摘"要：高考數(shù)學(xué)中概率與統(tǒng)計(jì)部分著重考查學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)建模能力，因此明確概率模型，抓住問(wèn)題本質(zhì)至關(guān)重要. 本文從概率中常見(jiàn)模型入手，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決概率問(wèn)題的能力.

關(guān)鍵詞：二項(xiàng)分布；超幾何分布；全概率

概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題在近幾年的高考中背景取自現(xiàn)實(shí)，題型新穎，綜合性強(qiáng)，主要考查學(xué)生的閱讀理解能力和數(shù)據(jù)分析能力，考查學(xué)生理性思維的廣度、深度以及創(chuàng)新潛能.［1］因此明確概率模型，抓住問(wèn)題本質(zhì)至關(guān)重要.本節(jié)課結(jié)合三道小題的教學(xué)，著重考察學(xué)生二項(xiàng)分布和超幾何分布的區(qū)別以及條件概率和全概率公式的應(yīng)用，為例題的探究打好基礎(chǔ)，層層遞進(jìn)，有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)能力.

1"學(xué)情分析

教學(xué)對(duì)象是四星級(jí)高中的高三學(xué)生，學(xué)生在解決二項(xiàng)分布和超幾何分布問(wèn)題時(shí)概念不清，經(jīng)常容易混淆，條件概率以及全概率公式的應(yīng)用不夠靈活.

2"教學(xué)目標(biāo)

（1）熟練掌握概率中的幾種常見(jiàn)模型及其應(yīng)用.

（2）區(qū)分二項(xiàng)分布和超幾何分布，熟練掌握條件概率、全概率公式.

（3）借助實(shí)際問(wèn)題的研究，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

3"過(guò)程實(shí)錄

3.1"學(xué)生自測(cè)反饋

用導(dǎo)學(xué)案輔助教學(xué)，設(shè)計(jì)3道小題引導(dǎo)學(xué)生自主完成.

（1）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，采取五場(chǎng)三勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得三場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束）.設(shè)甲隊(duì)每場(chǎng)取勝的概率為0.4，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以3∶1獲勝的概率是"""".

分析：本題較基礎(chǔ)，學(xué)生回答過(guò)程如下.甲隊(duì)第四局勝，前三局甲隊(duì)贏兩局，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，可求得所求事件的概率為C23×0.43×0.6=0.1152.

【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生是否了解常見(jiàn)的比賽賽制，比如三局兩勝、五局三勝等.此類問(wèn)題把握好最后一局的特點(diǎn)，前面幾局滿足“獨(dú)立重復(fù)”“等可能”，是二項(xiàng)分布，就能比較容易地解決.

（2）2023年2月22日，中國(guó)花樣滑冰協(xié)會(huì)發(fā)布公告，宣布2023年中國(guó)杯世界花樣滑冰大獎(jiǎng)賽落地重慶.重慶市體育局計(jì)劃從某高校的4名男志愿者和4名女志愿者中選派6人參加志愿者培訓(xùn)，事件A表示選派的6人中至少有3名男志愿者，則P（A）="""".

事件B表示選派的6人中恰好有3名女志愿者，則P（B｜A）="""".

分析：由題意，得P（A）=C34C34+C44C24C68=1114，P（AB）=C34C34C68=814，再利用條件概率公式，得P（B｜A）=P（AB）P（A）=811.也可以縮小樣本空間，用古典概型來(lái)解決，P（B｜A）=n（AB）n（A）=C34C34C34C34+C44C24=1622=811.

【設(shè)計(jì)意圖】解超幾何分布問(wèn)題，關(guān)鍵要抓住“總體中一類特殊的個(gè)體”，本題在求解概率過(guò)程中實(shí)際包含了一個(gè)超幾何分布問(wèn)題.另外熟練掌握條件概率兩種常見(jiàn)的處理方法：①運(yùn)用公式直接求解；②縮小樣本空間，轉(zhuǎn)化為古典概型來(lái)解決.

（3）三門(mén)問(wèn)題亦稱為蒙提霍爾問(wèn)題、蒙特霍問(wèn)題或蒙提霍爾悖論，出自美國(guó)的電視游戲節(jié)目Lets Make a Deal.參賽者會(huì)看見(jiàn)三扇關(guān)閉了的門(mén)，其中一扇門(mén)的后面有一輛汽車，選中后面有車的那扇門(mén)可贏得該汽車，另外兩扇門(mén)后面則各藏有一只山羊.當(dāng)參賽者選定了一扇門(mén)，但未去開(kāi)啟它的時(shí)候，節(jié)目主持人開(kāi)啟剩下兩扇門(mén)的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人其后會(huì)問(wèn)參賽者要不要換另一扇仍然關(guān)上的門(mén).那么換另一扇門(mén)會(huì)增加參賽者贏得汽車的概率嗎？請(qǐng)你用所學(xué)概率知識(shí)探討，說(shuō)明理由.

師：通過(guò)同學(xué)們激烈地討論，請(qǐng)大家說(shuō)說(shuō)自己的想法.

生1：我認(rèn)為不換門(mén)贏得汽車的概率為13，換門(mén)贏得汽車的概率為12.

生2：我認(rèn)為換門(mén)贏得汽車的概率為23.

師：這兩種想法也是絕大部分同學(xué)的想法，剛才大家根據(jù)自己的分析得出概率，那么究竟哪一種是對(duì)的呢？如何用我們所學(xué)知識(shí)來(lái)分析呢？

不妨設(shè)選手選中1號(hào)門(mén)，設(shè)“汽車在1號(hào)門(mén)”為事件A，“選中汽車”為事件B.

若不換門(mén)，則選中汽車的概率P（B）=13；

若換門(mén)，則P（B）=P（B｜A）P（A）+P（B｜）P（）=0×13+1×23=23.因此換門(mén)贏得汽車的概率更大.

【設(shè)計(jì)意圖】從有趣的三門(mén)問(wèn)題入手，聯(lián)系實(shí)際，考查了學(xué)生對(duì)條件概率和全概率公式的理解和運(yùn)用.通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生在解決問(wèn)題中體會(huì)成功的快樂(lè)，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.2"典型例題講解

例1"某學(xué)校為了保障學(xué)生的身體健康，決定組織學(xué)生參加體育鍛煉，同時(shí)為了節(jié)省時(shí)間，作出如下要求：每班50人，每次按學(xué)號(hào)隨機(jī)抽取30人，每周抽兩次.

（1）一周內(nèi)，高三（1）班的甲同學(xué)被抽取到的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（2）設(shè)一周內(nèi)，兩次都被抽取到的人數(shù)為變量Y，則Y的可能取值是哪些？其中Y取到哪一個(gè)值的可能性最大？請(qǐng)說(shuō)明理由.

生3：每次抽取，甲同學(xué)被抽到的概率均為35，則X的所有可能取值為0，1，2，X～B2，35.

可得P（X=0）=C02252=425，P（X=1）=C123525=1225，P（X=2）=C22352=925.

所以隨機(jī)變量X的分布列如下.

所以期望E（X）=0×425+1×1225+2×925=65.

生3：第（2）問(wèn)中，隨機(jī)變量Y的所有可能取值為10，11，12，…，30，每次被抽到的概率是35，所以兩次都被抽到的人數(shù)為k的概率是P（Y=k）=Ck30·35k1-3530-k.

師：剛剛生3說(shuō)的概率表示，大家贊成嗎？如果不贊成，有其他的想法嗎？

生4：我不贊成，因?yàn)槊看伪蝗〉降母怕什皇堑瓤赡艿模矣X(jué)得應(yīng)該用Y=k時(shí)所有可能的情況C3050Ck30C30-k20除以C3050C3050來(lái)求解，即P（Y=k）=C3050Ck30C30-k20C3050C3050.

師：到底哪位同學(xué)說(shuō)的對(duì)呢？.剛才同學(xué)們討論得非常熱烈，生3認(rèn)為是二項(xiàng)分布，那我們來(lái)看看是否是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)且每次試驗(yàn)發(fā)生的概率是等可能的，很明顯不具備.生4其實(shí)用的是古典概型來(lái)解決，還是比較簡(jiǎn)單易懂的.同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)，表達(dá)式中上下都有C3050，我們化簡(jiǎn)下就能得到P（Y=k）=Ck30C30-k20C3050，這個(gè)公式怎么來(lái)理解呢？其實(shí)我們也可以這樣分析，第一次抽取相當(dāng)于分層，即將50人分成已抽取一次的30人和未抽取的20人兩個(gè)部分，若兩次都抽取的人數(shù)為k，相當(dāng)于在30人中取k個(gè)，所以P（Y=k）=Ck30C30-k20C3050，實(shí)際上是一個(gè)超幾何分布.不妨設(shè)Y=k時(shí)概率最大，則

Ck30C30-k20≥Ck-130C31-k20，

Ck+130C29-k20≤Ck30C30-k20.由上式，得k≤96152，同理k+1≥96152，則k≥90952.又k∈N，所以k=18時(shí)，概率最大.

【設(shè)計(jì)意圖】本題從學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)入手，通過(guò)兩小問(wèn)的對(duì)比，讓學(xué)生區(qū)分兩個(gè)分布.從學(xué)生的作答情況來(lái)看，還是有不少同學(xué)把第（2）問(wèn)的分布混淆了.解決二項(xiàng)分布問(wèn)題的關(guān)鍵主要看兩個(gè)方面，一是判斷是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，二是判斷隨機(jī)變量是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù).第二問(wèn)中超幾何分布并不常見(jiàn)，從學(xué)生的公式入手，通過(guò)變形，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生利用超幾何分布來(lái)解決，水到渠成，比較容易理解.該分布描述的是不放回抽樣，需要和二項(xiàng)分布加以區(qū)別.高考數(shù)學(xué)側(cè)重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，因此在平時(shí)的課堂上，同學(xué)們需要認(rèn)真分析所給條件，找準(zhǔn)目標(biāo)，精確定位，才能舉一反三、觸類旁通.

例2"人工智能是研究用于模擬和延伸人類智能的技術(shù)科學(xué)，被認(rèn)為是21世紀(jì)最重要的尖端科技之一，其理論和技術(shù)正在日益成熟，應(yīng)用領(lǐng)域也在不斷擴(kuò)大.人工智能背后的一個(gè)基本原理：首先確定先驗(yàn)概率，然后通過(guò)計(jì)算得到后驗(yàn)概率，使先驗(yàn)概率得到修正和校對(duì)，再根據(jù)后驗(yàn)概率做出推理和決策.

基于這一基本原理，我們可以設(shè)計(jì)如下試驗(yàn)?zāi)Ｐ停河型耆嗤募?、乙兩個(gè)袋子，袋子里有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9個(gè)紅球和1個(gè)白球；乙袋中有2個(gè)紅球和8個(gè)白球.從這兩個(gè)袋子中選擇一個(gè)袋子，再?gòu)脑摯又械瓤赡艿孛鲆粋€(gè)球，稱為一次試驗(yàn).多次試驗(yàn)，若摸出紅球，則試驗(yàn)結(jié)束.假設(shè)首次試驗(yàn)選到甲袋或乙袋的概率均為12（先驗(yàn)概率）.

（1）求首次試驗(yàn)結(jié)束的概率.

（2）在首次試驗(yàn)摸出白球的條件下，我們對(duì)選到甲袋或乙袋的概率（先驗(yàn)概率）進(jìn)行調(diào)整：

①求選到的袋子為甲袋的概率.

②將首次試驗(yàn)摸出的白球放回原來(lái)袋子，繼續(xù)進(jìn)行第二次試驗(yàn)時(shí)有如下兩種方案.

方案一，從原來(lái)袋子中摸球；方案二，從另外一個(gè)袋子中摸球.

請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，說(shuō)明選擇哪個(gè)方案第二次試驗(yàn)結(jié)束的概率更大.

生5：我只做出了前兩問(wèn)，設(shè)“選到甲袋”為事件A，“選到乙袋”為事件，

“摸到紅球”為事件B，“摸到白球”為事件.

第（1）問(wèn)中，P（B）=P（B｜A）·P（A）+P（B｜）P（）=910×12+210×12=1120.

第（2）問(wèn)的①小問(wèn)中，P（A｜）=P（A）P（）=P（｜A）P（A）P（）=110×12920=19，P（｜）=1-19=89.

師：大家聽(tīng)了生5的發(fā)言，覺(jué)得哪些地方說(shuō)得特別好呢？我們發(fā)現(xiàn)她的過(guò)程非常規(guī)范，先設(shè)事件，再寫(xiě)公式，最后代入求解.這也是部分同學(xué)容易忽視的地方，希望大家注意書(shū)寫(xiě)的規(guī)范.那第（2）問(wèn)的②小問(wèn)考查什么知識(shí)點(diǎn)呢？我們一起分析看看.

由第二問(wèn)可知，若選擇方案一，則原來(lái)袋子是甲袋的概率為19，是乙袋的概率為89，

設(shè)方案一中取到紅球的概率P1.

P1=P（B｜A）P（A）+P（B｜）·P（）=910×19+210×89=518.

若選擇方案二，則原來(lái)袋子是甲袋的概率為89，是乙袋的概率為19，

設(shè)方案二中取到紅球的概率P2.

P2=P（B｜A）P（A）+P（B｜）P（）=910×89+210×19=3745.

因?yàn)?745＞518，所以選擇方案二第二次試驗(yàn)結(jié)束的概率更大.

【設(shè)計(jì)意圖】選題來(lái)源于實(shí)際，貼近生活，易于理解.其實(shí)第3問(wèn)本質(zhì)上還是全概率公式的應(yīng)用，同學(xué)們只要將條件分析清楚，應(yīng)該不難得到.完整的板書(shū)展示，引導(dǎo)學(xué)生重視書(shū)寫(xiě)規(guī)范，取得了良好的效果.

4"教學(xué)反思

新高考評(píng)價(jià)體系注重考查概率統(tǒng)計(jì)的本質(zhì)，著重考查概率統(tǒng)計(jì)涉及的數(shù)學(xué)思想，突出基礎(chǔ)性，強(qiáng)調(diào)對(duì)基本概念、基本公式的深刻理解，表達(dá)形式豐富多樣、靈活創(chuàng)新，呈現(xiàn)出新高考開(kāi)放性、創(chuàng)新性的趨勢(shì).本節(jié)課從3道小題入手，重視知識(shí)的形成過(guò)程，揭示知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，有助于學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系.例題教學(xué)中注重挖掘各種概率模型的隱含特點(diǎn)，并研究其在命題中的切入點(diǎn)，引導(dǎo)

學(xué)生學(xué)會(huì)分析，在探索中找到解決問(wèn)題的思路.通過(guò)對(duì)知識(shí)系統(tǒng)、題目關(guān)系進(jìn)行有效整合，形成遞進(jìn)關(guān)系的“題組”，讓“型”更具有整體性，讓思路更具有共通性、普遍性，有助于提高教學(xué)效率.

參考文獻(xiàn)

［1］徐惠.新高考評(píng)價(jià)體系下“概率統(tǒng)計(jì)”命題新趨勢(shì)［J］.數(shù)學(xué)通訊，2021（3）：42-46.

［2］石志群.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的若干誤區(qū)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2019（2）：1-4.