摘 要：概率與統(tǒng)計(jì)是高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一條主線，也是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。2021年，高考數(shù)學(xué)試卷取消原新課標(biāo)全國Ⅱ卷，并入Ⅰ卷，合稱全國乙卷；原新課標(biāo)全國Ⅲ卷改稱全國甲卷，試題風(fēng)格和難度均有改變。為對(duì)比試卷變革前后的差異，明確概率與統(tǒng)計(jì)高考試題的規(guī)律與特點(diǎn)，本文以2018—2020和2021—2023年高考理科數(shù)學(xué)全國卷15套試卷中的概率與統(tǒng)計(jì)試題為研究對(duì)象，從知識(shí)單元、情景設(shè)計(jì)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及知識(shí)考察、綜合難度等視角出發(fā)對(duì)試題展開對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)2021—2023年高考概率與統(tǒng)計(jì)試題在更加注重對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的考查，提高了試題的綜合性，并且更具有全面性，體現(xiàn)出高考試題遵循新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求等特點(diǎn)。根據(jù)結(jié)論建議：關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)，提升人文素養(yǎng)；提高運(yùn)算能力，強(qiáng)化基礎(chǔ)運(yùn)算；培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，提升核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：概率與統(tǒng)計(jì)；綜合難度模型；試題分析

中圖分類號(hào)：G633.6" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" 文章編號(hào)：1673-260X（2024）08-0113-06

概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)是數(shù)學(xué)中兩個(gè)重要的分支，概率論主要研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，而統(tǒng)計(jì)學(xué)則是利用數(shù)據(jù)來進(jìn)行推斷和決策。在許多領(lǐng)域中，概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)都有著廣泛的應(yīng)用，如在金融、人工智能、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域中都有重要的作用。學(xué)習(xí)概率可以幫助人們理解不確定性，培養(yǎng)邏輯思維和推理能力，為科學(xué)研究、實(shí)證分析、數(shù)據(jù)分析提供支持，對(duì)于學(xué)習(xí)者的綜合素養(yǎng)提升、未來發(fā)展都是非常重要的。因此，高中數(shù)學(xué)中的概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“2017年版課標(biāo)”）中是高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一大主線，貫穿于選修課、必修課以及選擇性必修課。

高考作為考試招生制度的核心環(huán)節(jié)，負(fù)有選拔和培養(yǎng)人才的重要任務(wù)，影響著成千上萬考生的未來，牽扯到社會(huì)的公平公正以及國家的長遠(yuǎn)發(fā)展[1]。科學(xué)、合理地分析試題有助于在高考改革過程中更好地體現(xiàn)其教育價(jià)值，發(fā)揮其對(duì)教學(xué)的引導(dǎo)作用。趙戌梅從數(shù)學(xué)能力、知識(shí)點(diǎn)、考查題型以及知識(shí)單元四個(gè)角度出發(fā)系統(tǒng)梳理了2013—2017年全國高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)試題[2]；李亞瓊等以2021年6套全國課標(biāo)卷的概率與統(tǒng)計(jì)試題為研究樣本，從綜合難度、知識(shí)考查、情景設(shè)計(jì)、統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)展開深層次調(diào)研[3]；廖藝捷等從情境領(lǐng)域、知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、綜合難度等視角對(duì)2016—2020年高考概率與統(tǒng)計(jì)題目展開探究[4]。綜上，試卷分析普遍從知識(shí)點(diǎn)、知識(shí)單元、考查題型、數(shù)學(xué)能力、情境設(shè)置、統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)和綜合難度等角度切入展開調(diào)研。

試題難度是指試題的難易程度，是衡量試題質(zhì)量的重要指標(biāo)，對(duì)于評(píng)價(jià)考試的公平性和有效性至關(guān)重要[5]。2002年鮑建生首次指出數(shù)學(xué)課程綜合難度的概念并創(chuàng)建了綜合難度模型[6]。2018年武小鵬等人調(diào)整了模型的難度要素，轉(zhuǎn)變?yōu)槭欠窈瑓ⅰ⒅R(shí)水平、背景因素、推理能力、運(yùn)算水平、知識(shí)含量、思維方向[7]。2020年薛歡等人根據(jù)統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)單元的內(nèi)容特點(diǎn)，提出了一個(gè)包含9個(gè)因素的綜合難度模型[8]。

2021年，高考數(shù)學(xué)試卷取消原新課標(biāo)全國Ⅱ卷，并入Ⅰ卷，合稱全國乙卷；原新課標(biāo)全國Ⅲ卷改稱全國甲卷，試題風(fēng)格和難度均有改變。為了深入分析概率與統(tǒng)計(jì)試題在高考改革前后的規(guī)律和特征，本文從數(shù)學(xué)綜合難度、知識(shí)考查、情景設(shè)置、知識(shí)單元以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)五個(gè)層面著手比較探究2018—2023年期間高考理科數(shù)學(xué)全國卷的15套試卷中的概率與統(tǒng)計(jì)題目，研究改革前（2018—2020年）和改革后（2021—2023年）的試題風(fēng)格、難度、考查方向等的異同，通過對(duì)高考數(shù)學(xué)試題的難度和影響因素的研究，全面地分析和研究高考試題，可以更好地發(fā)揮高考的積極引導(dǎo)功能，更好地為學(xué)生和教師服務(wù)。

1 研究對(duì)象和研究方法

本研究對(duì)2018—2023年高考理科數(shù)學(xué)全國卷進(jìn)行整理，得出15套試題中所有概率與統(tǒng)計(jì)試題共計(jì)43道，并以這些試題為研究對(duì)象，選用了定性與定量相結(jié)合的研究方法，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、知識(shí)單元、綜合難度、情景設(shè)置、知識(shí)考查等五個(gè)不同視角出發(fā)展開深層次調(diào)研，論述高考概率與統(tǒng)計(jì)題型的命題特征。

2 研究結(jié)果

2.1 情景設(shè)置

高中課程中概率與統(tǒng)計(jì)主題更具有情境性，要求結(jié)合具體實(shí)例運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題。2017年版課標(biāo)在“學(xué)業(yè)質(zhì)量水平”部分中提出“情境與問題”是體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的一個(gè)方面，由此試題需重視情境創(chuàng)設(shè)與問題提出，其中將情景劃分為現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境三個(gè)維度。

在情境類型方面，由表1可知，對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的考查最多，科學(xué)情境的考查最少。2018—2020年試題對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的考查分?jǐn)?shù)比例分別為32/66、27/61、34/61，2021—2023年對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的考查分?jǐn)?shù)比例分別為34/44、27/44、27/44，總體上高考概率與統(tǒng)計(jì)試題加強(qiáng)了對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的考查，此外，2021—2023年試題數(shù)目、分?jǐn)?shù)也更加穩(wěn)定。在現(xiàn)實(shí)情境的設(shè)計(jì)上具有多元性，如垃圾分類、知識(shí)競賽、生態(tài)環(huán)境保護(hù)、產(chǎn)品檢驗(yàn)等，由此可以反映出概率與統(tǒng)計(jì)試題背景重視與實(shí)際生活、科學(xué)技術(shù)相結(jié)合，致力于解決實(shí)際問題，體現(xiàn)其趣味性和科學(xué)性。

2.2 知識(shí)單元

在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，知識(shí)結(jié)構(gòu)包括三點(diǎn)，即知識(shí)單元、知識(shí)領(lǐng)域和知識(shí)點(diǎn)。“知識(shí)單元”指的是具備相同特點(diǎn)的密切關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)的聚集，在教科書中一般都以章節(jié)的形式出現(xiàn)[3]。本文所說的知識(shí)單元包括概率、統(tǒng)計(jì)和計(jì)數(shù)原理三個(gè)方面。

43個(gè)試題在3類題型中的知識(shí)單元分布見表2，知識(shí)單元分布堆積條形圖見圖1和圖2，由于一個(gè)試題中可能涉及多個(gè)方面的知識(shí)，那么對(duì)這一試題進(jìn)行多次的統(tǒng)計(jì)。

由表2可知，試卷中三個(gè)知識(shí)單元在三類題型分布上存在差別，且主要分布在選擇題和解答題中。2018—2023年中概率的考查次數(shù)最多，是選擇題和解答題的考查重點(diǎn)，其次數(shù)分別占概率總次數(shù)的47.4%和31.6%；統(tǒng)計(jì)是解答題的考查重點(diǎn)，其次數(shù)占統(tǒng)計(jì)總次數(shù)的62.5%；計(jì)數(shù)原理也是選擇題的考查重點(diǎn)，其次數(shù)占計(jì)數(shù)原理總次數(shù)的61.5%；而在填空題中缺少統(tǒng)計(jì)的考查，解答題中缺少計(jì)數(shù)原理的考查。由圖1和圖2可知，2021—2023年試題提高了概率在選擇題中的考查次數(shù)，對(duì)計(jì)數(shù)原理的考查有所降低，在選擇題中對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的考查比重較低。

觀察歷年試題數(shù)量的變化，可以發(fā)現(xiàn)概率方面的試題在整體試題中占有較高比例，在教學(xué)中應(yīng)予以重視。此外，2021—2023年試題在綜合性方面增強(qiáng)，更加注重對(duì)概率、統(tǒng)計(jì)和計(jì)數(shù)原理的綜合運(yùn)用能力的考查，因此，在日常教學(xué)中應(yīng)當(dāng)重視培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。

2.3 知識(shí)考察

系統(tǒng)梳理概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)可以明確考查的方向，把握重點(diǎn)。參照2017年版課標(biāo)，本文整合并概括了概率與統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)，將其細(xì)分成一級(jí)和二級(jí)知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)予以編碼。如A2指的是考查概率中的隨機(jī)事件的獨(dú)立性，具體內(nèi)容詳見表3。

通過統(tǒng)計(jì)，17個(gè)二級(jí)知識(shí)點(diǎn)都有考查到，2018—2020年試題中累計(jì)考查14個(gè)知識(shí)點(diǎn)，2021—2023年試題中累計(jì)考查12個(gè)知識(shí)點(diǎn)。其中有19個(gè)試題僅考查單一知識(shí)點(diǎn)，主要集中在2018—2020年的選擇題中，重視對(duì)基本概念、基本公式和基本定理的理解與運(yùn)用，體現(xiàn)基礎(chǔ)性；24個(gè)試題所考查的知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)以上，多集中于2021—2023年試題中，其中2022年全國卷乙中第10題結(jié)合不等式、第19題結(jié)合函數(shù)進(jìn)行了考查等，這體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)與其他學(xué)科知識(shí)聯(lián)系的重視，同時(shí)也反映了對(duì)數(shù)學(xué)核心概念和基本原理考查的強(qiáng)調(diào)，試題綜合性的特點(diǎn)加強(qiáng)，能夠更有效地檢驗(yàn)學(xué)生所掌握的知識(shí)，促使學(xué)生構(gòu)建穩(wěn)固的知識(shí)基礎(chǔ)。

2.4 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，根據(jù)2017年版課標(biāo)要求的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，涵蓋了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)抽象，本文對(duì)試題所含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和分析。

在核心素養(yǎng)考查方面如圖3所示，高考概率與統(tǒng)計(jì)試題對(duì)不同的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行綜合考查，以2023年高考概率與統(tǒng)計(jì)試題為例，其中涉及數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算多方面的考查，彰顯出試題設(shè)計(jì)的綜合性特點(diǎn)。在2018—2023年高考全國卷43個(gè)試題中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查達(dá)到42題，其次是邏輯推理素養(yǎng)的考查，說明求解概率需要學(xué)生具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和運(yùn)算能力，此外學(xué)生對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)試題的解答要能夠理解和應(yīng)用概率的基本概念和方法。

由圖4核心素養(yǎng)考查折線統(tǒng)計(jì)圖可知，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查較為穩(wěn)定，幾乎歷年各試題中均有體現(xiàn)；對(duì)邏輯推理素養(yǎng)的考查整體上有上升的趨勢；2021—2023年試題對(duì)核心素養(yǎng)的考查更具有全面性，體現(xiàn)出高考試題遵循新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。

2.5 綜合難度

本研究基于薛歡等人高考試題綜合難度模型，具體界定見表4。鑒于各試卷中解答題存在多個(gè)小問，并且每個(gè)小問涉及考察的知識(shí)點(diǎn)各不相同，因此本研究將解答題下的每個(gè)小問都視為1道獨(dú)立的解答題。

表5展示了2018—2023年高考理科數(shù)學(xué)全國卷統(tǒng)計(jì)與概率試題的綜合難度系數(shù)數(shù)值，將每年的試卷各難度因素難度系數(shù)展開核算，計(jì)算獲得平均值，進(jìn)而獲取2018—2020年與2021—2023年期間高考理科數(shù)學(xué)全國卷統(tǒng)計(jì)與概率試題綜合難度平均系數(shù)，繪制成雷達(dá)圖，如圖5和圖6，由此可以發(fā)現(xiàn)試題具有以下特點(diǎn)。

（1）2021—2023年試題內(nèi)容更具有情境性。通過表5可知，2018—2023年統(tǒng)計(jì)與概率試題在背景因素方面的綜合難度系數(shù)均在1.5以上；結(jié)合表1可知，概率與統(tǒng)計(jì)試題對(duì)于背景因素的考查廣泛，以生活情境和科學(xué)情境為主；由圖5與圖6可知，2021—2023年試題內(nèi)容比2018—2020年試題在背景因素的綜合難度系數(shù)更高，具有情境性的試題可以幫助學(xué)生將抽象的概念與實(shí)際問題聯(lián)系起來，提高學(xué)生問題解決能力。

（2）2021—2023年試題更重視運(yùn)算水平。表5中可以看出，運(yùn)算水平因素的綜合難度系數(shù)最高達(dá)到3.00；圖5與圖6中可以得出，2018—2020年概率與統(tǒng)計(jì)試題在運(yùn)算水平因素的難度系數(shù)更高，而2021—2023年試題在運(yùn)算水平因素的難度系數(shù)更穩(wěn)定。高考中概率與統(tǒng)計(jì)試題對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析和處理要求較高，需要學(xué)生在情境中把問題轉(zhuǎn)化運(yùn)算問題，掌握運(yùn)算法則，明確運(yùn)算方向，借助已有數(shù)據(jù)，選擇運(yùn)算方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

（3）2021—2023年試題更加注重?cái)?shù)學(xué)認(rèn)知，且試題具有運(yùn)用性。在表5可以得到，2018—2023年統(tǒng)計(jì)與概率試題認(rèn)知水平因素的綜合難度系數(shù)較高，在圖5與圖6中可知，2021—2023年較2018—2020年知識(shí)含量因素的綜合難度系數(shù)略高，試題更加注重考查考生的綜合應(yīng)用能力和創(chuàng)新思維能力，考查學(xué)生在不同情境構(gòu)造的情況下對(duì)某一知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，而萬變不離其宗，雖然試題千變?nèi)f化，但試題仍緊扣教科書，考查概率與統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本原理。

（4）題目信息量大，注重?cái)?shù)學(xué)閱讀。從雷達(dá)圖中可以看出條件含量和閱讀量兩個(gè)因素的難度系數(shù)較高。高考概率與統(tǒng)計(jì)試題中的表述具有明顯的特征，即題目字?jǐn)?shù)較多，其中包括文字語言和符號(hào)語言，同時(shí)試題的條件含量較大，這也導(dǎo)致了題目的閱讀量增加，使得試題難度加大。

3 結(jié)論

高考改革前后，概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容在高考試題中考查突出，其試題風(fēng)格和難度均有改變，因此，教師在教學(xué)中需要關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)，提升學(xué)生人文素養(yǎng)；著重提升學(xué)生的運(yùn)算能力，加強(qiáng)基礎(chǔ)運(yùn)算技能；培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，以提升核心素養(yǎng)。通過對(duì)2018—2023年概率與統(tǒng)計(jì)試題的分析，可以得到以下結(jié)論：（1）情景設(shè)置方面，在情境的設(shè)計(jì)上具有多元性，2021—2023年高考概率與統(tǒng)計(jì)試題更加注重對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的考查。（2）知識(shí)單元方面，總體上對(duì)概率的考查數(shù)量所占比例較大，且2021—2023年試題提高了概率在選擇題中的考查次數(shù)，減少了對(duì)計(jì)數(shù)原理知識(shí)的考查，在選擇題中對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的考查比重較低。（3）知識(shí)考查方面，單個(gè)試題所考查的知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)以上的多集中于2021—2023年，且與其他領(lǐng)域知識(shí)的聯(lián)系，加強(qiáng)了試題的綜合性特點(diǎn)。（4）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面，2021—2023年試題對(duì)核心素養(yǎng)的考查更具有全面性，體現(xiàn)出高考試題遵循新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。（5）綜合難度方面，2021—2023年試題內(nèi)容加強(qiáng)了對(duì)情境、運(yùn)算水平、數(shù)學(xué)認(rèn)知的重視。

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