摘要： 具有復(fù)雜工藝路線的裝備產(chǎn)品，其生產(chǎn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的待決策變量之間通常相互耦合、相互影響，對(duì)產(chǎn)品最終的批產(chǎn)成本產(chǎn)生著影響，構(gòu)成了較為復(fù)雜的組合優(yōu)化問題。對(duì)此，提出一種基于動(dòng)態(tài)成本卷積的復(fù)雜產(chǎn)品批產(chǎn)路徑優(yōu)化模型。該模型考慮了復(fù)雜產(chǎn)品工藝路線的各節(jié)點(diǎn)均可能存在多種生產(chǎn)設(shè)計(jì)選項(xiàng)，在各選項(xiàng)對(duì)應(yīng)著不同生產(chǎn)投入和批量效率的情況下，以最終交付產(chǎn)品的批產(chǎn)成本最小化為目標(biāo)輸出生產(chǎn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)和成本卷積路徑。同時(shí)，建立了混合整數(shù)規(guī)劃模型，并通過對(duì)模型中非線性成分實(shí)施可控精度線性化，將模型換化為可最優(yōu)求解的線性模型。最后，針對(duì)某連續(xù)生產(chǎn)行業(yè)設(shè)計(jì)了小、中、大規(guī)模實(shí)驗(yàn)算例，驗(yàn)證了所提模型的可行性、合理性和求解效率。

關(guān)鍵詞： 批產(chǎn)成本; 成本卷積; 路徑優(yōu)化; 優(yōu)化模型

中圖分類號(hào)： C 94

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.06.19

Research on modeling and solution of complex product batch production routing optimization based on dynamic cost convolution

YANG Liying¹， YANG Ruiyi²， CUI Xinhao²， ZHANG Siyue²， CHEN Lian³， XIAO Yiyong^2，*

（1. National Key Laboratory of Particle Transport and Separation Technology， Research Institute of Physical and Chemical Engineering of Nuclear Industry， Tianjin 300180， China;

2. School of Reliability and Systems Engineering， Beihang University， Beijing 100191， China;

3. The 714 Research Institute of China State Shipbuilding Corporation Limited， Beijing 100101， China）

Abstract： Equipment products with complex process routes often have decision variables in their production system design that are coupled and affect with each other， affecting the final batch production cost of the product and forming a complex combinatorial optimization problem. In this regard， a complex product batch production routing optimization model based on dynamic cost convolution is proposed. The proposed model considers that there may be multiple production design options at each node of the complex product process routing， and each option corresponds to different production inputs and batch efficiency. The goal is to minimize the batch production cost of the final delivered product and output the production system design and cost convolution routing. At the same time， a mixed integer programming model is established， and by implementing controllable precision linearization on the nonlinear components in the model， the model is transformed into a linear model that can be optimally solved. Finally， small， medium， and large-scale experimental examples are designed for a certain continuous production industry to verify the feasibility， rationality， and solution efficiency of the proposed model.

Keywords： batch production cost; cost convolution; routing optimization; optimization model

0 引 言

生產(chǎn)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)是生產(chǎn)運(yùn)作管理領(lǐng)域的重要研究?jī)?nèi)容，圍繞生產(chǎn)效率、產(chǎn)品質(zhì)量、交付時(shí)間和降低成本等多方面的評(píng)價(jià)目標(biāo)，長(zhǎng)期以來在工業(yè)界和學(xué)術(shù)界開展著廣泛的理論研究和應(yīng)用實(shí)踐。在裝備研制與生產(chǎn)領(lǐng)域，生產(chǎn)成本是產(chǎn)品壽命周期費(fèi)用的重要組成部分，也是產(chǎn)品經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容。當(dāng)某新研產(chǎn)品完成設(shè)計(jì)定型進(jìn)入批產(chǎn)階段后，批產(chǎn)成本就成為生產(chǎn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一項(xiàng)重要優(yōu)化目標(biāo)，也是評(píng)價(jià)生產(chǎn)系統(tǒng)優(yōu)劣性的重要指標(biāo)。

產(chǎn)品的批產(chǎn)成本受到諸多因素的影響，例如生產(chǎn)批量計(jì)劃、供應(yīng)鏈管理、生產(chǎn)設(shè)施選址、生產(chǎn)設(shè)備選型、車間布局優(yōu)化、設(shè)備維修保障策略，以及生產(chǎn)工藝流程設(shè)計(jì)等。如何集成這些因素進(jìn)行綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)，以最大程度地降低產(chǎn)品批產(chǎn)成本，已經(jīng)成為生產(chǎn)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的主要內(nèi)容。不同行業(yè)產(chǎn)品的批產(chǎn)成本影響因素通常具有較大的差異性，因此通過研究生產(chǎn)系統(tǒng)的特點(diǎn)，進(jìn)而有針對(duì)性地開展生產(chǎn)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)，已成為當(dāng)前批產(chǎn)成本優(yōu)化的一個(gè)研究熱點(diǎn)方向。

多級(jí)經(jīng)濟(jì)批量問題是生產(chǎn)批量?jī)?yōu)化方面的典型問題^［1］。該問題以批產(chǎn)成本為優(yōu)化目標(biāo)，研究核心企業(yè)與多級(jí)供應(yīng)商之間進(jìn)行集成優(yōu)化的生產(chǎn)經(jīng)濟(jì)批量模型及求解算法^［2］。文獻(xiàn)［3］研究了帶約束的經(jīng)濟(jì)批量問題及動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法。文獻(xiàn)［4-5］研究了經(jīng)濟(jì)批量與學(xué)習(xí)效應(yīng)之間的影響關(guān)系。文獻(xiàn)［6］研究了單元生產(chǎn)中研制訂單和批產(chǎn)訂單的混合調(diào)度問題，考慮了隨機(jī)事件的動(dòng)態(tài)調(diào)度算法。文獻(xiàn)［7］從降本增效、提升產(chǎn)業(yè)化能力方面對(duì)武器平臺(tái)電子產(chǎn)品的批量化生產(chǎn)過程進(jìn)行探討。文獻(xiàn)［8］研究了針對(duì)制造業(yè)生產(chǎn)車間多品種、多階段生產(chǎn)問題的生產(chǎn)邏輯模型和優(yōu)化方案。文獻(xiàn)［9］對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了系統(tǒng)性綜述。

生產(chǎn)線優(yōu)化設(shè)計(jì)也是現(xiàn)有文獻(xiàn)研究批產(chǎn)成本優(yōu)化的一個(gè)重要方面。文獻(xiàn)［10］研究了面向生產(chǎn)快速反應(yīng)、高效作業(yè)和低成本綜合目標(biāo)的復(fù)雜電子產(chǎn)品柔性生產(chǎn)線建設(shè)的優(yōu)化問題。文獻(xiàn)［11］研究了批產(chǎn)制造項(xiàng)目的進(jìn)度管理，采用啟發(fā)式算法基于資源重新分配優(yōu)化了關(guān)鍵生產(chǎn)鏈問題。文獻(xiàn)［12］研究了低成本批產(chǎn)商業(yè)通信衛(wèi)星的任務(wù)特點(diǎn)和設(shè)計(jì)要求，提出了面向批生產(chǎn)低成本衛(wèi)星的元器件保障模式。在生產(chǎn)線流程優(yōu)化方面，日本的單元式生產(chǎn)被認(rèn)為是傳統(tǒng)福特流水生產(chǎn)線模式的一種新的替代，在降低生產(chǎn)成本和提升生產(chǎn)效率方面有顯著優(yōu)勢(shì)^［13-15］。

文獻(xiàn)［16］研究了生產(chǎn)設(shè)施布局問題以及動(dòng)態(tài)設(shè)施布局問題^［17］，提出了在考慮外部需求變化的情況下，如何動(dòng)態(tài)調(diào)整生產(chǎn)設(shè)施布局與工藝路線流程，以降低產(chǎn)品批產(chǎn)成本為目標(biāo)建立優(yōu)化模型。文獻(xiàn)［18］研究了工廠設(shè)施的連續(xù)選址問題，以降低運(yùn)輸成本為優(yōu)化目標(biāo)，為之建立了混合整數(shù)規(guī)劃模型。文獻(xiàn)［19］研究了面向利潤(rùn)最大化的批量生產(chǎn)計(jì)劃的非陣列排序優(yōu)化模型。文獻(xiàn)［20］研究了考慮產(chǎn)能擴(kuò)張的生產(chǎn)組合計(jì)劃優(yōu)化問題。

對(duì)于串行生產(chǎn)系統(tǒng)，由設(shè)備故障引發(fā)的生產(chǎn)系統(tǒng)暫停對(duì)生產(chǎn)效率有較大影響，因此設(shè)備維修策略是生產(chǎn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容^［21-22］。其中，文獻(xiàn)［21］提出了帶緩沖區(qū)的串行生產(chǎn)系統(tǒng)預(yù)防性維護(hù)決策優(yōu)化模型及啟發(fā)式求解算法，文獻(xiàn)［22］提出了一種面向串聯(lián)生產(chǎn)系統(tǒng)設(shè)備維護(hù)的考慮在線決策與緩沖分配的聯(lián)合優(yōu)化模型。文獻(xiàn)［23］提出了設(shè)備狀態(tài)與預(yù)防性維護(hù)周期相結(jié)合的預(yù)防維護(hù)策略，以單位時(shí)間總質(zhì)量成本最小化為目標(biāo)建立優(yōu)化模型。相關(guān)的綜述可參考文獻(xiàn)［23］，該文獻(xiàn)分析了生產(chǎn)系統(tǒng)中設(shè)備維修管理、統(tǒng)計(jì)過程控制及經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量決策的相互影響和作用機(jī)制，對(duì)相關(guān)應(yīng)用問題研究現(xiàn)狀進(jìn)行了梳理和分析。

復(fù)雜產(chǎn)品批產(chǎn)成本優(yōu)化領(lǐng)域還有一個(gè)被稱之為組裝路徑優(yōu)化問題（assembly routing problem， ARP）的經(jīng)典問題^［24-26］。ARP考慮了在復(fù)雜產(chǎn)品具有多層零件結(jié)構(gòu)、每種零件有多個(gè)供應(yīng)商、每個(gè)供應(yīng)商有多個(gè)供應(yīng)地點(diǎn)/倉(cāng)庫(kù)的場(chǎng)景下，如何優(yōu)化物流供應(yīng)路徑，在滿足多周期客戶交付要求的前提下實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)成本最小化。當(dāng)ARP向后延伸到考慮多客戶的交貨地點(diǎn)和緩存?zhèn)}庫(kù)并考慮終端產(chǎn)品運(yùn)輸路徑而優(yōu)化生產(chǎn)批量時(shí)，就轉(zhuǎn)化為另一種形式的生產(chǎn)路徑優(yōu)化問題（production routing problem， PRP）^［27-30］、倉(cāng)儲(chǔ)路徑優(yōu)化問題（inventory routing problem， IRP）^［31］，以及生產(chǎn)與分運(yùn)集成調(diào)度（integrated production and distribution scheduling， IPDS）問題^［32-33］。

現(xiàn)有文獻(xiàn)中還包括有較多的針對(duì)具體行業(yè)的生產(chǎn)系統(tǒng)優(yōu)化案例研究，包括制氫行業(yè)的生產(chǎn)路徑優(yōu)化問題^［34］，以及從成本、碳排放和風(fēng)險(xiǎn)等角度建立的制氫供應(yīng)鏈多目標(biāo)優(yōu)化模型^［35］和相關(guān)綜述文獻(xiàn)（文獻(xiàn)［36］）。文獻(xiàn)［37］研究了農(nóng)業(yè)生物行業(yè)的供應(yīng)鏈優(yōu)化模型。文獻(xiàn)［38］從生產(chǎn)規(guī)模、集成度、運(yùn)輸和供應(yīng)鏈配置等方面，研究了生物燃料生產(chǎn)行業(yè)的成本優(yōu)化問題。文獻(xiàn)［39］從產(chǎn)量、成本、能源等7個(gè)角度，研究了食品供應(yīng)鏈的多目標(biāo)優(yōu)化模型。

上述文獻(xiàn)關(guān)于批產(chǎn)成本優(yōu)化的研究主要集中針對(duì)典型問題模型的局部區(qū)域，如生產(chǎn)經(jīng)濟(jì)批量、工序優(yōu)化、設(shè)施布局等。關(guān)于如何從生產(chǎn)系統(tǒng)整體設(shè)計(jì)角度優(yōu)化產(chǎn)品批產(chǎn)成本的相關(guān)理論模型研究還比較少，還缺乏面向復(fù)雜產(chǎn)品全生產(chǎn)過程和生產(chǎn)系統(tǒng)批產(chǎn)成本的優(yōu)化模型。對(duì)生產(chǎn)線的優(yōu)化研究目前還主要針對(duì)單一生產(chǎn)線，較少有針對(duì)多生產(chǎn)線耦合而組成的復(fù)雜生產(chǎn)系統(tǒng)的優(yōu)化研究。

本文根據(jù)實(shí)際工程需要，提煉出了面向生產(chǎn)系統(tǒng)整體優(yōu)化的批產(chǎn)成本優(yōu)化問題，建立了一種基于動(dòng)態(tài)成本卷積的產(chǎn)品批產(chǎn)路徑優(yōu)化模型。該模型考慮了產(chǎn)品批產(chǎn)過程中的重復(fù)性直接投入成本和生產(chǎn)系統(tǒng)維修消耗，以及非重復(fù)性的成本投入，如研發(fā)投入、生產(chǎn)線建設(shè)等各種一般性的成本要素，為具有復(fù)雜生產(chǎn)工藝路線的產(chǎn)品批產(chǎn)提供最優(yōu)化的成本卷積路徑。所提出的優(yōu)化模型采用了線性化設(shè)計(jì)技術(shù)，可應(yīng)用商業(yè)求解器（如Cplex，Gurobi等）進(jìn)行直接求解。對(duì)某連續(xù)生產(chǎn)行業(yè)的模擬算例表明，對(duì)于中小規(guī)模問題，該模型可在1 h計(jì)算時(shí)間內(nèi)獲得最優(yōu)解。對(duì)于大規(guī)模問題，可在可接受時(shí)間內(nèi)獲得次優(yōu)可行解。

1 基于制程的成本動(dòng)態(tài)卷積模型

1.1 直接生產(chǎn)成本

生產(chǎn)制程即生產(chǎn)制造過程，是指通過使用和消耗生產(chǎn)資源，如人工、設(shè)備、能源、輔料、外部產(chǎn)品或服務(wù)等，將輸入原材料或半成品轉(zhuǎn)換為輸出產(chǎn)品的一組有序過程，也稱為生產(chǎn)線，例如：半導(dǎo)體生產(chǎn)過程、精密件加工過程、成品組裝過程，以及專有生產(chǎn)服務(wù)支持（如特種搬運(yùn)、激光調(diào)制）等。圖1描繪了一個(gè)輸出某種產(chǎn)品或服務(wù)的生產(chǎn)制程概念模型。

生產(chǎn)系統(tǒng)往往包含多條生產(chǎn)制程，共同組成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的生產(chǎn)制程關(guān)系模型，如圖2所示。其中，制程3分別領(lǐng)用制程1和制程2的產(chǎn)品1和產(chǎn)品2，輸出產(chǎn)品3，然后被制程4領(lǐng)用，輸出產(chǎn)品4，再與生產(chǎn)制程5輸出的產(chǎn)品5一起被生產(chǎn)制程6領(lǐng)用，最后輸出終端產(chǎn)品6。

以W表示生產(chǎn)制程的集合，O表示生產(chǎn)制程輸出產(chǎn)品的集合，p_ij表示制程i輸出產(chǎn)品j的每批次產(chǎn)量，s_ij為制程i對(duì)產(chǎn)品j的每批次用量，β_ij為生產(chǎn)制程i的產(chǎn)出產(chǎn)品j所占成本比例，其中i∈W， j∈O。以R表示制造資源集合，如人工、設(shè)備、外購(gòu)材料、能源等，q_ir表示生產(chǎn)制程i對(duì)制造資源r的每批次消耗量，v_r表示制造資源r的成本單價(jià)，其中i∈W， r∈R。以u(píng)_ij表示生產(chǎn)制程i生產(chǎn)產(chǎn)品j的單位成本，z_i表示生產(chǎn)制程i的單批次成本，那么，對(duì)每一個(gè)生產(chǎn)制程i，有如下成本卷積表達(dá)式：

z_i=∑j∈Os_ij·u_ij+∑r∈Rq_ir·v_r，?i∈W

p_ij·u_ij=β_ij·z_i，?i∈W; j∈O（1）

1.2 生產(chǎn)設(shè)備維修成本

（1） 預(yù)防性維修費(fèi)用

預(yù)防性維修是為了確保生產(chǎn)制程系統(tǒng)保持設(shè)計(jì)功能和性能，以及防止故障發(fā)生而采取的周期性檢查、潤(rùn)滑、備件更換等措施，例如各種小修、定檢、中修、大修等。預(yù)防性維修活動(dòng)產(chǎn)生的費(fèi)用稱為預(yù)防性維修費(fèi)用。預(yù)防性維修是計(jì)劃性的，其費(fèi)用可以進(jìn)行預(yù)先估算。

預(yù)防性維修費(fèi)用分析如下：令W表示生產(chǎn)系統(tǒng)的生產(chǎn)制程集合;以F_i表示對(duì)生產(chǎn)制程i的預(yù)防性維修項(xiàng)目集合，l_i表示生產(chǎn)制程i的單批次生產(chǎn)時(shí)間，其中i∈W;以h_ik表示預(yù)防性維修項(xiàng)目的工作時(shí)間間隔，h′_ik表示預(yù)防性維修項(xiàng)目的日歷時(shí)間間隔，其中i∈W， k∈F_i;以c_ik表示單次預(yù)防性維修活動(dòng)的費(fèi)用，其中i∈W， k∈F_i。在給定的計(jì)劃時(shí)間T內(nèi)，對(duì)于生產(chǎn)制程i，若其生產(chǎn)批次數(shù)為x_i，那么所產(chǎn)生的預(yù)防性維修費(fèi)用為

c′=∑i∈W∑k∈F_imaxl_ix_ih_ik，Th′_ikc_ik（2）

式中：max函數(shù)表示按先到為主原則，取按日歷時(shí)間和按工作時(shí)間計(jì)算所得的大者為實(shí)際維修次數(shù)。通常認(rèn)為日歷時(shí)間間隔h′_ik遠(yuǎn)大于工作時(shí)間間隔h′_ik，或者設(shè)備被共享使用時(shí)，維修次數(shù)主要按工作時(shí)間計(jì)算。因此，第i生產(chǎn)制程的預(yù)防性維修費(fèi)用估算式可簡(jiǎn)寫為

c′=∑i∈W∑k∈F_il_ix_ih_ikc_ik（3）

（2） 故障性維修費(fèi)用

故障性維修是指生產(chǎn)系統(tǒng)發(fā)生故障后或者出現(xiàn)故障征兆等情況下進(jìn)行的非計(jì)劃性維修。故障性維修活動(dòng)產(chǎn)生的費(fèi)用稱為故障性維修費(fèi)用。故障性維修是非計(jì)劃性的，事先未必知道在什么時(shí)候要發(fā)生何種維修活動(dòng)。但根據(jù)生產(chǎn)設(shè)備的可靠性指標(biāo)以及故障模式分布規(guī)律，也可以估算出給定期間的故障性維修期望費(fèi)用。故障性維修費(fèi)用分析如下：以G_i表示生產(chǎn)制程的設(shè)備集合，以n_ik表示設(shè)備的安裝數(shù)量，其中i∈W， k∈G_i;以θ_ik表示設(shè)備的可靠性指標(biāo)平均故障間隔時(shí)間（mean time between failure，MTBF），i∈W， k∈G_i;以E_ik表示設(shè)備的故障模式集合，以λ_ikj表示故障模式的占比率，以c′_ikj表示設(shè)備發(fā)生故障的修復(fù)費(fèi)用。其中，i∈W， k∈G_i， j∈E_ik。

c″=∑i∈W∑k∈F_ix_il_in_ikθ_ikc′_ik（4）

綜上，生產(chǎn)系統(tǒng)維修費(fèi)用可表示為

c=c′+c″=∑i∈W∑k∈F_ix_il_in_ikθ_ikc′_ik+∑i∈W∑k∈F_il_ix_ih_ikc_ik=

∑i∈Wx_i∑k∈F_il_in_ikθ_ikc′_ik+∑k∈F_il_ih_ikc_ik（5）

令c_i表示生產(chǎn)制程i的一批次生產(chǎn)對(duì)應(yīng)的平均生產(chǎn)系統(tǒng)維修成本，表示為

c_i=∑k∈F_il_in_ikθ_ikc′_ik+∑k∈F_il_ih_ikc_ik（6）

1.3 非重復(fù)性成本分?jǐn)?/p>

在生產(chǎn)成本中考慮非重復(fù)性投入成本，如產(chǎn)品前期研發(fā)費(fèi)用、生產(chǎn)系統(tǒng)建設(shè)費(fèi)用、技改費(fèi)用等。以b_i表示生產(chǎn)制程i的非重復(fù)性成本，按總生產(chǎn)批次數(shù)均攤?cè)胫瞥躺a(chǎn)成本，即b_i/x_i。其中，x_i是制程i的生產(chǎn)批次數(shù)。這樣，在納入非重復(fù)成本均攤和生產(chǎn)維修費(fèi)用的情況下，式（1）成本卷積公式改寫為

z_i=∑j∈Os_ij·u_ij+∑r∈Rq_ir·v_r+c_i+b_i/x_i，?i∈W

p_ij·u_ij=β_ij·z_i， ?i∈W;j∈O（7）

2 基于動(dòng)態(tài)成本卷積的批產(chǎn)路徑優(yōu)化模型

2.1 符號(hào)定義

（1） 模型參數(shù)

W：生產(chǎn)制程集合，i∈W， i′∈W

O：自制產(chǎn)品（或服務(wù)）集合，j∈O

R：生產(chǎn)資源集合，如人工、設(shè)備、材料、能源等，r∈R

p_ij：制程i產(chǎn)出產(chǎn)品j的每批次產(chǎn)量

p′_ij：0/1參數(shù)，表示制程i是否產(chǎn)出產(chǎn)品j

β_ij：制程i產(chǎn)出產(chǎn)品j的成本占比，即當(dāng)產(chǎn)出多種產(chǎn)品時(shí)不同產(chǎn)品之間的成本占比，有∑j∈Oβ_ij=1且β_ij≤p′_ij，M為一個(gè)大數(shù)

q_ir：制程i每批次對(duì)生產(chǎn)資源r的消耗量

s_ij：制程i每生產(chǎn)批次領(lǐng)用產(chǎn)品j的數(shù)量

s′_ij：0/1參數(shù)，表示制程i是否領(lǐng)用產(chǎn)品j

v_r：生產(chǎn)資源r的成本單價(jià)

d_j：產(chǎn)品j的外部需求量

c_i：制程i每批次設(shè)備維修費(fèi)用，見式（6）

b_i：制程的固定費(fèi)用（非重復(fù)性投入的研發(fā)費(fèi)、生產(chǎn)線建設(shè)費(fèi)、技改費(fèi)等）

M：一個(gè)大數(shù)

（2） 決策變量

x′_i：0/1變量，表示制程i是否啟用

π_ii′j：0/1變量，表示成本卷積路徑，即制程i是否領(lǐng)用制程i′產(chǎn)出的產(chǎn)品j

θ_ii′j：非負(fù)連續(xù)變量，表示卷積的成本值，即制程i領(lǐng)用制程i′產(chǎn)出產(chǎn)品j的成本

x_i：非負(fù)整數(shù)變量，表示制程i的生產(chǎn)批次數(shù)

z_i：非負(fù)連續(xù)變量，表示制程i的單批次成本

u_ij：非負(fù)連續(xù)變量，表示制程i產(chǎn)出產(chǎn)品j的每單位成本

2.2 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型

（1）目標(biāo)函數(shù)

min Total_Cost=∑i∈W∑j∈Od_j·u_ij（8）

（2）約束條件

設(shè)定x與x′的關(guān)系：

x′_i≤x_i，?i∈W

x_i≤Mx′_i，?i∈W （9）

（10）

設(shè)定各制程的生產(chǎn)批次數(shù)剛好滿足需求：

∑i∈Wx_ip_ij≥∑i∈Wx_is_ij+d_j，?j∈O

∑i∈W（x_i－1）p_ij≤∑i∈Wx_is_ij+d_j，?j∈O （11）

（12）

設(shè)定產(chǎn)品的成本卷積路徑：

π_ii′j≤s′_ijp′_ij（x_i+x′_i）/2，?i∈W;i′∈W;j∈O

∑i′∈Wπ_ii′j≥s′_ijx′_i，?i∈W；j∈O （13）

（14）

優(yōu)化產(chǎn)品的卷積成本：

θ_ii′j≤Mπ_ii′j， ?i∈W;i′∈W;j∈O

θ_ii′j≥s_iju_ij－M（1－π_ii′j）， ?i∈W;i′∈W;j∈O

θ_ii′j≤s_iju_ij+M（1－π_ii′j）， ?i∈W;i′∈W;j∈O

u_ij≤Mp′_ijx′_ij， ?i∈W;j∈O （15）

（16）

（17）

（18）

計(jì)算產(chǎn)品的批次成本：

z_i≥∑i′∈W∑j∈Oθ_ii′j+∑r∈Rq_irv_r+c_i+b_ix_i－

M（1－x′_i），?i∈W

z_i≤∑i′∈W∑j∈Oθ_ii′j+∑r∈Rq_irv_r+c_i+b_ix_i+

M（1－x′_i），?i∈W

（19）

（20）

計(jì)算產(chǎn)品的單位批產(chǎn)成本：

p_iju_ij=β_ijz_i，?i∈W;j∈O

z_i≤Mx′_i，?i∈W（21）

（22）

定義變量的值域：

x_i為非負(fù)整數(shù)，z_i≥0;u_ij≥0

π_ii′j，x′_i∈{0，1};θ_ii′j≥0，?i，i′∈W;j∈O（23）

上述模型中，目標(biāo)函數(shù)為滿足外部需求的產(chǎn)品總成本最小化。約束式（9）和式（10）確定了變量x_i和x_′i之間的關(guān)系;約束式（11）和式（12）確保了生產(chǎn)制程之間的產(chǎn)品輸出量滿足需求量，以及同時(shí)滿足外部需求量，其中式（12）限定了產(chǎn)量批次上限;約束式（12）和式（13）確保了產(chǎn)品成本卷積路徑的合理性，其中式（13）確保了制程i能夠領(lǐng)用制程i′產(chǎn)出的產(chǎn)品j的條件是：s′_ij=1且p′_ij=1且x_i+x′_i=2，式（14）確保了產(chǎn)品領(lǐng)用路徑關(guān)系必須得到滿足;約束式（14）～式（18）基于成本卷積路徑變量π_ii′j確定了成本卷積的數(shù)量關(guān)系θ_ii′j，其中式（14）設(shè)定了若不存在卷積路徑（π_ii′j=0），則成本卷積數(shù)量θ_ii′必須為0，式（15）和式（16）用大數(shù)條件約束法設(shè)定了當(dāng)π_ii′j=0時(shí)，θ_ii′必須取值s_iju_ij，即領(lǐng)用的產(chǎn)品數(shù)量乘以產(chǎn)品的單位成本，式（17）設(shè)定了當(dāng)制程i不產(chǎn)出產(chǎn)品j（即p′_ij=0）或生產(chǎn)制程i未啟用（即x′_i=0）時(shí)，制程i產(chǎn)出的產(chǎn)品j的單位成本為0（即u_ij=0）;約束式（19）和式（20）設(shè)定了制程i的單批次成本z_i的計(jì)算方法，即“所領(lǐng)用的其他制程產(chǎn)出產(chǎn)品的成本+本制程的生產(chǎn)資源消耗成本+所產(chǎn)生的生產(chǎn)設(shè)備維修成本c_i+固定費(fèi)用的分?jǐn)偝杀綛_i/x_i”，且以大數(shù)條件約束法確保了該約束式僅當(dāng)x′_i=1時(shí)有效;約束式（21）和式（22）表示當(dāng)制程i產(chǎn)出多種產(chǎn)品時(shí)，產(chǎn)品之間的成本分?jǐn)偙壤凑战o定占比β_ij分?jǐn)?，式?2）表示當(dāng)制程i未啟用時(shí)，z_i為0;約束式（23）定義了變量的值域。

2.3 模型求解

上述模型中，約束式（19）和式（20）中存在非線性成分，即B_i/x_i。下面利用割線法將該非線性成分進(jìn)行線性化近似化。對(duì)一般性的曲線方程 y=1/x，割線法線性化是指以一組割線y=K_lx+B_l（l=1，2，…，η）將曲線 y=1/x代替為線性化方法：

y≥K_lx+B_l，?l=1，2，…，η（24）

式中：K_l和B_l分別為第l條割線的斜率和截距;η為割線組的數(shù)量，如圖3（a）所示。

對(duì)于其中的任意一條割線（如第l條割線），令其誤差率定義為ε（x）=（y″－y′）/y′，如圖3（b）所示?？梢酝茖?dǎo)得到，為保證每段割線的最大誤差率不超過給定值ε，所需要的最少割線數(shù)量為

η=ln x_max－ln x_minln μ（25）

式中：［x_min， x_max］是x的取值范圍；μ=1+2ε+2ε+ε²，ε是最大誤差率閾值。同樣，可以得到割線組的直線斜率和截距的公式如下：

K_l=－1μ^2l－1·x²_min

B_l=μ+1μ^l·x_min，?l=1，2，…，η（26）

按給定參數(shù)要求預(yù)先計(jì)算割線組斜率和截距的算法偽代碼如算法1所示。

新的線性優(yōu)化模型的完整表達(dá)式由式（8）～式（18）、式（21）～式（23）、式（28）～式（31）組成。該線性優(yōu)化模型可由通用的商業(yè)求解器（如Cplex）直接求解。

3 模型計(jì)算實(shí)驗(yàn)

本節(jié)設(shè)計(jì)小中大規(guī)模算例，采用AMPL（a mathematical programming language， AMPL）語言對(duì)模型進(jìn)行了代碼編寫，在Linux系統(tǒng)的AMPL/Cplex環(huán)境，對(duì)第2節(jié)建立的數(shù)學(xué)模型開展計(jì)算實(shí)驗(yàn)。

3.1 小規(guī)模實(shí)證算例

某企業(yè)研發(fā)出了某產(chǎn)品的新型材料生產(chǎn)工藝，并進(jìn)入了新生產(chǎn)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)階段。如圖4所示，該產(chǎn)品需要經(jīng)歷4個(gè)主要生產(chǎn)階段，形成3種中間產(chǎn)品（產(chǎn)品1、產(chǎn)品2和產(chǎn)品3）以及最終產(chǎn)品——產(chǎn)品5。其中，第1階段產(chǎn)出中間產(chǎn)品“產(chǎn)品1”，第2階段領(lǐng)用“產(chǎn)品1”再加工后產(chǎn)出中間產(chǎn)品“產(chǎn)品2”，第3階段領(lǐng)用“產(chǎn)品2”再加工輸出中間產(chǎn)品“產(chǎn)品3”，第4階段領(lǐng)用“產(chǎn)品3”再加工輸出中間產(chǎn)品“產(chǎn)品4”。為了優(yōu)化生產(chǎn)成本，為第1階段設(shè)計(jì)了2種生產(chǎn)方案，即生產(chǎn)制程1和生產(chǎn)制程2，為第3階段也設(shè)計(jì)了2種生產(chǎn)方案，即生產(chǎn)制程4和生產(chǎn)制程5。其中，生產(chǎn)制程5除了產(chǎn)出“產(chǎn)品3”外，還產(chǎn)出“產(chǎn)品4”（為副產(chǎn)品）。同一種產(chǎn)品的不同生產(chǎn)方案對(duì)應(yīng)著不同的投資成本、生產(chǎn)效率/能力、資源消耗和設(shè)備使用情況等。

圖4中的小規(guī)模算例不失一般性地展示了在生產(chǎn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)階段存在多種候選生產(chǎn)方案的情況下，如何根據(jù)生產(chǎn)方案的特點(diǎn)進(jìn)行批產(chǎn)成本卷積路徑優(yōu)化，在滿足產(chǎn)品交付要求的前提下實(shí)現(xiàn)批產(chǎn)成本優(yōu)化的一般性問題。

將第2.2節(jié)中的優(yōu)化模型用AMPL代碼實(shí)現(xiàn)，建立模型文件ProdCost.mod，如算法2所示。

算法 2 定義模型ProdCost.mod輸入： W，O，R，Nkb，p，p1，beta，q，s，s1，v，d，c，e，K，B，b，M

輸出： Total_Cost

#文件名ProdCost.mod

set W;

#生產(chǎn)制程集合

set O;

#產(chǎn)品（或服務(wù)）集合

set R;

#生產(chǎn)資源集合

param p{W，O};

#制程i是否產(chǎn)出產(chǎn)品j的批次產(chǎn)量

param p1{W，O};

#制程i是否產(chǎn)出產(chǎn)品j

param beta{W，O};

#制程i輸出產(chǎn)品的成本占比

param q{W，R};

#制程i對(duì)資源r的每批次消耗量

param s{W，O};

#制程i對(duì)產(chǎn)品j的批次用量

param s1{W，O};

#制程i對(duì)產(chǎn)品j是否具有領(lǐng)用關(guān)系

param v{R};

#生產(chǎn)資源r的成本單價(jià)param d{O};

#產(chǎn)品j的外部需求量

param c{W};

#制程i的生產(chǎn)資源費(fèi)用

param e{W};

#制程i的維修費(fèi)用

set Nkb;

#線性化的割線集合

param K{Nkb};

#割線的斜率

param B{Nkb};

#割線的截距

param b{W};

#生產(chǎn)制程i的固定費(fèi)用

param M：=99999;

#一個(gè)大數(shù)

var x1{W} binary;

#0/1變量

var x{W}gt;=0 integer; #非負(fù)整數(shù)變量

var z{W}gt;=0;

#非負(fù)變量

var z1{W}gt;=0;

#非負(fù)變量

var u{W，O}gt;=0;

#非負(fù)變量

var pi{W，W，O} binary;

#0/1變量

var cita{W，W，O}gt;=0;

#非負(fù)變量

minimize Total_Cost： sum{i in W， j in O}（d［j］*u［i，j］）;

subject to Con1a{i in W}： x1［i］lt;=x［i］;

subject to Con1b{i in W}： M*x1［i］gt;=x［i］;

subject to Con2a{j in O}：

sum{i in W}x［i］*p［i，j］gt;=sum{i in W}x［i］*s［i，j］+

d［j］;

subject to Con2b{j in O}：

sum{i in W}（x［i］-1）*p［i，j］lt;=sum{i in W}x［i］*s［i，j］+d［j］;

subject to Con3a{i in W， i1 in W， j in O}：

pi［i，i1，j］lt;=0.5*s1［i，j］*p1［i1，j］*（x1［i1］+x1［i］）;

subject to Con3b{i in W， j in O}：

sum{i1 in W}pi［i，i1，j］gt;=s1［i，j］*x1［i］;

subject to Con4a{i in W， i1 in W， j in O}：

cita［i，i1，j］lt;=M*pi［i，i1，j］;

subject to Con4b{i in W， i1 in W， j in O： ilt;gt;i1}：

cita［i，i1，j］gt;=s［i，j］*u［i1，j］-M*（1-pi［i，i1，j］）;

subject to Con4c{i in W， i1 in W， j in O： ilt;gt;i1}：

cita［i，i1，j］lt;=s［i，j］*u［i1，j］+M*（1-pi［i，i1，j］）;

subject to Con4d{i in W， j in O}：

u［i，j］lt;=M*x1［i］*p1［i，j］;

subject to Con5a{i in W}：

z［i］gt;=sum{i1 in W， j in O}cita［i，i1，j］+c［i］+e［i］+z1［i］-M*（1-x1［i］）;

subject to Con5b{i in W}：

z［i］lt;=sum{i1 in W， j in O}cita［i，i1，j］+c［i］+e［i］+z1［i］+M*（1-x1［i］）;

subject to Con5d{i in W}：

z［i］lt;=M*x1［i］;

subject to Con6{i in W， j in O}：

p［i，j］*u［i，j］=beta［i，j］*z［i］;

subject to Con7a{i in W， k in Nkb}： z1［i］gt;=b［i］*K［k］*x［i］+b［i］*B［k］-M*（1-x1［i］）;

subject to Con7b{i in W}：

z1［i］lt;=M*x1［i］;

令算法2輸入中各生產(chǎn)制程的批產(chǎn)成本數(shù)據(jù)如表1所示，生產(chǎn)制程與產(chǎn)品之間的領(lǐng)用數(shù)量、產(chǎn)出數(shù)量和成本占比如表2所示，并令產(chǎn)品3和產(chǎn)品5的外部需求量分別為110和120，其他產(chǎn)品的外部需求量為0。這樣，準(zhǔn)備AMPL優(yōu)化模型所需數(shù)據(jù)文件Instance4x2.dat，內(nèi)容如算法3所示。

編寫AMPL執(zhí)行腳本程序，調(diào)研Cplex求解算例及輸出，如表3所示。通過觀測(cè)數(shù)據(jù)可知，生產(chǎn)“產(chǎn)品1”啟用了生產(chǎn)制程2，而生產(chǎn)“產(chǎn)品3”啟用了生產(chǎn)制程4，獲得最低交付成本（目標(biāo)函數(shù)）為806.525。對(duì)生產(chǎn)制程基本數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整后重新計(jì)算，可以獲得與之相應(yīng)的最優(yōu)結(jié)果，表明模型達(dá)到了設(shè)計(jì)的預(yù)期效果。

3.2 大規(guī)模求解實(shí)驗(yàn)

下面通過隨機(jī)構(gòu)造中、大規(guī)模算例驗(yàn)證所提出模型的求解效率。構(gòu)造較復(fù)雜的生產(chǎn)系統(tǒng)，令產(chǎn)品生產(chǎn)過程包含n個(gè)生產(chǎn)階段，對(duì)應(yīng)n個(gè)中間產(chǎn)品，每個(gè)中間產(chǎn)品設(shè)計(jì)有m個(gè)不同的候選生產(chǎn)制程方案，問題規(guī)模為n與m的組合，表示為 n×m。設(shè)置計(jì)算時(shí)間上限為3 600 s。表4給出了計(jì)算結(jié)果，其中黑體數(shù)據(jù)為最優(yōu)值，R.Gap表示計(jì)算終止時(shí)，當(dāng)前最好解（上界）與最大松弛解（下界）之間的相對(duì)差距值?？梢?，問題組10×2、10×3、10×5、20×2、20×3和30×2的問題都獲得了最優(yōu)解。對(duì)于問題組20×5、30×3和30×5，本次計(jì)算在給定的時(shí)間（3 600 s）內(nèi)未能獲得最優(yōu)解，僅獲得了當(dāng)前的最好上界值為問題的近似優(yōu)化解。這表明增大問題規(guī)模參數(shù)n和m都對(duì)求解效率有顯著的正相關(guān)影響。計(jì)算結(jié)果表明，所提出的優(yōu)化模型具有較高的求解效率，可在可接受時(shí)間內(nèi)求解具有10至20個(gè)生產(chǎn)制程的中規(guī)模產(chǎn)品批產(chǎn)成本卷積路徑優(yōu)化問題，且獲得了最優(yōu)解（因?yàn)镽.Gap值為0）。對(duì)于具有30個(gè)生產(chǎn)制程的大規(guī)模優(yōu)化問題，則需要較長(zhǎng)求解計(jì)算時(shí)間。

4 結(jié)束語

本文分析了產(chǎn)品規(guī)模生產(chǎn)階段的主要重復(fù)性生產(chǎn)成本和非重復(fù)成本，提出了產(chǎn)品批產(chǎn)成本卷積路徑優(yōu)化的基本問題，給出了該問題的一種混合整數(shù)規(guī)劃線性模型。該模型可支持復(fù)雜產(chǎn)品的工藝路線優(yōu)化設(shè)計(jì)，在多種復(fù)雜的、可行的工藝路線方案中，選擇出最優(yōu)的批產(chǎn)成本卷積路徑，對(duì)于降低產(chǎn)品批產(chǎn)成本有決策支撐作用。所提出的優(yōu)化模型可應(yīng)用于商業(yè)求解軟件直接求解，對(duì)于生產(chǎn)制程規(guī)模在10～20之間的中規(guī)模算例，可以在較短的計(jì)算時(shí)間（10 min）內(nèi)獲得最優(yōu)解。對(duì)于超過30個(gè)生產(chǎn)制程的大規(guī)模問題，可在較長(zhǎng)計(jì)算時(shí)間（約1 h）內(nèi)獲得最優(yōu)解或接近最優(yōu)解。該問題的未來研究方向有兩點(diǎn)：① 對(duì)于更大規(guī)模算例的快速求解問題，可設(shè)計(jì)相應(yīng)的求解效率更高的啟發(fā)式算法，以獲取給定時(shí)間內(nèi)的可接受次優(yōu)解;② 結(jié)合不同行業(yè)的工業(yè)應(yīng)用，考慮納入更多的實(shí)際要素，如考慮需求的不確定性、成本時(shí)間屬性，以及考慮產(chǎn)品生產(chǎn)中的學(xué)習(xí)效應(yīng)等。

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作者簡(jiǎn)介

楊麗穎（1982—），女，高級(jí)工程師，碩士，主要研究方向?yàn)槌杀竟こ獭?/p>

楊銳意（1999—），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)榭煽啃韵到y(tǒng)工程。

崔新豪（2000—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜系統(tǒng)建模與優(yōu)化。

張思悅（1996—），女，博士研究生，主要研究方向?yàn)槲锪骶W(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)優(yōu)化。

陳 練（1980—），男，高級(jí)工程師，碩士，主要研究方向?yàn)榻?jīng)濟(jì)性分析。

肖依永（1973—），男，副教授，博士研究生導(dǎo)師，博士，主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)優(yōu)化理論與經(jīng)濟(jì)性工程。