摘要：阿基米德三角形背景深刻、內(nèi)涵豐富，具有很多美妙的性質(zhì)，一直被作為高考或競賽命題的重要素材，主要考查學生解決直線與拋物線位置關(guān)系的能力.本文通過對阿基米德三角形性質(zhì)的探究，以此鞏固學生所學的知識與方法，提升解題效益.

關(guān)鍵詞：阿基米德三角形；性質(zhì)探究；拋物線

拋物線的弦與過該弦端點的兩條切線所圍成的三角形叫作阿基米德三角形，該弦叫作阿基米德三角形的底邊，兩條切線的交點叫作阿基米德三角形的頂點.

希臘數(shù)學家阿基米德（Archimedes）最早在《拋物線求積法》著作中，利用“窮竭法”討論了直線與拋物線所圍成的不規(guī)則圖形面積的求解問題，即拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成三角形面積的23.阿基米德三角形背景深刻、內(nèi)涵豐富，具有很多美妙的性質(zhì)，一直被作為高考或競賽命題的重要素材.因此，有必要對阿基米德三角形的性質(zhì)進行探究和題型歸納.

1阿基米德三角形性質(zhì)探究

以拋物線x2＝2py（p＞0）為例，對阿基米德三角形性質(zhì)作如下探究.

如圖1所示，阿基米德三角形PAB的底邊為AB（拋物線的弦），Q為線段AB的中點，P為其頂點.

性質(zhì)1如圖2所示，在△PAB中，若Q為線段AB的中點，則直線PQ平行于y軸.

證明：設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），則y1＝x212p，y2＝x222p，易知過點A，B的切線方程分別為x1x＝py1＋py，x2x＝py2＋py.兩式相減得x（x1-x2）＝p（y1-y2），解得x＝p（y1- y2）x1- x2＝x1＋x22，再將x＝x1＋x22代入x1x＝py1＋py，解得y＝x1x22p，所以點P的坐標為x1＋x22，x1x22p.又線段AB中點Q的橫坐標為x1＋x22，所以阿基米德三角形PAB底邊上的中線PQ平行于y軸.

根據(jù)性質(zhì)1，得到如下推論.

推論1若A，B的橫坐標分別為x1，x2，則點P的坐標為x1＋x22，x1x22p.

推論2若P的坐標為（x0，y0），則直線AB的解析式為x0x-py-py0＝0.

推論3若A（x1，y1），B（x2，y2）為拋物線上任意兩個不同的點，則2py-（x1＋x2）x＋ x1x2＝0.

性質(zhì)2若△PAB的底邊AB過定點G（a，b），則頂點P的軌跡為一條直線.

證明：如圖3所示，設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），P（x0，y0）.

由推論2知直線AB的方程為x0x-py- py0＝0.因為點G（a，b）在直線AB上，所以x0a-pb-py0＝0，由點P（x0，y0）的任意性，得點P的軌跡方程為ax-pb-py＝0，所以頂點P的軌跡為一條直線.

性質(zhì)3如圖3所示，當直線AB所過的定點G不在y軸上時，點P所在直線在拋物線外且與y軸不垂直.

性質(zhì)4如圖3所示，定直線l與拋物線沒有公共點，若點P在直線l上，則AB過定點.

證明：設(shè)直線l的解析式為ax＋by＋c＝0，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），P（x0，y0），因為直線l與拋物線沒有公共點，所以b≠0.由點P在直線l上，得ax0＋by0＋c＝0.由推論2知直線AB的解析式為x0x＝py＋py0.根據(jù)上式，消去y0得（pa＋bx）x0＋p（c-by）＝0，根據(jù)x0的任意性，得pa＋bx＝0，

c-by＝0，解得x＝-pab，

y＝cb，所以弦AB過定點-pab，cb.

推論4如圖4所示，若直線AB過定點G（0，t）時，點P所在直線l在拋物線外且與y軸垂直，且直線l的解析式為y＝-t.特別地，若直線AB過定點G（0，p2）時，則點P在直線y＝-p2上.

性質(zhì)5如圖5所示，在阿基米德三角形PAB中，若F為拋物線的焦點，則∠PFA＝∠PFB.

證明：如圖6所示，過點A，B分別作直線y＝-p2的垂線AA′，BB′，并連接AP，BP，PF，A′F，B′F，則kA′F＝-px1，由x2＝2py，得y′＝xp，故kPA＝x1p，所以kFA′kPA＝-1，從而FA′⊥PA，由拋物線定義，得|AA′|＝|AF|，故AP是線段A′F的中垂線，所以|PA′|＝|PF|，所以∠PA′A＝∠PFA.同理，可證|PB′|＝|PF|，∠PB′B＝∠PFB，從而PA′＝PB′＝PF，即∠PA′B′＝∠PB′A′，

故∠PA′A＝∠PA′B′＋90°＝∠PB′A′＋90°＝∠PB′B，所以∠PFA＝∠PFB.

性質(zhì)6如圖7所示，若M為拋物線弧AB上的動點，點M處的切線與PA，PB分別交于點C，D，則|AC||CP|＝|CM||MD|＝|PD||DB|.

證明：設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），M（x3，y3），由推論1易得xP＝x1＋x22，xC＝x1＋x32，xD＝x2＋x32，則|AC||CP|＝ |xC-x1||xC-xP|＝|x3-x1||x3-x2|，|CM||MD|＝ |x3-xC||xD-x3|＝|x3-x1||x2-x3|，所以|AC||CP|＝|CM||MD|.同理，可證|CM||MD|＝|PD||DB|，所以|AC||CP|＝|CM||MD|＝|PD||DB|.

推論5如圖7所示，若M為拋物線弧AB上的動點，點M處的切線與PA，PB分別交于點C，D，則S△MAB＝2S△PCD.

證明：設(shè)|AC||CP|＝|CM||MD|＝|PD||DB|＝t，令S△PCM＝S，則S△CAMS＝|AC||CP|＝t，即S△CAM＝tS，同理，得S△PMD＝St，S△DMB＝St2.因為S△PABS△PCD＝PA·PBPC·PD＝t＋11·t＋1t＝（t＋1）2t，所以S△PAB＝（t＋1）2t，S△PCD＝（t＋1）2t（S＋St）＝（t＋1）3t2S，所以S△MAB＝S△PAB-S△PCD-S△CAM-S△DBM＝2（t＋1）tS，S△PCD＝St＋S＝t＋1tS，所以S△MAB＝2S△PCD.

性質(zhì)7若阿基米德三角形PAB的底邊長為a，則（S△PAB）max＝ a38p.

證明：設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），由推論1及推論2知直線AB的解析式為x0x-py-py0＝0，且Px1＋x22，x1x22p .又點P到直線AB的距離d＝|x20-2py0|x20＋p2，|AB|＝1＋x0p2·|x1-x2|，所以S△PAB＝12×|x20-2py0|x20＋p2×1＋x20p2|x1-x2|＝|x20-2py0|·|x1-x2|2p ＝|x1-x2|38p .

又a＝|AB|＝1＋x1＋x22p2|x1-x2|≥|x1-x2|，即|x1-x2|≤a，當x1-a＝x2時，取等號，所以S△PAB＝|x1-x2|38p≤a38p，所以當AB為定值a時，（S△PAB）max＝a38p.

推論6過拋物線x2＝±2py（p＞0）外一點P（x0，y0）作拋物線的切線PA，PB，切于點A（x1，y1），B（x2，y2），則S△PAB＝|x1-x2|38p.

推論7過拋物線y2＝±2px（p＞0）外一點P（x0，y0）作拋物線的切線PA，PB，切于點A（x1，y1），B（x2，y2），則S△PAB＝|y1-y2|38p.

推論8過拋物線x2＝±2py（或y2＝±2px）（p＞0）外一點P（x0，y0）作拋物線的切線PA，PB，切于點A（x1，y1），B（x2，y2），則（S△PAB）max＝|AB|38p.

性質(zhì)8如圖8所示，若底邊AB過焦點F，Q為線段AB的中點，則頂點P的軌跡為準線，PA⊥PB，PF⊥AB，xP＝pkAB＝xQ，且S△PAB最小值為p2.

證明：（方法1）根據(jù)推論1，易得點P的坐標，由此驗證kPAkPB＝-1，kPFkAB＝-1，即證得PA⊥PB，PF⊥AB.

如圖8所示，不妨設(shè)x1＜0，x2＞0，由性質(zhì)1及性質(zhì)3中的推論可得PQ平行于y軸，點P在直線y＝-p2上，則|PQ|＝12（y1＋y2＋p）＝12·x212p＋x222p＋p≥12|x1x2|p＋p＝p，當且僅當|x1|＝|x2|時，等號成立.

又|x2-x1|＝|x2＋（-x1）|≥2-x1x2＝2p，當且僅當|x1|＝|x2|時，等號成立，所以S△PAB＝12×|PQ|×|x2-x1|≥12×p×2p＝p2，所以S△PAB最小值為p2.

（方法2）設(shè)直線AB的傾斜角為α，不妨令α∈0，π2，如圖9所示，過點A作AM垂直y＝-p2于點M，過點F作FN垂直于直線AM于點N，則∠AFN＝α.

在△AFN中，易求|AN|＝|AF|sinα.又|MN|＝p，且|AF|＝|AM|，所以|AF|＝|AN|＋|MN|＝|AF|sinα＋p，即|AF|＝p1-sinα.同理，得BF＝p1＋sinα，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝2pcos2α.

又PA⊥PB，PF⊥AB，根據(jù)直角三角形的射影定理得|PF|2＝|FA|×|FB|＝p2cos2α，所以|PF|＝pcosα，所以S△PAB＝12×|AB|×|PF|＝p2cos3α≥p2，當且僅當α＝0時，取等號，所以S△PAB最小值為p2.

2阿基米德三角形性質(zhì)拓展

拓展性質(zhì)1如圖10所示，若點 P 是橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）過右焦點 F 的弦 AB 在兩端點處的切線的交點，則有如下性質(zhì).

（1）點 P 在橢圓的右準線上.

（2）PF⊥AB.

（3）△PAB 面積的最小值為b4ac.

證明：（1）設(shè)直線AB的解析式為x＝my＋c，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）.聯(lián)立直線AB與橢圓方程，得（b2m2＋a2）y2＋2mcb2y-b4＝0，由韋達定理得y1＋y2＝-2mcb2b2m2＋a2，y1y2＝-b4b2m2＋a2，易求橢圓在點A，B處的切線方程為x1xa2＋y1yb2＝1，x2xa2＋y2yb2＝1.

又點P是兩條切線的交點，所以x1x0a2＋y1y0b2＝1，x2x0a2＋y2y0b2＝1，所以直線AB為x0xa2＋y0yb2＝1，即b2x0x＋a2y0y＝a2b2，所以直線AB的一個法向量為m＝（b2x0，a2y0）.

又n＝（m，1）是直線AB的一個方向向量，所以m·n＝（b2x0，a2y0）·（m，1）＝0，即y0＝-mb2x0a2，再結(jié)合x1x0a2＋y1y0b2＝1，x1＝my1＋c，消去x1，y1得x0＝a2c，故y0＝-mb2c，所以點P a2c，- mb2c在橢圓的右準線上，即證.

（2）因為n＝（m，1）是直線AB的一個方向向量，且PF＝- b2c，mb2c，所以 PF·n＝- b2c，mb2c·（m，1）＝0，所以PF⊥AB，即證.

（3）由 PF＝ b2c，- mb2c，得| PF|＝ b21＋m2c，又|AB|＝|AF|＋|BF|＝（a-ex1）＋（a＋ex2）＝2a-e（x1＋ x2）＝ 2a-ca·［m（y1＋ y2）＋2c］＝2a-ca·2c- 2m2b2cb2m2＋a2＝ 2ab2（1＋m2）b2m2＋a2，所以S△PAB＝ 12|AB|·|PF|＝ 12· 2ab2（1＋m2）b2m2＋a2· b21＋m2c＝ ab4c （1＋m2）3（b2m2＋a2）2.

令x＝m2，則S＝ ab4c （1＋x）3（b2x＋a2）2.

令f（x）＝ （1＋x）3（b2x＋a2）2（x≥0），則f′（x）＝ （1＋x）2（b2x＋3a2-2b2）（b2x＋a2）3＞0，即f（x）在區(qū)間［0，＋∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）min＝ 1a4，所以（S△PAB）min＝b4ac.

拓展性質(zhì)2若點 P 是雙曲線x2a2-y2b2＝1（a ＞ 0，b ＞0）過右焦點 F 的弦 AB 在兩端點處的切線的交點，則有如下性質(zhì).

（1）點 P 在雙曲線的右準線上.

（2）PF⊥AB.

（3）△PAB 面積的最小值為b4ac.

拓展性質(zhì)3圓錐曲線阿基米德三角形頂點在焦點所對應(yīng)的準線上，頂點在底邊上的射影就是焦點，當?shù)走厼橥◤綍r阿基米德三角形面積最小，其值為圓錐曲線的通徑長與焦準距的積的一半.

3結(jié)語

了解并掌握阿基米德三角形豐富的性質(zhì)，可以有效拓展學習的深度和廣度，增強學習效益，提升思維品質(zhì).因此，教師應(yīng)在教學中設(shè)置相關(guān)教學內(nèi)容，幫助學生掌握阿基米德三角形相關(guān)性質(zhì)與推論，從而發(fā)展學生綜合素養(yǎng).

*基金項目：江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃課題“自組織視域下高中數(shù)學教學模式的研究”（項目編號：D/2021/01/579）.