摘 要：本文針對軋機垂扭耦合振動問題，建立了相應(yīng)的控制模型，并提出了一種優(yōu)化方法。首先，分析軋機系統(tǒng)的動力學特性，建立垂扭耦合振動的數(shù)學模型。其次，基于該模型提出一種基于控制理論的優(yōu)化方法，以有效控制軋機振動。最后，通過仿真試驗驗證所提方法的有效性和優(yōu)越性。本文算法引入了輸出性能約束，建立了合理的控制策略，能夠使系統(tǒng)的狀態(tài)變量始終保持在有界范圍內(nèi)，從而提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：軋機；耦合振動；控制模型

中圖分類號：TG 333" " 文獻標志碼：A

軋機是一種重要的金屬加工設(shè)備，廣泛應(yīng)用于鋼鐵、有色金屬等行業(yè)。但是軋機結(jié)構(gòu)復雜并具有一定的工作特性，經(jīng)常會出現(xiàn)垂扭耦合振動問題，嚴重影響了軋機的工作效率和產(chǎn)品質(zhì)量[1]。因此，對軋機垂扭耦合振動進行控制和優(yōu)化具有重要的理論和實際意義。本文旨在建立相應(yīng)的控制模型和優(yōu)化方法，提供一種有效的解決方案。

1 軋機垂扭耦合振動控制模型的建立

1.1 整體設(shè)計思路

本文針對扭振系統(tǒng)，設(shè)計了一個扭振控制器來抑制扭轉(zhuǎn)振動。該控制器可測量扭轉(zhuǎn)振動的反饋信號，并結(jié)合系統(tǒng)模型和控制算法生成相應(yīng)的控制信號來抑制扭轉(zhuǎn)振動[2]。并優(yōu)化控制器參數(shù)和調(diào)節(jié)算法，對扭轉(zhuǎn)振動進行有效控制。

1.2 具體設(shè)計算法

本文建立了軋機主傳動扭振系統(tǒng)的數(shù)學模型，該系統(tǒng)包括軋機主傳動系統(tǒng)和扭振系統(tǒng)，本文主要探討扭振系統(tǒng)。扭振系統(tǒng)由軋機輥和軋機輥間的彈簧、阻尼器組成。反步坐標變換是一種將系統(tǒng)的輸入和輸出變量進行轉(zhuǎn)換的方法，能更好地描述系統(tǒng)的動態(tài)特性[3]。本文將扭振系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)角度和扭轉(zhuǎn)角速度作為反步坐標。針對軋機主傳動扭振系統(tǒng)，引入反步坐標變換，如公式（1）所示。

式中：z21為電機轉(zhuǎn)動角速度；z22為電機轉(zhuǎn)動角度-電機轉(zhuǎn)動角速度；z23為電機轉(zhuǎn)動角度；α21、α22分別為虛擬控制器；ζ21、ζ22和ζ23分別為輸出變量。

在軋機垂扭耦合振動控制模型的建立中，本文引入正切障礙李雅普諾夫函數(shù)，將其作為描述系統(tǒng)穩(wěn)定性的函數(shù)，定義一個障礙函數(shù)來限制系統(tǒng)的輸出變量可以有效控制系統(tǒng)的性能。在耦合垂振問題中，本文構(gòu)造了一個非對稱的正切障礙李雅普諾夫函數(shù)來限制輸出變量的性能。非對稱是指障礙函數(shù)的上界和下界不對稱，這樣可以使系統(tǒng)對輸出變量的上界和下界具有不同響應(yīng)，從而更好地控制系統(tǒng)的振動行為。當建立軋機垂扭耦合振動控制模型時，本文將正切障礙李雅普諾夫函數(shù)引入系統(tǒng)的控制策略中。合理選擇障礙函數(shù)的形式和參數(shù)可以限制系統(tǒng)輸出變量在一定范圍內(nèi)波動，從而有效控制系統(tǒng)的振動幅度和穩(wěn)定性。特別是在耦合振動問題中，正切障礙李雅普諾夫函數(shù)的非對稱性可以更好地適應(yīng)系統(tǒng)的復雜性，提高系統(tǒng)的控制性能和穩(wěn)定性[4]。為了限制輸出變量ζ21的性能，需要構(gòu)造非對稱的正切障礙李雅普諾夫函數(shù)，如公式（2）所示。

1.2.1 構(gòu)建第一部分的李雅普諾夫函數(shù)

為了使輸出變量ζ21趨于穩(wěn)定，構(gòu)建第一部分的李雅普諾夫函數(shù)，分別如公式（3）、公式（4）所示。

在軋制過程中，軋機會施加一定壓力和扭矩，將金屬坯料壓制成所需形狀和尺寸。不同厚度和規(guī)格的產(chǎn)品需要不同的軋制參數(shù)和工藝調(diào)整，這就需要在切換不同產(chǎn)品過程中進行相應(yīng)調(diào)整和適應(yīng)[5]。然而，在切換過程中，產(chǎn)品的厚度和規(guī)格的變化會導致軋機主傳動系統(tǒng)的負載轉(zhuǎn)矩發(fā)生變化。這種變化是突變的、不確定的，甚至會產(chǎn)生沖擊和振動。這樣的不確定干擾會對軋機的穩(wěn)定性和軋制質(zhì)量產(chǎn)生負面影響，因此負載轉(zhuǎn)矩表示為公式（5）。

TL=TL1+TLD " " " " " " " " " " " " （5）

式中：TL1為穩(wěn)定軋制時的負載轉(zhuǎn)矩；TLD為軋制過程存在干擾導致的干擾轉(zhuǎn)矩。

公式（5）的引理如公式（6）所示。

式中：v21為控制輸入或控制信號的增益；ρ211為物理參數(shù)或系統(tǒng)參數(shù)；tanh為雙曲正切函數(shù)；ε211為小的正數(shù)。

根據(jù)定義的狀態(tài)變換z22=ζ22+α21，由楊氏不等式可得公式（7）。

楊氏不等式的意義在于它給出了組合數(shù)的一個上界估計。利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來逼近未知的非線性函數(shù)，將輸入值輸入網(wǎng)絡(luò)中，經(jīng)過隱藏層計算和輸出層計算得到網(wǎng)絡(luò)的輸出值。這個輸出值就是對未知函數(shù)在該輸入值下的逼近值。利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來逼近未知的非線性函數(shù)，如公式（8）所示。

式中：K為系統(tǒng)的增益系數(shù)；JL為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量；c3、c4分別為常數(shù)系數(shù)；aRFz為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重；φ21（Z21）為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基函數(shù)。

PID控制器是最常用的虛擬控制器之一，包括比例、積分和微分3個控制分量。調(diào)節(jié)這些分量的參數(shù)，可實現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和響應(yīng)速度的折衷。PID控制器適用于許多線性和部分非線性系統(tǒng)。模型參考自適應(yīng)控制（MRAC）利用在線辨識系統(tǒng)模型，并根據(jù)模型誤差來調(diào)整控制器參數(shù)，從而實現(xiàn)對系統(tǒng)的自適應(yīng)控制。MRAC適用于系統(tǒng)參數(shù)變化較快或不確定的情況。本文選取的虛擬控制器和自適應(yīng)律分別如公式（9）、公式（10）所示。

將公式（9）帶入公式（10）可得公式（11）、公式（12）。

1.2.2 構(gòu)建第二部分的李雅普諾夫函數(shù)

計算方式與第1.2.1節(jié)的第一部分相似，得到第二部分的李雅普諾夫函數(shù)，分別如公式（13）所示。

1.2.3 構(gòu)建第三部分的李雅普諾夫函數(shù)

計算方式與第1.2.1節(jié)的第一部分相似，得到第三部分的李雅普諾夫函數(shù)，分別如公式（15）、公式（16）所示。

2 模型仿真驗證

2.1 仿真設(shè)置

本文選取650mm軋機為仿真對象，軋機機電液垂扭耦合系統(tǒng)的仿真參數(shù)如下：m1為（8.9357×104）kg，kv為（1.25×10-4）m/v，k11為（7.2×1010）N/m，βe為（7×108）Pa，c11為（1.2×106）（N·s）/m，V為0.0732m3，Ps為（2×107）Pa，

Jm為1552kg·m2，P2為（1×106）Pa，JL為1542kg·m2，A1為（1.9635×10-1）m2，A2為（3.015×10-2）m2，TL1為14500N·m，Ct為（5×10-16）N·m，TLD為（2190×sinπt）N·m，Cd為0.62，R為0.4，w為0.119，c1為0.2，c2為0.1，c3為0.1，c4為0.2，a為0.13，B為0.002，c為0.2。

軋機垂扭耦合系統(tǒng)狀態(tài)初始值選取如公式（17）所示。

2.2 仿真結(jié)果

利用本文提出的控制算法，軋輥振動位移的衰減速度得到了顯著提高。傳統(tǒng)的無輸出性能約束控制方法無法有效抑制振動的衰減速度，導致系統(tǒng)的響應(yīng)時間較長。而本文算法能夠合理控制策略和參數(shù)調(diào)節(jié)，快速減少振動位移，使系統(tǒng)的衰減速度更快，從而提高了系統(tǒng)的動態(tài)性能。在穩(wěn)態(tài)誤差方面，本文的控制算法也取得了良好效果。傳統(tǒng)的無輸出性能約束控制方法無法消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，導致系統(tǒng)無法達到期望的穩(wěn)定狀態(tài)。而本文算法引入額輸出性能約束，能夠有效減少穩(wěn)態(tài)誤差，使系統(tǒng)能夠達到期望的穩(wěn)定狀態(tài)。超調(diào)量是衡量系統(tǒng)控制性能的重要指標之一。傳統(tǒng)的無輸出性能約束控制方法在控制過程中存在較大超調(diào)量，導致系統(tǒng)的響應(yīng)過程不夠平滑。而本文算法能夠優(yōu)化控制策略和參數(shù)調(diào)節(jié)，有效減少超調(diào)量，使系統(tǒng)的響應(yīng)過程更平滑、穩(wěn)定。

無輸出性能受限下的軋輥振動位移、無輸出性能受限下的負載轉(zhuǎn)速跟蹤誤差分別如圖1、圖2所示。利用本文提出的控制算法，負載轉(zhuǎn)速的跟蹤誤差趨于穩(wěn)定。傳統(tǒng)的無輸出性能約束控制方法無法有效控制負載轉(zhuǎn)速的誤差，導致系統(tǒng)的跟蹤性能較差。而本文算法引入了輸出性能約束和合理的控制策略，能夠快速減少跟蹤誤差，使其穩(wěn)定在規(guī)定的上、下界內(nèi)，從而提高了系統(tǒng)的動態(tài)性能。在穩(wěn)態(tài)性能方面，本文的控制算法也取得了良好效果。傳統(tǒng)的無輸出性能約束控制方法無法嚴格限制負載轉(zhuǎn)速的跟蹤誤差，導致系統(tǒng)無法達到期望的穩(wěn)定狀態(tài)。而本文算法優(yōu)化了控制策略和參數(shù)調(diào)節(jié)，能夠?qū)⒏櫿`差嚴格限制在規(guī)定的上、下界內(nèi)，使系統(tǒng)能夠更好地達到期望的穩(wěn)定狀態(tài)。

負載轉(zhuǎn)速與電機轉(zhuǎn)速差的響應(yīng)曲線和電機轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線分別如圖3、圖4所示。傳統(tǒng)的無輸出性能約束控制方法無法有效控制振動速度，導致系統(tǒng)的振動速度波動較大。而本文算法引入了輸出性能約束和合理的控制策略，能夠快速減少振動速度的波動，并使其趨于穩(wěn)定。傳統(tǒng)的無輸出性能約束控制方法無法嚴格限制液壓缸無桿腔工作壓力的波動，導致系統(tǒng)的壓力不穩(wěn)定。而本文算法優(yōu)化了控制策略和參數(shù)調(diào)節(jié)，能夠有效控制液壓缸無桿腔工作壓力的波動。傳統(tǒng)的無輸出性能約束控制方法無法保證系統(tǒng)的狀態(tài)變量不超出規(guī)定范圍，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而本文算法引入了輸出性能約束和合理的控制策略，能夠?qū)⑾到y(tǒng)的狀態(tài)變量始終保持在有界范圍內(nèi)，從而提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3 結(jié)語

本文對軋機垂扭耦合振動問題進行建模和優(yōu)化，提出了一種基于控制理論的優(yōu)化方法仿真試驗表明，該方法能夠有效控制軋機的振動，提高軋機的工作效率和產(chǎn)品質(zhì)量。本文的研究成果對軋機行業(yè)的發(fā)展具有重要意義，也為其他領(lǐng)域的振動控制問題提供了借鑒和參考。未來的研究進一步探索更高效的優(yōu)化方法，以進一步提升軋機垂扭耦合振動控制的效果和性能。

參考文獻

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