摘" 要：針對不確定性需求引入報童模型到供應鏈網絡均衡模型中，用于供應鏈網絡中廠商的產量和價格決策?？紤]到在實際生活中正態(tài)分布的更為常見性和重要性，在需求正態(tài)分布條件下運用博弈理論、網絡均衡理論、報童模型以及變分不等式等方法建立了需求正態(tài)分布條件下基于報童模型的供應鏈網絡均衡模型，研究了當需求服從正態(tài)分布條件下供應鏈與供應鏈之間的競爭行為和競爭結果。

關鍵詞：不確定性需求；報童模型；供應鏈網絡；正態(tài)分布

" 中圖分類號：F274" " 文獻標志碼：A" " DOI：10.13714/j.cnki.1002-3100.2024.21.030

Abstract： Aiming at the uncertain demand， the Newsvendor model is introduced into the supply chain network equilibrium model， which is used for the production and price decision of manufacturers in the supply chain network. Considering the more common and important normal distribution in real life， a supply chain network equilibrium model based on the Newsvendor model is established under the condition of normal demand distribution by using game theory， network equilibrium theory， Newsvendor model and variation inequality. The competition behavior and results between supply chain and supply chain are studied under the condition of normal distribution of demand.

Key words： uncertain demand; Newsvendor model; supply chain network; normal distribution

0" 引" 言

" 隨著全球一體化進程的發(fā)展以及組織管理方式的不斷變革，供應鏈管理受到越來越多企業(yè)的重視。20世紀90年代，隨著經濟全球化的不斷深入，市場競爭日趨激烈，供應鏈網絡管理作為企業(yè)參與競爭的一種形式和管理方法，在給企業(yè)帶來收益與競爭力的同時，也給企業(yè)帶來了許多挑戰(zhàn)。當前，伴隨著供應鏈各種不確定因素的存在，企業(yè)供應鏈已經表現出復雜的網絡疊加結構，伴隨而來的還有越來越多的供應鏈風險事件，可以看出整個供應鏈的穩(wěn)定和高效運行是我國經濟當前最重要的發(fā)展目標之一[1-2]。

" 目前，供應鏈網絡均衡問題一直是許多學者研究的一個重點問題，供應鏈網絡模型的構建能夠指導參與企業(yè)進行最優(yōu)的產量決策和價格決策，從而實現整個供應鏈系統(tǒng)的最優(yōu)化運行。供應鏈網絡均衡模型是在供應鏈管理的問題中常用的一種決策模型，該模型可以清晰的表達供應鏈網絡中各成員的收益以及各成員之間的競爭與合作的關系。Nagurney起初將變分不等式應用到經濟網絡中，刻畫了網絡中各成員非合作博弈的特征，建立了一個包括產品生產商、零售商以及需求市場組成的供應鏈網絡均衡模型，通過變分不等式等知識給出產品由生產商、零售商和需求市場組成的供應鏈網絡均衡條件，具有重要的經濟意義[3-6]。目前大部分供應鏈網絡研究方面的文獻都集中在供應鏈網絡內部問題的協(xié)調上。例如，制造商的選擇、供應鏈網絡的布局、制造商的生產能力等[7-10]，這種由單個生產商和兩個經銷商構成的基礎的供應鏈網絡問題，一般可以通過設定生產成本函數和需求函數來構建供應鏈網絡優(yōu)化模型，進而實現該供應鏈網絡均衡模型的解決方案。

" 供應鏈網絡包括了眾多的原材料供應商、產品生產商以及需求市場，如何高效的協(xié)調供應鏈網絡中各個廠商的收益和責任，促進整個供應鏈網絡系統(tǒng)的最優(yōu)發(fā)展，這是目前我國各產業(yè)供應鏈網絡發(fā)展的當務之急。如今，眾多的災難和人為的風險已經極大的影響了各個國家供應鏈網絡的正常運行[11]，2011年3月，一場強烈的9級地震襲擊了日本的本州東部沿海地區(qū)，此次地震不僅給當地造成了巨大經濟損失，也導致了全球汽車行業(yè)產業(yè)鏈的中斷，在地震發(fā)生幾天后，豐田、日產以及本田等汽車公司就有15家工廠停止了生產，原因就是由于汽車零部件供給不足，最終導致了日本國內汽車生產全面停滯；2018年5月，美國福特的一家重要零部件供應商Meridian的工廠突發(fā)火災，受火災影響直接導致美國福特三家工廠被迫停產，約有三千多名工人暫時停工，原因就是Meridian供應的零部件發(fā)生短缺，導致零部件供給不足；有關這類供應鏈發(fā)生風險的報道比比皆是?？梢钥闯觯趯嶋H的生產運作中，產品的需求量往往不是確定的，會隨著產品的運輸時間、產品的時效性、產品的季節(jié)性、突發(fā)風險等諸多原因的變化而變化。所以說，市場需求的不確定性已經引起越來越多學者的關注。在基于需求波動風險管理的供應鏈網絡中各個成員之間的關系相對復雜，供應鏈網絡中消費市場的需求時刻在變動，怎樣有效地在需求不確定的情況下將供應鏈網絡中各個成員企業(yè)間的相對關系進行合理化的協(xié)調，實現整個供應鏈系統(tǒng)的最優(yōu)化運作，是當前供應鏈管理發(fā)展所關注的重要焦點和主要問題[12]。

1" 產品供應鏈網絡模型的構建

1.1" 參數和假設條件

本文構建的兩層供應鏈網絡均衡模型包含了原材料供應商、產品生產商以及整個產品的需求市場三個部分。圖1描述了一個通用的兩層供應鏈網絡，運營活動主要是產品的生產、運輸和銷售等過程。假定供應鏈網絡中所有的產品生產商都生產同一類型的產品。在圖1所表示的供應鏈網絡拓撲結構中，一共有m個原料供應商，有n個產品生產商，生產的所有產品都為o個需求市場提供服務，節(jié)點i代表的是分布在不同區(qū)域的原料供應商，節(jié)點j代表的是分布在不同區(qū)域的產品生產商，節(jié)點i與節(jié)點j之間的鏈接代表了原材料的生產制造和運輸的過程；節(jié)點k代表的是分布在不同區(qū)域的需求市場，節(jié)點j與節(jié)點k之間的鏈接代表的是產品從產品生產商生產并將其運送到需求市場的過程，產品的目標消費者可以從需求市場中購買到他們所需要的產品。

為了簡化模型的構建與研究，本文提出以下假設：

" 第一，產品的需求波動服從已知分布。本文主要探討產品的需求波動服從正態(tài)分布的情況；

第二，假設顧客風險偏好是中性的，顧客未滿足的需求不影響顧客下一次的購買；

第三，未銷售的剩余產品殘值為零；

" 第四，原材料供應商和產品生產商的成本函數是產量的單調遞增凸函數：gt;0; lt;0

為了更清晰的描述所研究的問題及數學模型，本文將研究過程中涉及的相關參數及描述匯總成表1。

1.2" 模型構建

在整個供應鏈網絡中假設產品需求量為y，并假設產品需求量y服從N～μ，

σ的正態(tài)分布，剩余產品價值為零。其中，用C表示供應鏈s的總成本函數，它是由原料供應商i到產品生產商j的成本與產品生產商j到需求市場k的成本（包括生產成本和運輸成本）兩部分組成。假設供應鏈s中產品生產商與需求市場之間的銷售價格為p，銷售價格p與產品需求的均值相關。供應鏈s的總收入為π，產品的銷售價格和產品的需求量的均值服從供需關系。

" 由于產品的需求是服從正態(tài)分布的隨機變量，當產品的需求量小于生產商的產量時，此時的收入為π=p·y·fydy；當產品的需求量大于生產商的產量時，此時的收入為π=p·x·fydy。供應鏈s的最大收益應該為總收入減去總成本。所有供應鏈之間假定為非合作競爭博弈，為了變分不等式的求解方便，本文將目標函數轉為求解最小值，即當產品需求量y服從Nμ，σ的正態(tài)分布時，供應鏈s的目標函數最小化條件為：

minR=C-p·y·fydy-p·x·fydy，?s" " " " " " " " " " " " " " " "（1）

需求正態(tài)分布下基于報童模型的供應鏈網絡均衡條件：根據變分不等式知識，由于整個供應鏈網絡共有S條供應鏈，需求正態(tài)分布下整個供應鏈網絡的均衡條件可轉化為如下變分不等式：

式中：m=-

σy-μ。

" 式（2）的經濟學含義是原材料供應商和產品生產商在面對需求為正態(tài)分布時的價格和產量的最優(yōu)策略均衡。即確定p和x滿足整個供應鏈優(yōu)化目標的同時達到最優(yōu)的條件，此時的均衡點為納什均衡，在需求為正態(tài)分布條件下，任何供應鏈單方面調整決策無法提升自身的收益。相關證明參見文獻[13-14]。

證明：因為：

π=py·fydy" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（3）

π=p·xfydy" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（4）

為了證明的方便和簡潔，令m=-

σy-μ。因此，求解和，其中：fy為需求的概率密度函數，=mfy，因此可得：

=yfydy-py·dy=yfydy-pyfymdy" " " " " " " " " " " " （5）

=xfydy+pxy·dy=x-xfydy+pxfymdy" " " " " " " " " " （6）

同理求解并簡化可得：

=p·x·fy+

p

·fyd

y-p

xfy-" " " " " " " " " " " " " " " （7）

=p·fydy+p-" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " （8）

式（3）為產品的需求量小于生產商的產量時的收入函數；式（4）為產品的需求量大于生產商的產量時的收入函數。由式（5），式（6）和式（8）聯立成供應鏈網絡在需求正態(tài)分布下的均衡條件。證畢。

2" 模型求解算法

求解變分不等式的方法有許多，常見的有：投影算法、收縮算法、修正投影算法、投影壓縮算法、外梯度投影算法等。本文采用修正投影算法求解需求正態(tài)分布條件下基于報童模型的供應鏈網絡均衡模型，只需函數Fx滿足單調且Lipschitz連續(xù)即可，參考文獻[15-17]給出了求解變分不等式的修正投影算法步驟。具體迭代步驟如下：

" 第一步：初始化：

初始解X∈K，令k=1， 同時選擇參數ρ， 使得gt;ρgt;0。L是變分不等式中函數F的Lipschiz常數。

" 第二步：構造變分不等式，求解x：

第三步：改進的變分不等式，求解x：

第四步：進行收斂性檢驗：

若-x≤，為預先給定的收斂精度， gt;0，則滿足條件停止迭代；否則令k=k+1，轉入第二步繼續(xù)進行。

3" 數值算例

為了驗證需求不確定條件下對供應鏈網絡均衡價格和均衡流量的影響（本節(jié)假設市場的需求服從正態(tài)分布），本節(jié)通過一個實際的案例來說明本文所構建模型的應用情況。圖2表示為某品牌小家電供應鏈網絡模型，原料供應商1位于黑龍江省、原料供應商2位于北京市，原料供應商主要負責小家電零部件的生產過程。產品生產商1位于黑龍江省、產品生產商2位于沈陽市，產品生產商主要負責把零部件組裝成整機并運輸至華北和華東兩個需求市場（大型連鎖零售企業(yè)）。本節(jié)采用修正投影算法求解該數值案例。

" 本案例是研究中心化的供應鏈網絡均衡模型，考慮整條鏈的收益最大化，研究四條供應鏈之間每兩條鏈相互競爭的情況，如s與s競爭、s與s競爭等，其中每條鏈上都包括原料供應商、產品生產商以及需求市場。每條鏈上的企業(yè)的單位成本如表2所示。其中：假定原料供應商和產品生產商的成本為固定值，產品生產商的成本包括生產成本和運輸成本。

設產品的需求量分別服從N～μ，σ

的正態(tài)分布。其中：μ=350-10p+5p；μ=350-10p+5p。設方差為50，通過MATLAB7.0軟件進行求解，得出均衡價格和均衡流量如表3所示。

本文通過改變方差的大小，給出了當σ=50，60，70，80，90時刻每條供應鏈網絡均衡時的均衡價格和原材料供應商的產品流量。采用修正投影算法，得出均衡價格和均衡流量如表4所示。其中：設步長ρ=0.001，收斂精度ε=0.000 1。

本文通過改變方差的大小研究了方差變動對整個供應鏈網絡均衡時的流量和零售價格的影響分析。

圖3所示為需求為正態(tài)分布時方差變動對每條供應鏈上產品價格的影響，可以看出隨著方差的逐漸增大，也就是說當市場上的需求波動變大時，每條供應鏈的產品價格是逐漸降低的。這是因為隨著方差的逐漸增加，市場上的需求波動就會逐漸變大，需求波動的這種變化會影響到整個供應鏈，從而造成供應鏈面臨的風險加大，每個廠商為了在需求波動大的情況下獲得更多的收益，實現利潤的最大化，就會通過降低產品價格增加銷量來使自己的利益最大化。

" 圖4所示為需求正態(tài)分布時方差變動對原材料供應商產品流量的影響，可以看出隨著方差的逐漸增大，市場上的需求波動變大時，原材料供應商的產品流量也是逐漸上漲的；也就是說，方差與原料供應商產品流量呈正相關，這是因為市場上的需求波動變大，每個原料供應商為了在需求波動大的情況下獲得更多的收益，實現利潤的最大化，同時通過增加產品流量來使自己的利益最大化。

4" 結束語

本文從供應鏈與供應鏈競爭的角度出發(fā)，針對不確定性需求引入報童模型到供應鏈網絡均衡模型中，用于供應鏈網絡中廠商的產量和價格決策?？紤]到實際生活中正態(tài)分布的更為常見性，建立了需求正態(tài)分布條件下基于報童模型的中心化供應鏈網絡均衡模型。運用博弈理論、變分不等式以及演化變分不等式等知識分析了供應鏈網絡中各層行為決策及其目標分析，包括產品原料供應商、產品生產商、需求市場等，建立了需求正態(tài)分布條件下基于報童模型的供應鏈網絡均衡條件。最后，通過修正投影算法對數值算例進行求解，給出了需求為正態(tài)分布條件下不同方差時刻對整個供應鏈網絡均衡時的流量和零售價格的影響分析。

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收稿日期：2023-10-24

基金項目：遼寧省教育廳高等學?；究蒲许椖俊盎陔x散選擇理論和報童模型的供應鏈網絡均衡決策研究”（LJKR0077）

作者簡介：張平東（1996—），男，遼寧沈陽人，沈陽工業(yè)大學管理學院碩士研究生，研究方向：供應鏈網絡；馬" 軍（1977—），男，江蘇東海人，沈陽工業(yè)大學管理學院，副教授，博士，碩士生導師，研究方向：供應鏈網絡優(yōu)化。

引文格式：張平東，馬軍. 需求正態(tài)分布條件下基于報童模型的供應鏈網絡均衡模型[J]. 物流科技，2024，47（21）：126-130.