摘 要：針對二自由度機械臂的軌跡跟蹤問題，本文提出基于改進微分進化優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的二自由度機械臂軌跡跟蹤方法。分析其動力學方程，從周期性振動、瞬態(tài)響應和穩(wěn)定運動狀態(tài)3個角度探討了二自由度機械臂的動態(tài)行為表現(xiàn)形式，將軌跡跟蹤轉(zhuǎn)化為求解二自由度機械臂非線性微分方程。采用約束處理機制改進基本微分進化算法，利用多層感知器（Multilayer Perceptron，MLP）結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)跟蹤二自由度機械臂軌跡。測試結(jié)果表明，跟蹤誤差始終保持在0.010 m以內(nèi)，最大值為0.010 m，最小值為0.003 m，與對照組相比具有明顯優(yōu)勢。

關(guān)鍵詞：改進微分進化；優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；二自由度機械臂；軌跡跟蹤；動力學方程；動態(tài)行為表現(xiàn)形式；約束處理機制；MLP結(jié)構(gòu)

中圖分類號：G 254 " " " " " 文獻標志碼：A

二自由度機械臂是一種有2個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的機器人，運行特性獨特，其運動學模型相對簡單，由于關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)，其運動學方程是非線性的[1]，對機器人進行精確控制和軌跡跟蹤的難度較高，因此，要完成特定的軌跡（即機器人末端執(zhí)行器的路徑和速度），須對二自由度機械臂進行精確的軌跡規(guī)劃。為了進行精確的軌跡跟蹤，需要高精度的控制器。在實際應用中，除了機械臂自身的因素外，還要考慮環(huán)境因素的影響，須結(jié)合優(yōu)化算法、先進的控制策略和傳感器技術(shù)，對二自由度機械臂進行精確控制和軌跡跟蹤，還須不斷調(diào)整和優(yōu)化控制策略，以適應各種復雜的工作環(huán)境，滿足不同的任務需求。李東民等 [2]提出以模糊滑模反步控制為基礎(chǔ)的機械臂軌跡跟蹤方法， 盧紫超等[3]提出以干擾觀測器為基礎(chǔ)的機械臂軌跡跟蹤方法，它們都在一定程度上提高了跟蹤精度，但是在二自由度機械臂方面存在局限性。

為此，本文提出基于改進微分進化優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的二自由度機械臂軌跡跟蹤研究，在對比環(huán)境下分析本文設(shè)計的軌跡跟蹤方法的性能。

1 二自由度機械臂軌跡跟蹤方法設(shè)計

1.1 二自由度機械臂動力學模型構(gòu)建

二自由度機械臂是1個試驗裝置，其構(gòu)造簡單、成本低，作為被控對象，它是一個不穩(wěn)定、多變量、非線性并且強耦合的多輸入、多輸出系統(tǒng)。二自由度機械臂“不穩(wěn)定”的特性說明在沒有外部干預的情況下，機械臂無法維持其狀態(tài)，而是會隨時間產(chǎn)生變化?！岸嘧兞俊焙汀胺蔷€性”特性說明機械臂運動受到多個因素綜合影響，這些影響之間的關(guān)系并非簡單線性關(guān)系。“強耦合”說明機械臂的各個部分之間聯(lián)系聯(lián)系緊密。1個關(guān)節(jié)運動可能會影響另一個關(guān)節(jié)運動，甚至可能顯著影響整個機械臂的運動軌跡。這種耦合性要求控制系統(tǒng)能夠全面考慮各個部分之間的相互作用，做出合理的控制決策。從動力學角度進行分析，二自由度機械臂主要由2個連桿組成，每個連桿對應一個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)[4]。由于關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)，因此機械臂在運動過程中會受到動力學效應影響，例如科里奧利力和離心力，這些力會干擾機械臂的運動，影響其精確控制和軌跡跟蹤。由于每個關(guān)節(jié)都會受到其旋轉(zhuǎn)范圍的限制，因此這會影響機械臂的整體運動范圍和軌跡跟蹤。在實際操作中，須保證機械臂的關(guān)節(jié)角在允許的范圍內(nèi)。在此基礎(chǔ)上，本文利用非線性微分方程分析二自由度機械臂的動態(tài)行為表現(xiàn)，主要為關(guān)節(jié)角度的變化。非線性微分方程是一個包括未知函數(shù)及其導數(shù)的方程，導數(shù)的值取決于函數(shù)自身的值。非線性微分方程可以說明二自由度機械臂關(guān)節(jié)角度的變化率與關(guān)節(jié)角度以及其他參數(shù)有統(tǒng)計學意義。求解這個非線性微分方程，可以得到關(guān)節(jié)角度隨時間的變化關(guān)系。

結(jié)合實際需求，這些變化是周期性的振動，也是瞬態(tài)的響應，還是穩(wěn)定的運動狀態(tài)[5]。具體表現(xiàn)取決于初始條件、驅(qū)動力矩和阻尼等因素。結(jié)合上述分析，根據(jù)牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動慣量，二自由度機械臂的動力學方程如公式（1）所示。

τ=M（θ）d2θ/dt2+C（θ，dθ/dt）dθ/dt+ G（θ） （1）

式中：τ為關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩；M（θ）為二自由度機械臂連桿的質(zhì)量矩陣，其元素為各連桿的轉(zhuǎn)動慣量；C（θ，dθ/dt）為科里奧利矩陣，其元素為各連桿的科里奧利力矩；dt為機械臂在t時間內(nèi)進行動態(tài)運動的加速度向量；G（θ）為機械臂連桿θ的重力向量，其元素為各連桿所受的重力矩；t為時間。按照上述方式，利用二階非線性微分方程，描述機械臂在關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩作用下的動態(tài)行為。將驅(qū)動力矩作為輸入，能夠精確地描述機械臂在動態(tài)運動過程中的加速度和速度變化。求解這個二階非線性微分方程，可以得到機械臂在給定驅(qū)動力矩作用下的運動軌跡。利用這個軌跡，進一步設(shè)計控制策略，精確跟蹤機械臂的軌跡?？刂撇呗缘哪繕耸钦{(diào)整驅(qū)動力矩，使機械臂的實際軌跡與期望軌跡盡可能接近。

結(jié)合上文構(gòu)建的二自由度機械臂動力學模型，本文對二自由度機械臂的動態(tài)行為表現(xiàn)形式的劃分結(jié)果見表1。

結(jié)合表1的分析結(jié)果，更準確地預測和控制機械臂的動態(tài)行為軌跡，在后續(xù)研究中，可以使用合適的方法來求解非線性微分方程，并考慮各種實際因素，例如摩擦力、彈性力和空氣阻力。摩擦力會阻礙機械臂運動，產(chǎn)生阻力，使機械臂運動變緩，速度和加速度變慢。彈性力主要來自關(guān)節(jié)和連桿的彈性。當機械臂運動時，關(guān)節(jié)和連桿會發(fā)生彈性變形，從而產(chǎn)生彈性力。彈性力可能會改變機械臂的運動軌跡，使其偏離理想軌跡?？諝庾枇εc機械臂的形狀、速度和運動方向有統(tǒng)計學意義。當機械臂在空氣中運動時，會受到空氣阻力影響，空氣阻力可能會使機械臂的運動軌跡發(fā)生偏離，當高速運動時，這種偏離會更明顯。綜合分析這些因素可能會對機械臂實際運動軌跡帶來的影響，最大程度地保證跟蹤結(jié)果的可靠性和精準性。

1.2 基于改進微分進化優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的二自由度機械臂軌跡跟蹤

結(jié)合第1.1節(jié)對二自由度機械臂動力學模型的構(gòu)建結(jié)果以及對二自由度機械臂的動態(tài)行為表現(xiàn)形式的分析結(jié)果，當對其軌跡進行跟蹤時，本文在充分考慮摩擦力、彈性力和空氣阻力因素作用強度的基礎(chǔ)上，利用改進微分進化優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解二自由度機械臂非線性微分方程。微分進化是一種全局優(yōu)化算法，利用種群搜索的方式尋找最優(yōu)解。為了提高搜索效率和精度，改進微分進化算法，增加了多樣性的保持機制、自適應調(diào)整交叉和變異算子的參數(shù)等。

微分進化算法（Differential Evolution Algorithm，DE）是一種基于群體的隨機優(yōu)化算法，本文主要利用其解決實際參數(shù)優(yōu)化問題。引入約束處理機制改進基本微分進化算法，保證搜索過程不偏離可行解區(qū)域，提高算法的實用性和可靠性，如公式（2）所示。

?d=u（γ）q " " " " " " " （2）

式中：?d為對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元參數(shù)的調(diào)整幅度；u（γ）為機械臂對應的矩陣關(guān)系；γ為關(guān)節(jié)空間中的各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動的角度；q為當前關(guān)節(jié)的狀態(tài)向量。結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與微分進化算法，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解非線性微分方程。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種強大的非線性映射工具，能夠逼近任何非線性函數(shù)。采用多層感知器作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，輸入層包括關(guān)節(jié)角度和時間等信息，輸出層為控制信號。訓練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠找到最佳的權(quán)重和閾值，使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出盡可能地接近期望軌跡。

這樣的改進措施使改進的微分進化算法能夠更好地處理復雜、非線性、高維度和大規(guī)模的二自由度機械臂非線性微分方程求解問題。

在此基礎(chǔ)上，利用優(yōu)化后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解二自由度機械臂的非線性微分方程并確定其軌跡，具體操作步驟如下。

步驟一：明確求解的問題是一個二自由度機械臂的運動軌跡問題。目標是找到滿足給定初始條件和邊界條件的機械臂軌跡。

步驟二：收集歷史數(shù)據(jù)，包括不同時刻的關(guān)節(jié)角度、關(guān)節(jié)速度、關(guān)節(jié)加速度和驅(qū)動力矩等。

步驟三：設(shè)計合適的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。由于跟蹤機械臂為二自由度結(jié)構(gòu)形式，涉及2個連桿和2個關(guān)節(jié)角度的分析，因此，本文采用多層感知器（Multilayer Perceptron，MLP）結(jié)構(gòu)。其中，輸入層的節(jié)點數(shù)應與輸入特征的數(shù)量相匹配。使用改進的微分進化算法對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行優(yōu)化，不斷調(diào)整神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，逐漸逼近最優(yōu)解，即最佳的控制信號序列。二自由度機械臂輸入層包括關(guān)節(jié)角度（θ1、θ2）和時間t，因此，輸入層節(jié)點數(shù)為3。

根據(jù)經(jīng)驗或試驗來確定隱藏層的節(jié)點數(shù)。增加隱藏層節(jié)點數(shù)可以提高模型的復雜性和擬合能力，也可能導致過擬合。本文設(shè)置隱藏層主要為Sigmoid激活函數(shù)，如公式（3）所示。

（3）

式中：f（t）為激活函數(shù)；p、pi分別為目標二自由度機械臂狀態(tài)特征與輸入特征。

輸出層的節(jié)點數(shù)應與問題的目標數(shù)量相匹配。在本文研究中，步驟一已經(jīng)明確了目標是二自由度機械臂的運動軌跡，預測關(guān)節(jié)加速度或角度變化率，因此輸出層節(jié)點數(shù)為1或2。

步驟四：使用收集的數(shù)據(jù)訓練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。本文使用梯度下降法，不斷迭代更新網(wǎng)絡(luò)的偏置，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)W習非線性微分方程的解，如公式（4）所示。

（4）

式中：G（t）為非線性微分方程的解；e為神經(jīng)網(wǎng)路的偏置；τ（θ，t）為二自由度機械臂連桿θ在t時間內(nèi)運動的動力學方程；[τ，τ（θ，t）]為二自由度機械臂連桿動力學方程的集合。步驟五：在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓練完成并驗證有效的前提下，使用其跟蹤二自由度機械臂的軌跡。輸入初始條件（例如初始關(guān)節(jié)角度和速度），神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將輸出預測的關(guān)節(jié)角度變化，形成軌跡。

基于改進微分進化優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的二自由度機械臂軌跡跟蹤方法具有許多優(yōu)點。首先，它能夠處理復雜的非線性問題，在機械臂的運動控制過程中，由于機械臂的動力學特性和外部環(huán)境的復雜性，經(jīng)常需要面對各種非線性的挑戰(zhàn)。改進微分進化優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性映射能力十分強大，能夠精確地模擬和預測這些非線性關(guān)系，從而顯著提高軌跡跟蹤的精度和穩(wěn)定性。其次，它結(jié)合了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性映射能力和微分進化算法的全局搜索能力，形成了一種優(yōu)勢互補的組合。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有強大的學習和逼近能力，微分進化算法擅長在復雜的搜索空間中尋找全局最優(yōu)解。結(jié)合這2種技術(shù)，該方法能夠在軌跡跟蹤過程中自動調(diào)整和優(yōu)化控制參數(shù)，以適應不同的工作環(huán)境，滿足不同的任務需求。最后，基于改進微分進化優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的二自由度機械臂軌跡跟蹤方法具有強大的泛化能力，它可以應用于其他類型的機器人系統(tǒng)，無論是多自由度機械臂、移動機器人還是無人機等復雜系統(tǒng)，該方法都能夠提供有效的解決方案，進行高精度的軌跡跟蹤和控制，具有廣泛的應用前景。

2 測試與分析

2.1 測試準備

本文以Kinova超輕型機器人系列中最新、最緊湊的成員——Gen3 lite作為測試對象。Gen3 lite機械臂各關(guān)節(jié)集成了的無刷直流電機，結(jié)構(gòu)緊湊。每個關(guān)節(jié)都可以獨立控制，用戶能夠選擇工具和語言，適用于多種應用場景和環(huán)境。作為一款專業(yè)級機器人臂，其可以執(zhí)行光操縱任務，能夠在功能強大的Kinova＆Kortex開放式API軟件上運行，與其他設(shè)備協(xié)作進行無縫共享編程。以此為基礎(chǔ)，當對Gen3 lite二自由度機械臂軌跡進行跟蹤測試時，分別設(shè)置文獻[2]提出的以模糊滑模反步控制為基礎(chǔ)的機械臂軌跡跟蹤方法、文獻[3]提出的以干擾觀測器為基礎(chǔ)的機械臂軌跡跟蹤方法以及本文提出的基于改進微分進化優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的二自由度機械臂軌跡跟蹤方法，在相同環(huán)境下進行對比測試。

2.2 測試結(jié)果與分析

在上述測試環(huán)境中，分別采用3種方法對連續(xù)10 s內(nèi)Gen3 lite二自由度機械臂軌跡進行跟蹤，并統(tǒng)計具體跟蹤誤差，測試結(jié)果如圖1所示。

從圖1可以看出，3種不同軌跡的跟蹤方法對應的誤差情況出現(xiàn)了明顯差異。使用文獻[2]方法，整體跟蹤誤差波動較為明顯，在測試過程中，時間誤差基本控制在0.010 m以內(nèi)，最大誤差達到0.025 m，在接近停止移動階段（測試時間的9 s～10 s），對應的跟蹤誤差穩(wěn)定在0.005 m以內(nèi)，說明該方法的收斂性存在進一步提升的空間。使用文獻[3]方法，雖然整體跟蹤誤差相對穩(wěn)定[6]，未出現(xiàn)較為突出的誤差，但是對應的誤差為0.010 m～0.015 m，說明該方法的跟蹤精度存在進一步優(yōu)化的空間[7]。使用本文方法，不僅未出現(xiàn)較為突出的誤差，而且整體跟蹤誤差始終lt;0.010 m，最大值為0.010 m，最小值為0.003 m，與對照組相比優(yōu)勢明顯。根據(jù)上述測試結(jié)果可以得出結(jié)論，本文提出的基于改進微分進化優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的二自由度機械臂軌跡跟蹤方法可以進行精準跟蹤，實際應用價值很高。

3 結(jié)語

隨著工業(yè)4.0時代到來和智能制造技術(shù)的發(fā)展，工業(yè)制造領(lǐng)域?qū)C械臂的軌跡跟蹤精度和響應速度要求越來越高。為了滿足這些需求，必須不斷研究和改進軌跡跟蹤技術(shù)。本文提出基于改進微分進化優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的二自由度機械臂軌跡跟蹤方法，精準跟蹤二自由度機械臂軌跡。在工業(yè)自動化生產(chǎn)線上，機械臂能夠更精確地完成各種任務，提高效率。對一些高精度、高要求的制造任務來說，例如電子器件裝配、藥品生產(chǎn)等，機械臂能夠提高軌跡跟蹤精度，提升產(chǎn)品質(zhì)量。軌跡跟蹤技術(shù)涉及多個領(lǐng)域，包括機器人學、控制理論和計算機視覺等，本文研究能夠推動機器人技術(shù)發(fā)展，促進相關(guān)學科交叉融合。

參考文獻

[1]劉城焱，胡健，姚建勇，等.強化學習驅(qū)動下的柔性機械臂雙時間尺度組合控制[J].控制理論與應用，2023，12（19）：1-11.

[2]李東民，王通，杜浩，等.基于模糊滑模反步控制的自動裝卸鉆桿機械臂軌跡跟蹤研究[J].南京理工大學學報，2023，47（5）：619-628.

[3]盧紫超，李通，孫澤文，等.基于干擾觀測器的機械臂廣義模型預測軌跡跟蹤控制[J].測控技術(shù)， 2023，42（9）：81-87.

[4]楊曉航，趙智遠，李云濤，等.基于可操作度優(yōu)化的冗余機械臂逆運動學求解方法[J].機械工程學報，2023，10（18）：1-12.

[5]王策，楊升，張磊，等.基于指數(shù)增益迭代學習的機械臂二階滑?？刂品椒╗J].化工自動化及儀表， 2023，50（5）：644-651.

[6]崔孟豪，姬會福，惠延波，等.基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的七自由度鑿巖臺車鉆臂運動學研究[J].機電工程，2022（9）：39.

[7]馬宏達，鄧義斌，郭強波.基于遺傳算法的二自由度波浪能裝置陣列優(yōu)化[J].太陽能學報，2022（6）：43.