摘"要：牛頓環(huán)是大學(xué)物理實驗中的基本光學(xué)實驗之一，對于加深學(xué)生對光的波動性理解具有重要意義?；诠獾母缮胬碚摚搶嶒灴蓽y量出平凸透鏡的曲率半徑。然而，不同學(xué)生在進行測量時往往會得到差異顯著的曲率半徑數(shù)據(jù)。這種現(xiàn)象可能是由于多種因素造成的，包括實驗操作的規(guī)范性、儀器的精度、環(huán)境光的影響以及學(xué)生的實驗技巧等。螺栓調(diào)節(jié)不當(dāng)會引起平凸透鏡變形，導(dǎo)致中心暗斑面積變化，影響空氣薄層的厚度和干涉環(huán)間距，是產(chǎn)生誤差的重要原因之一。本研究主要分析了螺栓調(diào)節(jié)引起的牛頓環(huán)中心暗斑面積變化對曲率半徑測量精度的影響，旨在為實驗規(guī)范操作提供參考。

關(guān)鍵詞：牛頓環(huán)；中心暗斑；曲率半徑

利用牛頓環(huán)裝置測量平凸透鏡的曲率半徑，是大學(xué)物理實驗中的經(jīng)典光學(xué)實驗。它不僅為光的波動學(xué)說提供了有力的實驗證據(jù)，而且對于理解光學(xué)原理和光學(xué)方法在精密測量中的應(yīng)用具有重要意義［13］。在17世紀(jì)，牛頓發(fā)現(xiàn)了一種獨特的光學(xué)現(xiàn)象：當(dāng)一塊曲率半徑較大的平凸透鏡與另一塊平透鏡接觸時，用白光照射，接觸中心會呈現(xiàn)出一系列明暗相間的彩色同心圓環(huán)；而當(dāng)用單色光照射時，這些圓環(huán)則呈現(xiàn)出明暗相間的單色同心圓環(huán)［4］。這一現(xiàn)象揭示了光的波動性質(zhì)，為光學(xué)理論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。在具體的實驗操作中，通過測量同心圓環(huán)的級數(shù)以及相對應(yīng)的圓環(huán)直徑，可以計算出平凸透鏡的曲率半徑。這一實驗原理清晰易懂，實驗裝置相對簡單，現(xiàn)象直觀，適合作為教學(xué)案例，幫助學(xué)生更好地理解光的波動性和光學(xué)方法在長度測量中的實際應(yīng)用。

然而，在實際的測量過程中，學(xué)生們往往會發(fā)現(xiàn)所測得的曲率半徑結(jié)果與牛頓環(huán)裝置廠家提供的參考值存在較大偏差［5］。本文針對這一問題進行了研究，重點關(guān)注牛頓環(huán)儀中螺栓調(diào)節(jié)所引起的中心暗斑直徑變化對曲率半徑測量精度的影響。通過對實驗數(shù)據(jù)的分析，本文旨在揭示影響測量精度的關(guān)鍵因素，并提出相應(yīng)的改進措施，以提高牛頓環(huán)實驗的測量精度和可靠性。

1"實驗原理

如圖1所示，實驗中采用了一塊曲率半徑R極大的平凸透鏡A，其凸面被小心地放置在一塊光滑且平整的平板玻璃D之上。在這種配置下，A與D之間形成了一個以點O為圓心、向外逐漸擴展并變厚的空氣層。當(dāng)一束單色光以垂直角度照射到這個光學(xué)系統(tǒng)中時，光線會在透鏡A的凸面和空氣層與平板D之間的界面處發(fā)生反射。由于透鏡A的表面是球面形狀，因此從光的反射方向來觀察，可以看到一系列以接觸點O為中心、呈同心排列的明暗交替的環(huán)狀圖案，這就是牛頓環(huán)。

這些環(huán)的形成是由于光在空氣層上、下兩個表面反射后，兩束光波在透鏡表面附近相遇并發(fā)生干涉所致?？諝鈱拥暮穸葟闹行狞cO開始逐漸增加，因此，不同位置的空氣層厚度不同，導(dǎo)致干涉條紋的間距也不相同。隨著距離中心點O的增大，空氣層的厚度增加，形成了從中心向外擴散的一系列明暗相間的同心圓環(huán)。

根據(jù)圖1所展示的幾何關(guān)系可知，第k級干涉條紋所對應(yīng)的空氣層厚度PP′=dk可通過第k級干涉條紋的半徑rk和平凸透鏡的曲率半徑R計算得到，如方程（1）所示，

r2k=2Rdk（1）

具體來說，通過觀察干涉條紋的分布，我們可以發(fā)現(xiàn)，隨著干涉級數(shù)的增加，條紋半徑也隨之增大，而這種變化與透鏡的曲率半徑有著直接的聯(lián)系。在P′點發(fā)生反射的光線抵達P點時，其光程增加了2倍的空氣層厚度，即2dk。由于光線從光密介質(zhì)（具有較高折射率的介質(zhì)）反射到光疏介質(zhì)（具有較低折射率的介質(zhì)）時，會產(chǎn)生半波長的相位變化，即所謂的半波損失。因此，從P點和P′點反射出的兩束光線之間的光程差可以表達為：

Δ=2dk+λ2=r2kR+λ2（2）

根據(jù)光的干涉理論［6］，產(chǎn)生第k級暗紋條件為：

Δ=（2k+1）λ2=r2kR+λ2（k=0，1，2…），即：rk=kλR（3）

從上述公式可以看出，測定暗環(huán)的半徑后，并且在已知光波波長λ的情況下，就能夠推導(dǎo)出平凸透鏡的曲率半徑R，這一計算過程依賴于對暗環(huán)半徑的精確測量。然而，實驗過程中存在一個不容忽視的問題：牛頓環(huán)的中心并非一個單一的幾何點，而是由透鏡與平板接觸時產(chǎn)生的形變所形成的一個暗斑。這個暗斑的中心位置并不清晰，因此，在實驗操作中很難精確地定位和測量牛頓環(huán)的半徑。為了克服這一難題，測量時選取了不相鄰級數(shù)的兩個暗條紋，分別記為直徑Dm和Dn，通過對公式（3）進行數(shù)學(xué)上的變換，能夠推導(dǎo)出所需的曲率半徑R，如公式（4）所示，

R=D2m-D2n4（m-n）λ（4）

2"實驗過程及結(jié)果

牛頓環(huán)裝置螺栓的調(diào)節(jié)對于兩透鏡間的接觸應(yīng)力有至關(guān)重要的作用，這種接觸應(yīng)力直接作用于平凸透鏡，導(dǎo)致其發(fā)生彈性形變，進而對測量結(jié)果產(chǎn)生影響。接觸應(yīng)力大小可以通過觀察牛頓環(huán)中心處的黑斑面積來體現(xiàn)，在理想的實驗條件下，如果沒有形變發(fā)生，平凸透鏡與平板之間的接觸應(yīng)當(dāng)是點接觸，此時牛頓環(huán)的中心會呈現(xiàn)出一個清晰的點。然而，一旦透鏡發(fā)生形變，牛頓環(huán)的中心將變?yōu)橐粋€黑斑，而這個黑斑的面積與接觸應(yīng)力及形變量呈正相關(guān)關(guān)系［7］。本研究中，我們通過精確調(diào)節(jié)牛頓環(huán)裝置上的三個螺栓，成功地控制了中心暗斑的面積，并得到了一系列不同的中心暗斑面積S的數(shù)據(jù)分別為：0.742mm2、1051mm2、5047mm2、9.926mm2、14.313mm2、25.321mm2、42.950mm2。圖2展示了面積分別為0.742mm2、5.047mm2以及25.321mm2的牛頓環(huán)中心暗斑。

為了減少系統(tǒng)誤差，我們選擇測量了17級到24級暗條紋的直徑。這些數(shù)據(jù)被分成兩組進行處理，以便采用隔項逐差法進行數(shù)據(jù)分析。在數(shù)據(jù)處理過程中，運用了公式（4）來計算平凸透鏡的曲率半徑R。表1為螺栓最松時所測量的牛頓環(huán)直徑數(shù)據(jù)，此時平凸透鏡形變完全來源于自身重力，暗斑面積S為0.742mm2。

通過相同方法對一系列不同中心暗斑面積的牛頓環(huán)實驗數(shù)據(jù)（分別為1.051mm2、5.047mm2、9.926mm2、14313mm2、25.321mm2和42.950mm2）進行分析后，得到了曲率半徑隨中心暗斑面積變化的趨勢，如圖3所示。結(jié)果表明，隨著暗斑面積增大，計算得到的平凸透鏡曲率半徑R呈現(xiàn)出顯著的上升趨勢，從最初的1.51m增加至最終的2.99m。進一步地將這些測量結(jié)果與廠商提供的標(biāo)準(zhǔn)曲率半徑參考值1.50m進行比較，并計算了相對誤差E，見表2。當(dāng)中心暗斑面積超過1.051mm2之后，曲率半徑的相對誤差開始顯著增加，并超過了實驗允許的最大誤差容限5%?；谏鲜鰧嶒灲Y(jié)果，我們建議螺栓調(diào)節(jié)過程中，牛頓環(huán)中心暗斑面積應(yīng)保持在1.051mm2以下，即暗斑直徑不應(yīng)超過1.16mm。

3"實驗操作注意事項

為了確保實驗結(jié)果的準(zhǔn)確性，在實驗操作中須注意以下兩個關(guān)鍵步驟：

（1）在使用讀數(shù)顯微鏡進行測量時，為防止引入螺距誤差，應(yīng)當(dāng)首先移動顯微鏡的十字叉絲對準(zhǔn)任意一側(cè)的25環(huán)。隨后，反向旋轉(zhuǎn)輪盤，再次對準(zhǔn)24環(huán)，并從這個位置開始進行讀數(shù)。在后續(xù)的測量過程中，必須保持旋轉(zhuǎn)方向的一致性，絕不可倒退旋轉(zhuǎn)。

（2）在讀取暗紋的位置時，須注意每個暗紋都有一定的寬度。在操作過程中，應(yīng)確保讀數(shù)顯微鏡中的十字叉絲與暗紋的外側(cè)相切，讀取的是暗紋的邊緣，而不是中間，避免由于暗紋寬度引起的測量誤差。

結(jié)語

在進行“利用牛頓環(huán)測量平凸透鏡曲率半徑”的實驗時，對牛頓環(huán)裝置螺栓調(diào)節(jié)可能導(dǎo)致平凸透鏡產(chǎn)生彈性形變，從而在中心區(qū)域形成暗斑。這一暗斑的面積直接關(guān)聯(lián)到所計算出的平凸透鏡的曲率半徑，是實驗中產(chǎn)生誤差的關(guān)鍵因素。根據(jù)本研究得出的結(jié)論，實驗操作中應(yīng)盡量避免對螺栓過度擰緊，以免造成平凸透鏡的過度壓縮。在實驗開始之前，應(yīng)先測量中心暗斑的直徑，確保其小于1.16mm，以此保證實驗結(jié)果的準(zhǔn)確性。

參考文獻：

［1］張麗穎，顧菊觀，徐海斌.基于干涉圖樣分析牛頓環(huán)表面的缺陷［J］.大學(xué)物理實驗，2023，36（03）：4450.

［2］劉寧亮，李沁瑤，丁馳竹.利用牛頓環(huán)測量液體折射率仿真實驗設(shè)計與開發(fā)［J］.大學(xué)物理實驗，2022，35（02）：8588.

［3］張麗穎，顧菊觀，徐海斌.圓錐面與拋物面組合的類牛頓環(huán)干涉圖樣研究［J］.物理通報，2023（08）：1522.

［4］周幼華，王善平，許陽.用牛頓環(huán)實驗測量凸透鏡曲率半徑的誤差分析［J］.江漢大學(xué)學(xué)報，2002（03）：1518.

［5］翁衛(wèi)祥，馬靖，許燦華，等.牛頓環(huán)中心暗斑對曲率半徑測量的影響及實驗改進［J］.大學(xué)物理實驗，2019，32（05）：4446.

［6］李麗芳，武麗娜，閆映策.牛頓環(huán)中心斑對曲率半徑的影響［J］.大學(xué)物理實驗，2019，32（06）：7376.

［7］劉雙燕，郭長立.基于ANSYS的牛頓環(huán)應(yīng)力變形分析及結(jié)構(gòu)優(yōu)化應(yīng)用［J］.實驗室研究與探索，2022，41（09）：112119.

基金項目：2023年江蘇省高等教育質(zhì)量保障與評價研究課題，“大數(shù)據(jù)智能化背景下構(gòu)建《大學(xué)物理實驗》教學(xué)評價體系的研究”（11612512403）；江蘇理工學(xué)院2023年教學(xué)改革與研究課題“應(yīng)用型拔尖人才培養(yǎng)路徑的探索與實踐——以物理學(xué)科競賽為例”（11611212415）；2024年市物理學(xué)會專項課題“以物理實驗為載體提升大學(xué)生創(chuàng)新素質(zhì)和實踐能力的研究”（CW20240201）

*通訊作者：左旭東（1990—"），男，漢族，江蘇常州人，博士研究生，講師，研究方向：生物醫(yī)用磁性材料。