摘 要：體系各要素（系統(tǒng)）連接的或然性決定了其結(jié)構(gòu)框架、聯(lián)系邏輯和功能表現(xiàn)的復雜性。復雜體系可靠性結(jié)構(gòu)分析與建模是解構(gòu)表征其復雜特性的重要手段，是學術(shù)界長期以來的研究熱點。然而，有關(guān)復雜體系可靠性結(jié)構(gòu)、功能邏輯、計算框架的構(gòu)建問題，卻尚未有較好的解決方案。針對該問題，運用結(jié)構(gòu)函數(shù)理論和圖示評審技術(shù)（graphical evaluation and review technique， GERT） 建立了一種新的復雜體系可靠性結(jié)構(gòu)分析框架與建模方法。首先，基于“和聯(lián)”思想建構(gòu)其基于使命與任務(wù)生態(tài)聯(lián)盟、行為演化的可靠性“和聯(lián)”結(jié)構(gòu)框架;其次，基于復雜體系要素的或然性邏輯聯(lián)結(jié)關(guān)系，建立其可靠性結(jié)構(gòu)GERT網(wǎng)絡(luò)模型;最后，運用GERT解析算法原理，建立其可靠度計算模型，并考慮計算的復雜性，為該類問題提供GERT仿真（GERT simulation， GERTS）計算解決方案。以一反艦作戰(zhàn)偵察復雜體系進行案例研究，結(jié)果表明所提方法有效且適應(yīng)性強。

關(guān)鍵詞： 復雜體系; 可靠性分析; 結(jié)構(gòu)函數(shù); 圖示評審技術(shù)

中圖分類號： N 945 文獻標志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.10.20

GERT network technology for reliability structure analysis and modeling of

complex system-of-systems

FANG Zhigeng HUA Chenchen CHEN Ding ZHANG Jingru ZHANG Yadong WU Honghua¹

（1. College of Economics and Management， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 211106， China;

2. Shanghai Electro-Mechanical Engineering Institute， Shanghai 201109， China）

Abstract： The probability of linking elements （systems） of system-of-systems（SoS） determines the complexity of its structure framework， connection logic and function performance. Reliability structure analysis and modeling of complex SoS is an important means to deconstruct and represent its complex characteristics， which has long been concerned by academia. However， there is no good solution to the reliability structure， functional logic and computational framework of complex SoS. To solve this problem， a new analysis framework and modeling method of complex SoS reliability structure is established by using structure function theory and graphical evaluation and review technique （GERT）. Firstly， based on the idea of “plus system”， it constructs its reliability “plus system” structure frame， which is based on the ecological alliance of mission and task and the evolution of behavior. Secondly， the reliability structure GERT network model is established based on the probabilistic logic connection relationship of complex SoS elements. Finally， the GERT analytic algorithm is used to establish the reliability calculation model， and the GERT simulation （GERTS） computation solution is provided for this kind of problem considering the computational complexity. A case study of an anti-ship combat reconnaissance complex SoS shows that the proposed method is effective and adaptable.

Keywords： complex system-of-systems （SoS）; reliability analysis; structure function; graphical evaluation and review technique （GERT）

0 引 言

體系已經(jīng)普遍成為當下大規(guī)模系統(tǒng)存在的重要形態(tài)，是能夠得到進一步涌現(xiàn)性質(zhì)的關(guān)聯(lián)或聯(lián)結(jié)的獨立系統(tǒng)的集合，屬于復雜系統(tǒng)范疇，因此也可稱為“復雜體系”^［1］。Maier^［2］較早提出了體系的關(guān)鍵特性，即組成部分的運行獨立性、管理自主性、地域分布性以及體系的涌現(xiàn)性、演化性，其中組分系統(tǒng)的自主性使得體系具有動態(tài)結(jié)構(gòu)^［3］?，F(xiàn)有的系統(tǒng)建模方法難以有效描述這些體系的復雜特性。軍事、國防與社會體系等均屬于典型的復雜體系，它們的設(shè)計、評價與可靠性分析等迫切需要科學的方法與建模技術(shù)作為理論支撐和技術(shù)指導。因此，對體系、體系可靠性等問題的研究仍需不斷完善和深入，尤其是對于國防、軍事作戰(zhàn)體系來說，保證可靠性更是維持其體系安全性和軍事作戰(zhàn)能力的重要基礎(chǔ)條件。

體系結(jié)構(gòu)是決定體系可靠運行和行為演化的基礎(chǔ)架構(gòu)^［4］，體系結(jié)構(gòu)建模中較為常見的是利用體系結(jié)構(gòu)框架進行建模，目前已有一些發(fā)展成熟的框架，例如美國國防部的DoDAF^［5］、英國國防部的MoDAF等。然而，這種以體系結(jié)構(gòu)框架作為視圖的概念模型本身不具備定量分析能力，需要將其轉(zhuǎn)化為可執(zhí)行的推理與計算模型，例如Petri網(wǎng)^［6］、Agent模型^［7］等來進行仿真和驗證。此外，近年來復雜網(wǎng)絡(luò)方法也成為體系結(jié)構(gòu)建模的主流方法之一。Jin等^［8］采用復雜網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建裝備技術(shù)體系模型;Han等^［9］結(jié)合超網(wǎng)絡(luò)和殺傷鏈理論對空天防御體系展開研究，并提出了體系能力評估方法和體系彈性評價指標。文獻［10］對體系中的系統(tǒng)重要度進行了研究，文獻［11］總結(jié)了體系貢獻率的相關(guān)研究。對于體系整體的分析，除文獻［9］中的彈性外也有許多其他指標和方法，Delecolle等^［3］定義了體系可用性;Zhang等^［12］提出體系生存性;潘星等^［13］建立了裝備體系可靠性、維修性、保障性（reliability-maintainability-supportability， RMS）仿真框架。

在體系可靠性分析中，張喜燕^［14］、Chen等^［15］將DoDAF模型分別轉(zhuǎn)化為基于Agent的可執(zhí)行模型和層次廣義Petri網(wǎng)，并通過仿真實現(xiàn)體系任務(wù)可靠性分析。在結(jié)合建模語言方面，Garro等^［16］從體系架構(gòu)、體系行為、體系仿真的角度利用SysML語言建立模型，定義體系演化規(guī)則和場景，通過分析仿真結(jié)果獲取可靠性參數(shù)。Imamura等^［17］運用面向任務(wù)的mKAOS建模語言建立體系可靠性模型，并做了一定擴展，使其能夠描述系統(tǒng)不可用時的潛在替代方案，但本質(zhì)上仍只能用于定性分析。另外，Tsilipanos等^［18］結(jié)合危害分析和故障樹分析、貝葉斯網(wǎng)絡(luò)對體系可靠性進行分析，并通過探索性仿真對體系演化進行研究。Wang等^［19］結(jié)合最大熵模型和隱馬爾可夫模型，通過分析組件系統(tǒng)歷史數(shù)據(jù)實現(xiàn)體系可靠度預測。

目前，基于復雜體系的可靠性理論研究雖然取得了一定進展，但其理論方法和分析技術(shù)還遠未成熟，尤其是對于其可靠性的基本機理、結(jié)構(gòu)框架與科學理論還缺乏深度認知，仍然存在一定的缺陷。這些缺陷主要表現(xiàn)在3個方面：第一，未能對復雜體系的可靠性結(jié)構(gòu)及其框架進行科學的描述與表征;第二，未能給出復雜體系結(jié)構(gòu)函數(shù)的科學描述框架，尚未建立其可靠性結(jié)構(gòu)函數(shù)模型;第三，未能對復雜體系可靠性的概念進行科學的定義，尚未建立其可靠性科學計算模型。

圖示評審技術(shù)（graphical evaluation and review technique， GERT）^［20］是由Pritsker提出的一種概率型隨機網(wǎng)絡(luò)。自1966年首次提出以來，GERT的構(gòu)模功能不斷拓展。隨著仿真技術(shù)的發(fā)展，形成了GERT仿真（GERT simulation， GERTS）^［21］和具有排隊節(jié)點的排隊GERT（queuing-GERT， Q-GERT）^［22］。陶良彥等^［23］針對大型GERT網(wǎng)絡(luò)解析法求解困難的問題，提出了GERT矩陣法表達及求解。傳統(tǒng)GERT的傳遞參數(shù)為單參量形式，學者們逐漸將其擴展為多參量GERT^［24］、以模糊數(shù)表征的模糊GERT^［25］等，并均給出了相應(yīng)的求解方法，進一步提高了其描述多種不確定信息的能力。在結(jié)構(gòu)上，也從單層GERT拓展為多層耦合GERT^［26］。在以上改進與發(fā)展的基礎(chǔ)上，GERT已經(jīng)在許多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，較為典型的有項目管理^［27］、系統(tǒng)可靠性評估^{［22，28］}、系統(tǒng)效能評估^［29］、體系貢獻率評估^［30］、體系活動決策^［31］等。

因此，本文在深度解析復雜體系的概念、結(jié)構(gòu)與運行機理的條件下，針對性地引入體系的可靠性思想、結(jié)構(gòu)函數(shù)分析方法和GERT網(wǎng)絡(luò)建模技術(shù)，解決了以下3個方面的問題：① 體系可靠性結(jié)構(gòu)框架的科學表征與“和聯(lián)”結(jié)構(gòu)函數(shù)構(gòu)建。運用“和聯(lián)”思想，構(gòu)建體系可靠性“和聯(lián)”結(jié)構(gòu)框架，科學地反映體系結(jié)構(gòu)的生態(tài)聯(lián)盟性與基于使命與任務(wù)的結(jié)構(gòu)演化行為特性;② 建立復雜體系的可靠性結(jié)構(gòu)GERT網(wǎng)絡(luò)模型。依據(jù)復雜體系可靠性結(jié)構(gòu)框架與其要素（系統(tǒng)或裝備等）聯(lián)系邏輯的或然性原理，引入GERT網(wǎng)絡(luò)建模技術(shù)，建立其可靠性結(jié)構(gòu)模型;③ 為復雜體系可靠性計算提供完整的解決方案。由于復雜體系可靠性結(jié)構(gòu)及其要素關(guān)系的復雜性，使得其解析解的求解過程十分復雜，本文引用GERTS仿真技術(shù)，設(shè)計方便實用的仿真計算方案。

1 基于結(jié)構(gòu)函數(shù)的體系可靠性結(jié)構(gòu)建模與描述

1.1 復雜體系基本概念

系統(tǒng)是由相互關(guān)聯(lián)的要素構(gòu)成的整體。而體系則是由系統(tǒng)所構(gòu)成的一個協(xié)同（聯(lián)盟）整體。為了便于問題的討論，這里給出復雜體系定義，見定義1。

定義 1 （復雜體系Ψ）體系泛指一定范圍內(nèi)相關(guān)聯(lián)的事物（系統(tǒng)）按照一定的秩序和內(nèi)部聯(lián)系組合而成的一種相互協(xié)同群體。若體系的可靠性結(jié)構(gòu)邏輯和量值參數(shù)關(guān)系是一種非線性、非確定性的隨機關(guān)系，則稱該體系為復雜體系。

借用系統(tǒng)可靠性的思想與概念，可以給出體系可靠性的概念。體系可靠性主要是指在規(guī)定的條件下、規(guī)定的時間內(nèi)，體系完成規(guī)定功能的能力，一般用可靠度進行表征，見定義2。

定義 2 （體系可靠度）在規(guī)定的條件下、規(guī)定的時間內(nèi)，體系完成規(guī)定功能的概率P_Ψ，可用下式表示：

R_Ψ（t）=P_Ψ（Tgt;t）（1）

式中：P_Ψ（t）表示體系可靠度;T為體系的實際壽命;t表示某一規(guī)定的時間（壽命）。

1.2 復雜體系可靠性結(jié)構(gòu)建模

事實上，體系與系統(tǒng)在拓撲結(jié)構(gòu)上存在著本質(zhì)的差異，由于系統(tǒng)中的要素不具有脫離其系統(tǒng)母體而獨立工作的能力，且系統(tǒng)往往都只有一個最高的整體目標，其各子目標都必須服從于整體。因此，與之對應(yīng)的系統(tǒng)整體拓撲結(jié)構(gòu)應(yīng)是一種基于其整體目標的事先規(guī)定（設(shè)計）的各子目標級聯(lián)結(jié)構(gòu)。然而，復雜體系則是一種基于時間和空間秩序的生態(tài)聯(lián)盟，其最高層的目標也是多樣的、動態(tài)演化的、甚至可能是共生或者對抗的。因此，在一般情況下，復雜體系拓撲結(jié)構(gòu)也應(yīng)是基于這些最高層的多個目標的“和聯(lián)”拓撲結(jié)構(gòu)，且依據(jù)各目標的重要性進行權(quán)重配置，本文主要研究這種結(jié)構(gòu)。

設(shè)體系規(guī)定的功能（任務(wù)）由K個不能互相取代的系統(tǒng)功能（任務(wù)）完成，其第i（i=1，2，…，K）個系統(tǒng)功能（任務(wù)）由相應(yīng)的支路單元（系統(tǒng)）B_i及中心單元（系統(tǒng)）C（一般為體系的指揮控制中心，或者為共用基礎(chǔ)模塊，合稱為第i支路）配合完成。該體系可靠性和聯(lián)結(jié)構(gòu)框架如圖1所示?；诖?，可給出多任務(wù)“和聯(lián)”體系可靠度函數(shù)，見定義3。

定義 3 （多任務(wù)“和聯(lián)”體系可靠度函數(shù)） 圖1中，在規(guī)定的條件下、規(guī)定的時間內(nèi)，具有K個系統(tǒng)功能（任務(wù)）的體系完成其規(guī)定功能（任務(wù)）的能力可用下式表示：

R_Ψ（t）=R_Ψ·c（t）∑Ki=1ω_iR_Ψ·Bi（t）（2）

式中：R_Ψ·c（t）表示體系中共用單元的可靠度;ω_i表示第i（i=1，2，…，K）個任務(wù)單元的重要度（權(quán)重）;R_Ψ·Bi（t）表示第i（i=1，2，…，K）個任務(wù)單元的可靠度。

復雜體系內(nèi)部往往存在系統(tǒng)間的功能替補，替補單元（系統(tǒng)）除了具有替補功能，也需要完成自身的規(guī)定功能，因此在發(fā)揮替補作用時可靠度可能無法完全達到原可靠度;當被替補單元（系統(tǒng)）無需替補就可以完成自身規(guī)定的功能時，替補功能不會被激發(fā)。因此，將其定義為一種備份關(guān)系，見定義4。

定義 4 （功能替補） 在復雜體系中系統(tǒng)間存在功能替補，定義為一種備份關(guān)系，替補單元（系統(tǒng)）在完成功能替補時的實際可靠度R_sub（t）=α（t）R（t）（0≤α（t）≤1），其中R（t）為替補單元（系統(tǒng)）原可靠度，α（t）為功能替補系數(shù)，表示為時間t的函數(shù)，即其功能替補實現(xiàn)程度可能隨時間變化。

根據(jù)系統(tǒng)論的結(jié)構(gòu)決定功能原理，可推廣到體系所能完成的功能（任務(wù)）是由其結(jié)構(gòu)決定的。因此，可推斷體系結(jié)構(gòu)函數(shù)構(gòu)造原理類似于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)^［32］原理。但是考慮到體系的拓撲結(jié)構(gòu)特征，體系結(jié)構(gòu)函數(shù)不再是一個二元變量，而是系統(tǒng)功能（任務(wù)）結(jié)構(gòu)函數(shù)的和聯(lián)聚合。這里，給出定理1。

定理 1 （體系結(jié)構(gòu)函數(shù)） 對具有多種特定功能（任務(wù)）的體系Ψ，其所有功能（任務(wù)）Ψ_k（k=1，2，…，K）的重要性（權(quán)重）分別為ω_k，則其體系結(jié)構(gòu)函數(shù)可表示為

Ψ（X）＝∑Kk=1ω_kΨ_k（X）（3）

Ψ_k（X）為第k個功能（任務(wù)）的結(jié)構(gòu)函數(shù)，可表示為

Ψ_k=Ψ_k（X）=

Ψ_k{［x₁，X_sub1］，［x₂，X_sub2］，…，［x_nk，X_subnk］}=

Ψ_k［Φ₁（X₁），Φ₂（X₂），…，Φ_nk（X_nk）］=

∑y^nk∏nkj=1Φ_j（X_j）^yj（1－Φ_j（X_j））^1－yjΨ_k（y^nk）（4）

式中：二值變量Ψ_k表示功能（任務(wù)）的狀態(tài)，有Ψ_k= 功能正常

0， 功能失效;二值變量x_i表示第i（i=1，2，…，n_k）個單元（系統(tǒng)）的狀態(tài)，n_k為第k個功能（任務(wù)）包含的單元（系統(tǒng)）數(shù)，有x_i= 單元i正常

0， 單元i失效;X_subi為單元（系統(tǒng)）x_i的替補單元（系統(tǒng)）集合;y^nk為所有的n_k階二值向量，并約定0⁰≡1;Φ_i（X_i）為單元（系統(tǒng)）x_i及其替補單元（系統(tǒng)）所組成系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)，可以表示為

Φ_i（X_i）=max（x_i，max X_subi）

證明 首先證明Φ_i（X_i）=max（x_i，max X_subi）。

根據(jù)定義4，功能替補作為一種備份關(guān)系，在結(jié)構(gòu)上可表達為并聯(lián)形式，而n階并聯(lián)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)為

Φ（X）=1－∏ni=1（1－x_i）=max（x₁，x₂，…，x_n）

因此有

Φ_i（X_i）=max（x_i，max X_subi）

接著證明Ψ_k=Ψ_k（X）=∑_ynk（∏^nkj=1Φ_j（X_j）^yj·（1－Φ_j（X_j））^1－yj）Ψ_k（y^nk），記為（^*）式。

由Ψ_k（X）=Ψ_k［Φ₁（X₁），Φ₂（X₂），…，Φ_nk（X_nk）］，根據(jù)樞軸分解原理^［32］，有

Ψ_k（X）＝Φ_i（X_i）Ψ_k（1_i，X）+（1－Φ_i（X_i））Ψ_k（0_i，X）

其中

（·_i，X）≡（Φ₁（X₁），Φ₂（X₂），…，Φ_i－1（X_i－1），·，

Φ_i+1（X_i+1），Φ_i+2（X_i+2），…，Φ_nk（X_nk））

下面利用數(shù)學歸納法證明（^*）式。

（1） 當n_k=1時，有Ψ_k（X）=Φ₁（X₁），（^*）式顯然成立。

（2） 假設(shè)當n_k=m（m≥1，m∈N）時，（^*）式成立，即Ψ_k（X）＝∑_ym∏^m_j=1Φ_j（X_j）^yj（1－Φ_j（X_j））^1－yjΨ_k（y^m）。

則當n_k=m+1時，根據(jù)樞軸分解原理，有

Ψ_k（X）=Φ_m+1（X_m+1）Ψ_k（1_m+1，X）+

（1－Φ_m+1（X_m+1））Ψ_k（0_m+1，X）（5）

對式（5）中的Φ_m+1（X_m+1）Ψ_k（1_m+1，X），有

Φ_m+1（X_m+1）Ψ_k（1_m+1，X）=

Φ_m+1（X_m+1）¹（1－Φ_m+1（X_m+1））⁰Ψ_k（1_m+1，X）=

∑ym∏mj=1（Φ_j（X_j）^yj（1－Φ_j（X_j））^1－yj

Φ_m+1（X_m+1）¹（1－Φ_m+1（X_m+1））⁰）Ψ_k（y^m，1）=

∑（ym，1）∏m+1j=1Φ_j（X_j）^yj（1－Φ_j（X_j））^1－yjΨ_k（y^m，1）（6）

對式（5）中的（1－Φ_m+1（X_m+1））Ψ_k（0_m+1，X），有

（1－Φ_m+1（X_m+1））Ψ_k（0_m+1，X）=

Φ_m+1（X_m+1）⁰（1－Φ_m+1（X_m+1））¹Ψ_k（0_m+1，X）=

∑ym∏mj=1（Φ_j（X_j）^y_j（1－Φ_j（X_j））^1－yj

Φ_m+1（X_m+1）⁰（1－Φ_m+1（X_m+1））¹）Ψ_k（y^m，0）=

∑（ym，0）∏m+1j=1Φ_j（X_j）^yj（1－Φ_j（X_j））^1－yjΨ_k（y^m，0）（7）

則

Ψ_k（X）=∑（ym，1）∏m+1j=1Φ_j（X_j）^yj（1－Φ_j（X_j））^1－yjΨ_k（y^m，1）+

∑（ym，0）∏m+1j=1Φ_j（X_j）^yj（1－Φ_j（X_j））^1－yjΨ_k（y^m，0）=

∑y^m+1∏m+1j=1Φ_j（X_j）^yj（1－Φ_j（X_j））^1－yjΨ_k（y^m+1）（8）

即n_k=m+1成立。由此，n_k∈N，（^*）式都成立。證畢

最后，由多任務(wù)體系的和聯(lián)邏輯原理，容易得到式（3）。

相應(yīng)地，根據(jù)相關(guān)系統(tǒng)^［32］的概念，可以推廣到相關(guān)體系。由于復雜體系的使命和任務(wù)目標的動態(tài)演化性，其結(jié)構(gòu)要素的相關(guān)性也是動態(tài)演化的。即在某一特定目標下的體系相關(guān)要素（系統(tǒng)或裝備等）在其他目標情形下未必是相關(guān)的。因此，相關(guān)體系的概念是相對的和有條件的。這里給出定義5。

定義 5 （相關(guān)體系） 若在某功能（任務(wù)）目標條件下，Ψ_k在系統(tǒng)x_i（i=1，2，…，n_k）處為常量，即在所有（·_i，X）上，Ψ_k（1_i，X）=Ψ_k（0_i，X），則第i個系統(tǒng)x_i對于功能（任務(wù)）Ψ_k是不相關(guān)的，否則就是相關(guān)的。若系統(tǒng)x_i對于所有的功能（任務(wù)）Ψ_k都是不相關(guān)的，則其對于體系Ψ是不相關(guān)的，否則就是相關(guān)的。當所有功能（任務(wù)）的結(jié)構(gòu)函數(shù)為增函數(shù)，且所有系統(tǒng)對于體系都是相關(guān)的，則體系為相關(guān)體系。其中，（·_i，X）≡（x₁，x₂，…，x_i－1，·，x_i+1，x_i+2，…，x_nk）。

一復雜體系Ψ有二項功能（任務(wù)）1和2，各任務(wù)的重要性分別為ω_i（i=1，2）。該體系中的單元（系統(tǒng)）因故障導致性能受損或破壞時，指定單元（系統(tǒng)）可實現(xiàn)功能替補，其中b₁₁、b₂₁可以實現(xiàn)互相功能替補;b₂₂可替補b₁₂，且b₁₂還具有系統(tǒng)內(nèi)部激發(fā)功能替補能力（見圖2）。求解該體系的結(jié)構(gòu)函數(shù)并舉例分析其相關(guān)性。

首先確定各單元（系統(tǒng)）的替補系統(tǒng)集合。由題意，對b₁₁而言，有X_subb11={b₂₁};對b₁₂而言，有X_subb12={b′₁₂，b₂₂}，其中b′₁₂代表了系統(tǒng)內(nèi)部激發(fā)功能替補;對b₂₁而言，有X_subb21={b₁₁};對b₂₂而言，有X_subb22=;對c而言，有X_subc=。

根據(jù)定理1，功能1（任務(wù)1）的結(jié)構(gòu)函數(shù)為

Ψ₁（X）=Ψ₁{［b₁₁，X_subb11］，［b₁₂，X_subb12］，［c，X_subc］}=

Ψ₁{max（b₁₁，b₂₁），max（b₁₂，b′₁₂，b₂₂），c}=

max（b₁₁，b₂₁）·max（b₁₂，b′₁₂，b₂₂）c=

［1－（1－b₁₁）（1－b₂₁）］

［1－（1－b₁₂）（1－b′₁₂）（1－b₂₂）］c（9）

類似地，功能2（任務(wù)2）的結(jié)構(gòu)函數(shù)為

Ψ₂（X）=Ψ₂{［b₂₁，X_subb21］，［b₂₂，X_subb22］，［c，X_subc］}=

Ψ₂{max（b₂₁，b₁₁），b₂₂，c}=

max（b₂₁，b₁₁）b₂₂c=

［1－（1－b₁₁）（1－b₂₁）］b₂₂c（10）

體系結(jié)構(gòu)函數(shù)為

Ψ（X）=ω₁Ψ₁（X）+ω₂Ψ₂（X）=

ω₁［1－（1－b₁₁）（1－b₂₁）］·

［1－（1－b₁₂）（1－b′₁₂）（1－b₂₂）］c+

ω₂［1－（1－b₁₁）（1－b₂₁）］b₂₂c（11）

根據(jù)定義5，以功能2（任務(wù)2）為例，真值表如表1所示。

對于單元（系統(tǒng)）b₁₁，有

狀態(tài)11：Ψ₂（0_b11，0_b21，1_b22，1_c）=0;

狀態(tài)14：Ψ₂（1_b11，0_b21，1_b22，1_c）=1。

因此，Ψ₂（0_b11，0_b21，1_b22，1_c）≠Ψ₂（1_b11，0_b21，1_b22，1_c）。

根據(jù)定義5，單元（系統(tǒng)）b₁₁對于功能2（任務(wù)2）Ψ₂是相關(guān)的，則對于體系Ψ也是相關(guān)的。

同理，對于單元（系統(tǒng)）b₂₁，有

狀態(tài)11：Ψ₂（0_b11，0_b21，1_b22，1_c）=0;

狀態(tài)15：Ψ₂（0_b11，1_b21，1_b22，1_c）=1。

因此，Ψ₂（0_b11，0_b21，1_b22，1_c）≠Ψ₂（0_b11，1_b21，1_b22，1_c）。

對于單元（系統(tǒng)）b₂₂，有

狀態(tài)13：Ψ₂（1_b11，1_b21，0_b22，1_c）=0;

狀態(tài)16：Ψ₂（1_b11，1_b21，1_b22，1_c）=1。

因此，Ψ₂（1_b11，1_b21，0_b22，1_c）≠Ψ₂（1_b11，1_b21，1_b22，1_c）。

對于單元（系統(tǒng)）c，有

狀態(tài)12：Ψ₂（1_b11，1_b21，1_b22，0_c）=0;

狀態(tài)16：Ψ₂（1_b11，1_b21，1_b22，1_c）=1。

因此，Ψ₂（1_b11，1_b21，1_b22，0_c）≠Ψ₂（1_b11，1_b21，1_b22，1_c）。

單元（系統(tǒng)）b₂₁、b₂₂、c對于功能2（任務(wù)2）Ψ₂都是相關(guān)的，對于體系Ψ也都是相關(guān)的。實際上，類似地可以證明體系Ψ為相關(guān)體系，這里不再贅述。

2 復雜體系可靠性GERT網(wǎng)絡(luò)建模

在第1節(jié)中，通過結(jié)構(gòu)函數(shù)可以對體系結(jié)構(gòu)和相關(guān)性進行分析，但結(jié)構(gòu)函數(shù)本身不具備解析求解能力，且無法體現(xiàn)出系統(tǒng)在發(fā)揮替補作用時可靠度可能無法完全達到原可靠度這一性質(zhì)。因此，本節(jié)采用GERT網(wǎng)絡(luò)描述體系結(jié)構(gòu)，通過GERT解析法計算體系可靠度，同時將其轉(zhuǎn)化為GERTS以給出可靠度仿真結(jié)果，擴展了網(wǎng)絡(luò)規(guī)模提升時的解決方案。

2.1 基于GERT網(wǎng)絡(luò)的可靠性建模

根據(jù)隨機網(wǎng)絡(luò)原理^［20］，任一客觀體系過程可以看作是各系統(tǒng)之間基于任務(wù)目標的相互協(xié)作過程。一般情況下，這種協(xié)作大都屬于工作任務(wù)的上、下游的縱向或者橫向的合作。這種任務(wù)的協(xié)作過程可以運用廣義活動網(wǎng)絡(luò)（generalized active network， GAN）進行表征，并進一步轉(zhuǎn)化為GERT網(wǎng)絡(luò)。為了將GERT用于求解復雜體系可靠性，首先給出復雜體系GERT網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)。

定義 6 （復雜體系GERT網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)） 在復雜體系GERT網(wǎng)絡(luò)中，若單元（系統(tǒng)）i實際可靠度為R_i（t），則單元成功分支的傳遞函數(shù)為W_i（t）=R_i（t），單元失敗分支的傳遞函數(shù)為W_i^（t）=1－R_i（t）。單元（系統(tǒng)）i轉(zhuǎn)化為GERT節(jié)點的規(guī)則如圖3所示。

由于可靠度是時間的函數(shù)，因此單元（系統(tǒng)）i在GERT網(wǎng)絡(luò)中的成功分支與失敗分支傳遞函數(shù)同樣是時間的函數(shù)，且根據(jù)可靠度的性質(zhì)，顯然有：① W_i（t）是一個非增函數(shù)，W_i^（t）是一個非減函數(shù);② 當t=0時，W_i（t）=1，W_i^（t）=0;③ 當t→SymboleB@時，W_i（t）=0，W_i^（t）=1。對于功能替補單元（系統(tǒng)），其傳遞函數(shù)隱含了實際可靠度R_sub（t）=α（t）R（t）（0≤α（t）≤1）的條件。根據(jù)定義6和串聯(lián)、并聯(lián)以及備份邏輯，給出下述定義7.1～7.3。

定義 7.1 （串聯(lián)單元（系統(tǒng)）GERT轉(zhuǎn)化規(guī)則） 串聯(lián)單元（系統(tǒng)）轉(zhuǎn)化為GERT網(wǎng)絡(luò)的規(guī)則如圖4所示。

圖4左邊是一個n個單元（系統(tǒng)）的串聯(lián)結(jié)構(gòu)，右邊的GERT網(wǎng)絡(luò)表達了串聯(lián)的邏輯，即單元（系統(tǒng)）1至n中只要有一個不可靠，則整體不可靠。

定義 7.2 （并聯(lián)單元（系統(tǒng)）GERT轉(zhuǎn)化規(guī)則）并聯(lián)單元（系統(tǒng)）轉(zhuǎn)化為GERT網(wǎng)絡(luò)的規(guī)則如圖5所示。

圖5左上是一個n個單元（系統(tǒng)）的并聯(lián)結(jié)構(gòu)，首先運用“或型”節(jié)點A表達了并聯(lián)的邏輯，即單元（系統(tǒng)）1至n中只要有一個可靠，則整體可靠。為簡潔起見，這里省略了不可靠的分支;接著將“或型”節(jié)點轉(zhuǎn)化為兩個“異或型”節(jié)點A、A-，考慮其得以實現(xiàn)的所有可能途徑;最后由GERT并聯(lián)分支的傳遞函數(shù)等于各分支之和，化簡得到最終的GERT網(wǎng)絡(luò)。

定義 7.3 （備份單元（系統(tǒng)）GERT轉(zhuǎn)化規(guī)則） 備份單元（系統(tǒng)）轉(zhuǎn)化為GERT網(wǎng)絡(luò)的規(guī)則如圖6（a）和圖6（b）所示，其中圖6（a）假設(shè)轉(zhuǎn)換裝置完全可靠，圖6（b）假設(shè)轉(zhuǎn)換裝置不完全可靠。

圖6（a）中，當單元（系統(tǒng)）1工作正常時，無需轉(zhuǎn)換，當其不可靠時，由備份的單元（系統(tǒng)）2工作。同理，直至備份的單元（系統(tǒng)）n工作。若其不可靠，沒有剩余的備份單元（系統(tǒng)），則整體不可靠。

在圖6（b）中，當單元（系統(tǒng)）1工作正常時，無需轉(zhuǎn)換，當其不可靠時，若轉(zhuǎn)換裝置正常，則由備份的單元（系統(tǒng)）2工作;當單元（系統(tǒng)）2工作正常時，無需轉(zhuǎn)換，當其不可靠時，若轉(zhuǎn)換裝置正常，則備份的單元（系統(tǒng)）3工作;以此類推，當單元（系統(tǒng)）n-1工作正常時，無需轉(zhuǎn)換，當其不可靠時，若轉(zhuǎn)換裝置正常，則備份的單元（系統(tǒng)）n工作，若其不可靠，沒有剩余的備份單元（系統(tǒng)），則整體不可靠。在這個過程中，若轉(zhuǎn)換開關(guān)無法完成轉(zhuǎn)換工作，整體同樣不再可靠。

對于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，可以通過網(wǎng)絡(luò)分解將其簡化為上述結(jié)構(gòu)，因此根據(jù)上述定理，體系邏輯就可以轉(zhuǎn)化為GERT網(wǎng)絡(luò)。根據(jù)GERT解析法，可以求得其中任意兩節(jié)點間的等價傳遞函數(shù)，也就是節(jié)點間涉及的功能（任務(wù)）可靠度。定理2給出了具體證明過程。

定理 2 （功能（任務(wù)）可靠度GERT求解） 在復雜體系GERT網(wǎng)絡(luò)中，功能（任務(wù)）可靠度等于功能（任務(wù)）對應(yīng)節(jié)點間等價傳遞函數(shù)。

證明 以圖4～圖6中的串聯(lián)、并聯(lián)、備份結(jié)構(gòu)為例證明。為簡潔起見，證明過程中將W（t），R（t）簡寫為W，R。

（1） 串聯(lián)

根據(jù)圖4，設(shè)各單元（系統(tǒng)）可靠度為R_i（i=1，2，…，n），有R_s=∏ⁿⁱ⁼¹R_i。

GERT網(wǎng)絡(luò)等價傳遞函數(shù)W_A=∏ⁿ_i=1W_i，根據(jù)定義6，W_A=∏ⁿ_i=1R_i。

則W_A=R_s。

（2） 并聯(lián)

根據(jù)圖5，設(shè)各單元（系統(tǒng)）可靠度為R_i（i=1，2，…，n），有R_s=1－∏ⁿ_i=1（1－R_i）。

GERT網(wǎng)絡(luò)等價傳遞函數(shù)W_A=1－∏ⁿ_i=1W_i^，根據(jù)定義6，W_A=1－∏ⁿ_i=1（1－R_i）。

則W_A=R_s。

（3） 備份

根據(jù)圖6（a），設(shè)各單元（系統(tǒng)）實際可靠度為R_i（i=1，2，…，n）。根據(jù)備份邏輯，R_s=∑^n－1_k=0P{N=k}=1－P{N=0}=1－∏ⁿ_i=1（1－R_i）。

GERT網(wǎng)絡(luò)等價傳遞函數(shù)

W_A=

W₁+W_1^W₂+W_1^W_2^W₃

+…+W_1^W_2^+…+WW_n=

W₁+W_1^W₂+W_1^W_2^W₃+…+

W_1^W_2^…WW_n+W_1^W_2^…WW_n^－∏ni=1W_i^

由W_i+W_i^=1，得

W_A=W₁+W_1^W₂+W_1^W_2^W₃+…+

W_1^W_2^+…+W+W_1^W_2^+…+W－∏ni=1W_i^=1－∏ni=1W_i^

而W_i^=1－R_i，因此W_A=1－∏ⁿ_i=1（1－R_i）。

則W_A=R_s。

根據(jù)圖6（b），設(shè)各單元（系統(tǒng)）實際可靠度為R_i（i=1，2，…，n）。轉(zhuǎn)換裝置可靠度為R_sw， 則R_s=R₁+R_sw（1－R₁）R₂+R²_sw·（1－R₁）（1－R₂）R₃+…+R^n－1_sw（1－R₁）（1－R₂）+…+（1－R_n－1）R_n=R₁+∑^n－1_i=1［Rⁱ_swR_i+1∏ⁱ_j=1（1－R_j）］。

GERT網(wǎng)絡(luò)等價傳遞函數(shù)W_A=W₁+W_swW_1^W₂+W²_swW_1^W_2^W₃+…+W^n－1_swW_1^W_2^+…+WW_n=W₁+∑^n－1_i=1（Wⁱ_swW_i+1∏ⁱ_j=1W_j^）。

由定義6，W_A=R₁+∑^n－1_i=1［Rⁱ_swR_i+1∏ⁱ_j=1（1－R_j）］。

則W_A=R_s。證畢

定理 3 （體系可靠度GERT“和聯(lián)”模型） 在復雜體系GERT網(wǎng)絡(luò)中，若有K個功能（任務(wù)），各功能（任務(wù)）重要度（權(quán)重）為ω_i（i=1，2，…，K），可靠度為R_Ψ.i（t）（i=1，2，…，K），則體系可靠度

R_Ψ（t）=∑Ki=1ω_iR_Ψ.i（t）（12）

根據(jù)多任務(wù)“和聯(lián)”體系可靠度函數(shù)，定理顯然成立。

2.2 基于GERTS網(wǎng)絡(luò)的可靠性建模

當網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模增大時，GERT解析算法常常面臨求解困難的問題，容易出現(xiàn)對網(wǎng)絡(luò)節(jié)點和分支的遺漏和錯判，此時可以采用GERTS仿真作為替代方法。GERTS是GERT的仿真實現(xiàn)，在網(wǎng)絡(luò)規(guī)模較大時求解效率更高。

定義 8 （GERTS節(jié)點）^［21］ 表2給出了兩種GERTS節(jié)點，具體含義如表2所示。

對任一t時刻，在本文GERTS仿真運行中，隨著仿真次數(shù)的增加，結(jié)果將趨于穩(wěn)定，見定理4。

定理 4 （GERTS仿真收斂性） 設(shè)t時刻GERTS仿真次數(shù)為N，設(shè)S_N為其中體系任務(wù)成功終節(jié)點S實現(xiàn)次數(shù)，則N－S_N為體系任務(wù)失敗終節(jié)點F實現(xiàn)次數(shù)。若t時刻GERT求解體系任務(wù)可靠度為R（t）（0≤R（t）≤1），那么S_N/N依概率收斂到R（t），即εgt;0，有

limN→SymboleB@PS_NN－R（t）≥ε=0

證明 事實上，GERT解得體系任務(wù)可靠度R（t）即為體系任務(wù)成功終節(jié)點S實現(xiàn)概率，則根據(jù)伯努利大數(shù)定律，定理成立。證畢

3 案例研究

聯(lián)合作戰(zhàn)體系的典型反艦作戰(zhàn)場景可描述為，當探測平臺探測到對方艦的目標信息時，將目標信息發(fā)送給地面指揮平臺，地面指揮平臺向探測平臺及武器平臺發(fā)送通道組織命令，探測平臺根據(jù)收到的通道組織命令，組織通信預案，向武器平臺發(fā)送目標指示命令，同時探測平臺向武器平臺發(fā)送處理過的遠程目標指示信息，武器平臺最后根據(jù)探測平臺發(fā)送的目標指示信息以及地面指揮平臺發(fā)送的處理后的遠程目標指揮信息進行打擊。由此將作戰(zhàn)活動劃分為3個部分：偵察、控制、打擊。偵察是聯(lián)合作戰(zhàn)體系中一個非常重要的功能，偵察場景的主要組織角色有預警機（aircraft of early warning， AEW）、地面監(jiān)視雷達（ground surveillance radar， GSR）、偵察遙感（remote sensing， RS）衛(wèi)星等。偵察場景的作戰(zhàn)體系如圖7所示。

根據(jù)作戰(zhàn)場景梳理參戰(zhàn)裝備，有作為綜合型武器裝備的AEW和作為單一型武器裝備的GSR以及RS。該作戰(zhàn)體系可簡化為圖8。該體系中GCS為地面指揮系統(tǒng)（ground command system， GCS）。

其中，RS₁與RS₂、GSR₁與GSR₂可以互相實現(xiàn)功能替補，AEW具有系統(tǒng)內(nèi)部激發(fā)功能替補能力AEW′。該體系共完成2項任務(wù)，偵察任務(wù)1為偵察空中目標，其基本功能路線為RSAEWGSRGCS（其中， “” 表示任務(wù)流向），偵察任務(wù)2為偵察地面目標，其基本功能路線為RSGSRGCS，任務(wù)權(quán)重ω₁=0.7，ω₂=0.3。

根據(jù)定理1，其體系結(jié)構(gòu)函數(shù)可以表示為

Ψ（X）=ω₁Ψ₁（X）+ω₂Ψ₂（X）=

ω₁Ψ₁{［RS₁，RS₂］，［AEW，AEW′］，［GSR₁，GSR₂］，GCS}+

ω₂Ψ₂{［RS₂，RS₁］，［GSR₂，GSR₁］，GCS}=

ω₁［1－（1－RS₁）（1－RS₂）］·

［1－（1－AEW）（1－AEW′）］·

［1－（1－GSR₁）（1－GSR₂）］GCS+

ω₂［1－（1－RS₂）（1－RS₁）］·

［1－（1－GSR₂）（1－GSR₁）］GCS

進一步地，假設(shè)任務(wù)執(zhí)行時間t∈［0，5］，功能替補作用隨著時間遞減，轉(zhuǎn)換裝置完全可靠，功能替補系數(shù)α（t）=e^－t， RS₁與RS₂的可靠度R_RS（t）=e^－0.22t， AEW的可靠度R_AEW（t）=e^－0.01t， GSR₁與GSR₂的可靠度R_GSR（t）=e^－0.16t， GCS的可靠度R_GCS（t）=e^－0.05t。根據(jù)上述條件和體系結(jié)構(gòu)函數(shù)，可構(gòu)造出體系GERT網(wǎng)絡(luò)進行計算，如圖9所示。

首先，針對任務(wù)1和任務(wù)2分別求解其成功等價傳遞函數(shù)。對任務(wù)1來說，有W_1s（t）=R_RS（t）R_AEW（t）R_GSR（t）·R_GCS（t）{［1+α（t）（1－R_RS（t））］［1+α（t）（1－R_AEW（t））+α（t）（1－R_GSR（t））+α（t）²（1－R_AEW（t））（1－R_GSR（t））］}，則根據(jù)定理2，R_Ψ.1（t）=W_1s（t）;對任務(wù)2來說，有W_2s（t）=R_RS（t）R_GSR（t）R_GCS（t）［1+α（t）（1－R_RS（t））+α（t）（1－R_GSR（t））+α（t）²（1－R_RS（t））（1－R_GSR（t））］，則根據(jù)定理2，R_Ψ.2（t）=W_2s（t）。再由定理3，R_Ψ（t）=∑²_i=1ω_iR_Ψ.i（t）=0.7R_Ψ.1（t）+0.3R_Ψ.2（t）。

對任一t，可構(gòu)造如圖10所示的GERTS網(wǎng)絡(luò)圖，利用GERTS進行仿真求解。在t=1時，經(jīng)過10 000次仿真得到圖11所示結(jié)果，GERTS可靠度最終收斂到0.732 5，與GERT解析解的相對誤差為0.002%。

在t∈［0，5］時，R_Ψ（t）的變化情況如圖12所示。若不考慮體系特點，即忽略體系中的替補單元，從傳統(tǒng)系統(tǒng)視角計算可靠度，將在一定程度上低估體系可靠度。圖12給出了反艦偵察作戰(zhàn)體系可靠度與系統(tǒng)視角可靠度的對比情況。兩者均呈現(xiàn)隨任務(wù)持續(xù)時間下降的趨勢，但體系視角下可靠度降低速度與系統(tǒng)視角下明顯不同，兩者相對誤差先增大后減小，相對誤差最大時接近12%。因此，在評估體系可靠度時有必要考慮體系中的功能替補作用。

對體系設(shè)計者而言，在合理估計功能替補系數(shù)的基礎(chǔ)上，可以通過設(shè)計系統(tǒng)間的功能替補環(huán)節(jié)來提升體系可靠度，同時減少功能冗余以降低成本。對體系管理者而言，以作戰(zhàn)體系為例，本文所提方法能夠更加精確地測定其實際完成任務(wù)的可靠度，避免指揮員在決策時以盡可能大的裕度來確保任務(wù)完成，從而減少作戰(zhàn)資源浪費。

4 結(jié) 論

復雜體系已經(jīng)成為大規(guī)模系統(tǒng)存在的普遍形態(tài)，但在其可靠性結(jié)構(gòu)描述和計算方面仍未有較好的解決方案。同時，體系內(nèi)部系統(tǒng)連接的或然性在關(guān)系復雜時缺乏準確的描述方法。本文運用結(jié)構(gòu)函數(shù)理論和GERT網(wǎng)絡(luò)建立了一種復雜體系可靠性結(jié)構(gòu)分析框架與建模方法。首先，根據(jù)“和聯(lián)”系統(tǒng)思想以系統(tǒng)可靠度表征多任務(wù)“和聯(lián)”體系可靠度函數(shù);然后，為解決體系結(jié)構(gòu)描述問題，將結(jié)構(gòu)函數(shù)推廣至體系;最后，構(gòu)建復雜體系GERT網(wǎng)絡(luò)模型，以實現(xiàn)體系可靠度解析求解，同時擴展了GERTS仿真，作為網(wǎng)絡(luò)規(guī)模較大時求解效率更高的方案。

通過對一反艦偵察作戰(zhàn)體系進行案例研究，GERT和GERTS均可得出有效結(jié)果，且能夠在考慮體系特點的基礎(chǔ)上更精準地評估體系實際可靠度。對于體系設(shè)計和管理，為確保體系能力達到相應(yīng)水平，設(shè)計者和決策者可能會通過提供足夠大的裕度或余量保證可靠性，從而導致成本和資源的浪費。本文所提方法能夠為設(shè)計者和決策者提供參考，減少不必要的冗余，為資源合理配置奠定基礎(chǔ)。此外，對復雜體系而言，除本文提出的“和聯(lián)”結(jié)構(gòu)外，還可能存在組成體系規(guī)定功能（任務(wù)）的系統(tǒng)功能（任務(wù)）間可以互相替補的結(jié)構(gòu)，這也將是本研究的后續(xù)工作。

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作者簡介

方志耕（1962—），男，教授，博士研究生導師，博士，主要研究方向為可靠性工程、復雜裝備研制管理。

華晨晨（1999—），女，碩士研究生，主要研究方向為可靠性工程、效能優(yōu)化。

陳 頂（1989—），男，工程師，博士，主要研究方向為效能評估、質(zhì)量與可靠性。

張靖如（1997—），女，博士研究生，主要研究方向為復雜體系建模。

張亞東（1996—），男，碩士研究生，主要研究方向為可靠性增長。

吳鴻華（1978—），男，副教授，博士研究生，主要研究方向為灰色系統(tǒng)理論。