的x值；當(dāng)3≤x≤9時(shí)，由3-|3x-6|=-54，得3x-6=±57，也沒(méi)有滿足題意的x值.由此集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是45.

【設(shè)計(jì)意圖】本題中的函數(shù)問(wèn)題是一個(gè)特殊的放縮問(wèn)題，掌握其放縮規(guī)律，探究滿足題意的特殊情況是解題關(guān)鍵，特別注意滿足“最小的元素”的確定，不可倉(cāng)促的下結(jié)論.

5結(jié)語(yǔ)

動(dòng)態(tài)變換是高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)變換，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)問(wèn)題的靈活性和豐富多彩，也是考查思維能力和應(yīng)對(duì)水平的有效載體.教師要善于把握各類變換的規(guī)律性，探索變換前后的特性，抓住關(guān)鍵的不變量，挖掘隱含條件，提高學(xué)生的解題水平，從而進(jìn)一步提升其認(rèn)知能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).