摘要：圓錐曲線是高考的重點(diǎn)與難點(diǎn)問題.近三年高考題中不管是主觀題還是客觀題都是以中檔題或者壓軸題為主，計(jì)算量大、靈活度高、區(qū)分度大.為了提高學(xué)生解決圓錐曲線問題的能力，一定要重計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生透過問題把握本質(zhì)的能力.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；傾斜角；解題探索

圓錐曲線問題是幾何問題，在高中階段處理的方式常常是幾何問題代數(shù)化.本文以圓錐曲線中的角的處理方法為例，從多個(gè)角度展示了求解圓錐曲線相關(guān)問題的常見方法.

1題目呈現(xiàn)

已知拋物線C：y2＝6x的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作斜率為k的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，∠AFB＝120°，則k的值為.

2題目解讀

本題以拋物線為載體，從點(diǎn)M出發(fā)的直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，因此考查的是直線與拋物線的位置關(guān)系.在△AFB中，∠AFB的大小與直線AB的斜率息息相關(guān)，本題以∠AFB的處理為基礎(chǔ)建構(gòu)模型來建立與k有關(guān)的方程，從而解決問題.

3本質(zhì)分析

本題屬于直線與拋物線相交求直線斜率問題.直線是由兩個(gè)點(diǎn)或者一個(gè)點(diǎn)加一個(gè)方向決定.本題拋物線是定的，直線AB過點(diǎn)M，且直線AB與拋物線的兩交點(diǎn)與F的夾角是定的，因此直線的方向是定的，從而直線的斜率為定值.求k的值，從代數(shù)上來看要么直接求出，要么建立要求量的方程.題中有一個(gè)已知條件∠AFB＝120°，所以只需要將該幾何特征通過代數(shù)性質(zhì)或平面幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化成要求量的方程即可.

4多角度探究問題

4.1解三角形處理圓錐曲線有關(guān)的角的問題

思路分析：直線AB恒過點(diǎn)－32，0，因此直線AB可以先用點(diǎn)斜式的方式設(shè)出，然后將拋物線C：y2＝6x與直線AB聯(lián)立，由韋達(dá)定理得到A，B橫（縱）坐標(biāo)的和與積關(guān)系，再將∠AFB＝120°放到△AFB中研究.利用弦長(zhǎng)公式求出AB，利用拋物線的定義求出AF，BF，再利用余弦定理刻畫∠AFB，這樣得到與A，B橫坐標(biāo)有關(guān)的一個(gè)等式.接著，利用配湊、設(shè)而不求等數(shù)學(xué)思想建立k的方程，從而解出k的值.

解析：當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，AB與拋物線無交點(diǎn)，舍去.

當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，

在△AFB中，因?yàn)椤螦FB＝120°，所以由余弦定理得AB2＝AF2＋FB2＋AF·FB.

設(shè)直線l的方程為y＝kx＋32，A（x1，y1），B（x2，y2），則

由y2＝6x，

y＝kx＋ 32，消去y整理得k2x2＋（3k2－6）x＋94k2＝0，

所以Δ＝（3k2－6）2－9k4＝36（1－k2）＞0，即－1＜k＜1，

且由韋達(dá)定理得x1＋x2＝－3k2－6k2，x1x2＝94.

由余弦定理，可列（k2＋1）（x1－x2）2＝x1＋322＋x2＋322＋x1＋32x2＋32，

所以k2（x1＋x2）2－（4k2＋3）x1x2－92（x1＋x2）－274＝0.

由韋達(dá)定理得k2·－3k2－6k22－（4k2＋3）×94－92×－3k2－6k2－274＝0，

化簡(jiǎn)得1－4k2＝0，

所以k＝±12.

解后反思：對(duì)于已知一點(diǎn)要求直線斜率的問題，往往設(shè)點(diǎn)斜式.就本題而言，定點(diǎn)在x軸上，這種設(shè)法直線的斜率與縱截距都含有未知量，因此直線與拋物線聯(lián)立所得的方程過于復(fù)雜，這樣的計(jì)算量讓很多學(xué)生望而卻步，大大降低了計(jì)算的正確率.因此，可以根據(jù)已知條件以橫截距為基礎(chǔ)，設(shè)直線l的方程.

方法優(yōu)化：由題知直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為x＝my－32，A（x1，y1），B（x2，y2），

由x＝my－32，

y2＝6x，消去x整理得y2－6my＋9＝0，

所以Δ＝36m2－36＝36（m2－1）＞0，即m＜－1或m＞1.

由韋達(dá)定理得y1＋y2＝6m，y1y2＝9，

且（m2＋1）（y1－y2）2＝x1＋322＋x2＋322＋x1＋32x2＋32，

所以（m2＋1）（y1－y2）2＝m2（y21＋y22）＋m2y1y2，

即（m2＋1）（y1－y2）2＝m2（y1＋y2）2－m2y1y2，

則36（m2＋1）（m2－1）＝m2·36m2－9m2，解得m＝±2，

所以k＝±12.

解后反思：直線與拋物線相交轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系就是兩直線方程聯(lián)立，由于本題并未要求求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，所以沒有必要利用二次方程求根公式求出兩點(diǎn)橫（縱）坐標(biāo).上述的解法抓住∠AFB是△AFB的內(nèi)角這一幾何特征，聯(lián)想到余弦定理來處理角，水到渠成.余弦定理涉及三邊的長(zhǎng)度，而弦長(zhǎng)公式中還帶有根式，要處理它只能借助于平方，得到的等量關(guān)系次數(shù)高，化簡(jiǎn)過程煩瑣，費(fèi)時(shí)費(fèi)力.

4.2利用斜率與傾斜角處理圓錐曲線有關(guān)的角的問題

思路分析：分析已知條件與要求的量，∠AFB的處理是本題的關(guān)鍵.觀察到本題中有直線AF的傾斜角，直線BF的傾斜角，∠AFB，這三者的關(guān)系是∠AFB＝直線BF的傾斜角－直線AF的傾斜角.由任意角的三角函數(shù)的定義知，角的正切值可以用點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)表示，再關(guān)聯(lián)到正切值與斜率之間的關(guān)系，從而可以得到與A，B坐標(biāo)有關(guān)的方程.

解析：當(dāng)k＞0時(shí)，即m＞0，不妨設(shè)A在B的上方，直線AF，BF的傾斜角分別為α，β.

因?yàn)椋?＝tan120°＝tan（β－α）＝tanβ－tanα1＋tanβtanα＝ y2x2－32－y1x1－321＋ y2x2－32· y1x1－32，

所以－3·x1－32x2－32－3y1y2＝y(tǒng)2x1－32－y1·x2－32，

整理得－（m2＋1） y1y2＋3m（y1＋y2）－9＝3（y1－y2），

解得m＝2.

同理，m＜0時(shí)，得到m＝－2.

綜上所述，m＝±2.

解后反思：上述解法通過將一個(gè)角看成另兩個(gè)角的差來解決，體現(xiàn)了平面幾何中處理問題的一個(gè)常見思想，即圖形割補(bǔ).利用兩角和差的正切公式，聯(lián)系了正切與斜率之間的關(guān)系，使得代數(shù)與幾何有機(jī)的聯(lián)系在一起，巧妙地實(shí)現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化.

4.3利用到角公式處理圓錐曲線有關(guān)的角的問題

思路分析：題目中的∠AFB可以看成直線AF按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與BF重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角，因此∠AFB也可以用到角公式來刻畫，然后將斜率用坐標(biāo)表示.

解析：當(dāng)k＞0時(shí)，不妨設(shè)A在B的上方，直線AF，BF的斜率分別為k1，k2.

由到角公式得tan120°＝k2－k11＋k1k2＝ y2x2－32－y1x1－321＋ y2x2－32· y1x1－32，接下來化簡(jiǎn)，方法同上.

解后反思：任意角三角函數(shù)的定義強(qiáng)調(diào)始邊與終邊，而到角公式很好地詮釋了這一點(diǎn).

4.4利用向量與向量夾角處理圓錐曲線有關(guān)的角的問題

思路分析：題目中的∠AFB也可以看成向量FA與FB的夾角，接著向量FA，F(xiàn)B坐標(biāo)化，再根據(jù)向量夾角公式將∠AFB＝120°代數(shù)化，從而得到關(guān)于x1， x2，y1，y2的方程.

解析：設(shè)直線AB的方程為x＝my－32，A（x1，y1），B（x2，y2）.

因?yàn)镕A·FB＝－12FA·FB，

所以x1－32x2－32＋y1y2＝－12x1＋32·x2＋32，

即（3m2＋2）×9－6m×6m＋18＝0，

解得m＝±2.

解后反思：向量既是代數(shù)也是幾何研究對(duì)象，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁.題中A，B兩點(diǎn)已經(jīng)設(shè)出，點(diǎn)F又是已知的，因此FA與FB用坐標(biāo)表示簡(jiǎn)單，從而完成了∠AFB的用向量建構(gòu)，并且解決了上述方法次數(shù)過高的問題.

4.5利用平面幾何知識(shí)處理圓錐曲線有關(guān)的角的問題

思路分析：利用拋物線的定義將焦半徑AF，BF轉(zhuǎn)準(zhǔn)線，將MB和MA的比值作為橋梁，利用平行線所截得的線段成比例，得到AN＝AF，于是△AFN是一個(gè)等腰三角形，再由∠AFB的角度得到∠AFN的角度，此時(shí)△AFN為一個(gè)已知三角形.直線l的斜率可以看成Rt△AFD的一個(gè)正弦值，從而得到與△AFD邊長(zhǎng)之間的關(guān)系.

解析：不妨設(shè)k＞0，如圖1所示.

作AN∥BF，交x軸于N，過A作AD垂直于x軸，交x軸于D.

因?yàn)锽FAF＝BB1AA1＝MBMA＝BFAN，

所以AN＝AF.又∠FAN＝∠AFB＝2π3，所以∠ANM＝π6，

所以k＝tan∠AMD＝ADMD＝ADAA1＝ADAF＝12，

所以k＝12.

同理，k＜0時(shí)，得到k＝－12.

綜上所述，k＝±12.

解后反思：角度的證明與計(jì)算是一個(gè)幾何問題.幾何問題從難易程度來看是特殊圖形比較簡(jiǎn)單，本題正是體現(xiàn)了這樣的思維過程.先利用幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化得到△AFN為特殊的三角形，然后將要求的量往已知三角形轉(zhuǎn)就可以求解.

5反思總結(jié)

解析幾何問題是幾何與代數(shù)的結(jié)合體.解析幾何的問題基于圖形的理解，求解過程代數(shù)化，代數(shù)化選擇過程體現(xiàn)了對(duì)幾何性質(zhì)本質(zhì)的理解.解析幾何代數(shù)化的過程普遍存在計(jì)算量大、處理問題角度多等問題，這使得學(xué)生無法選擇一個(gè)最合適的方法.教師要注重問題的分析、模型的建構(gòu)、算理的講解，讓學(xué)生明白問題現(xiàn)在在哪里，要到哪里去，途中會(huì)遇到什么，下面該怎么解決，使得問題變得有跡可循、有法可依.總之，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生積極發(fā)揮主動(dòng)性，真正有效地把握問題本質(zhì)，學(xué)會(huì)建構(gòu)模型［1］，增強(qiáng)計(jì)算能力，提高問題解決的能力.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.