摘 要：在多小區(qū)環(huán)境下的準同步碼分多址（quasi-synchronous code-division multiple-access， QS-CDMA）系統(tǒng)中，不相關(guān)多子集零相關(guān)區(qū)（zero correlation zone， ZCZ）序列集不僅可以消除一定時延內(nèi)來自相同小區(qū)的信號干擾，而且可以完全消除來自相鄰小區(qū)的信號干擾。針對如何基于仿酉矩陣構(gòu)造多子集ZCZ序列集的問題，設(shè)計了兩種構(gòu)造方法。具體地，通過構(gòu)造具有一定特性的多個初始矩陣，再結(jié)合仿酉矩陣，進而利用不同的初始矩陣產(chǎn)生不同的ZCZ序列集，且序列集間互不相關(guān)。所提方法的核心是多個初始矩陣的設(shè)計，方法1通過對離散傅里葉變換（discrete Fourier transform， DFT）矩陣進行分塊與疊加實現(xiàn)，方法2利用已有的不相關(guān)多子集ZCZ序列集實現(xiàn)。由兩種方法得到的構(gòu)造結(jié)果，其參數(shù)趨近于最優(yōu)，為解決多小區(qū)環(huán)境下的干擾抑制問題提供了新的序列設(shè)計方法。

關(guān)鍵詞： 準同步碼分多址系統(tǒng); 零相關(guān)區(qū); 多子集零相關(guān)區(qū)序列集; 仿酉矩陣

中圖分類號： TN 911.2 文獻標志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.10.34

Construction of uncorrelated multiple-subset zero correlation zone sequence sets

CUI Li^1， XU Chengqian¹

（1. Shool of Information Science and Engineering， Yanshan University， Qinhuangdao 066004， China; 2. School of Mathematics

and Information Science and Technology， Hebei Normal University of Science and Technology， Qinhuangdao 066004， China）

Abstract： In multi-cell quasi-synchronous code-division multiple-access （QS-CDMA） systems， uncorrelated multiple-subset zero correlation zone （ZCZ） sequence sets can not only eliminate signal interference in the same cell within a certain time delay， but also eliminate signal interference from adjacent cells completely. Two construction methods are designed to solve the problem that how to construct multiple-subset ZCZ sequence sets based on paraunitary （PU） matrices. Specifically， by constructing multiple initial matrices with certain characteristics， combined with the PU matrices， different initial matrices are used to yield different ZCZ sequence sets. Furthermore， the obtained ZCZ sequence sets are uncorrelated with each other. The key idea of the construction methods is the design of the multiple initial matrices. Construction method 1 is realized by dividing and stacking the discrete Fourier transform （DFT） matrices， and construction method 2 is implemented by the existing uncorrelated multiple-subset ZCZ sequence sets. The parameter performance of" the construction results obtained by the two methods is close to optimal， which provides a new sequence design method for solving the interference suppression problem in a multi-cell environment.

Keywords： quasi-synchronous code-division multiple-access （QS-CDMA） system; zero correlation zone （ZCZ）; multiple-subset ZCZ sequence sets; paraunitary matrix

0 引 言

碼分多址（code-division multiple-access， CDMA）作為一項重要的擴頻技術(shù)，已被廣泛應(yīng)用于數(shù)字蜂窩通信系統(tǒng)中。憑借準同步CDMA技術(shù)允許用戶信號存在相對時延的優(yōu)勢，零相關(guān)區(qū)（zero correlation zone， ZCZ）序列集^［1］利用一定位移區(qū)域內(nèi)相關(guān)函數(shù)處處為零的特性，可以消除同一小區(qū)內(nèi)用戶信號的多徑干擾和多址干擾。因此，ZCZ序列集設(shè)計受到越來越多學(xué)者的關(guān)注，并取得了豐富的研究成果^［28］。

近年來，ZCZ序列集與不同類型序列相結(jié)合，相繼產(chǎn)生了不同類型的ZCZ序列集。例如，為了在具有非連續(xù)載波的認知無線電（cognitive radio， CR）網(wǎng)絡(luò)中，設(shè)計具有良好相關(guān)性的頻譜零約束（spectrally-1-constrained， SNC）序列，文獻［9］提出一類單信道SNC-ZCZ序列的構(gòu)造方法。該類序列可以在CR的多輸入多輸出信道估計和準同步通信中實現(xiàn)無干擾。另外，若一個ZCZ序列集內(nèi)各序列的自相關(guān)函數(shù)之和在非零位移處均為零，則稱該序列集為具有ZCZ的Golay互補序列集，即Golay-ZCZ序列集^［10］。文獻［11］表明，Golay-ZCZ序列集適用于上行鏈路免授權(quán)非正交多址接入技術(shù)的導(dǎo)頻序列。此后，文獻［1213］提出具有不同參數(shù)的Golay-ZCZ序列集的構(gòu)造方法。通過有限Zak變換，文獻［14］提出一類無干擾ZCZ序列集的構(gòu)造方法。從序列相關(guān)性方面考慮，文獻［15］構(gòu)建一類新的低相關(guān)多相序列集。該類序列集將相關(guān)區(qū)范圍放寬到整個序列周期，且相關(guān)函數(shù)具有較低的幅度值。然而，單一ZCZ序列集存在兩個方面的不足。在抗干擾方面，ZCZ序列集雖然能消除同一小區(qū)內(nèi)信號的干擾，但是在面對多小區(qū)環(huán)境時，難以消除相鄰小區(qū)用戶信號間的干擾。另外，在參數(shù)方面，ZCZ序列集包含3個參數(shù)：序列長度L、序列數(shù)目N和ZCZ長度Z。為了支持盡可能多的用戶和更大限度地放寬對系統(tǒng)同步性的要求，在ZCZ序列集的設(shè)計中，對于給定的序列長度，通常希望N和Z都盡可能大。然而，受到Tang-Fan-Matsufuji界^［16］的限制，N和Z之間相互抑制，二者無法兼顧。

為了克服單一ZCZ序列集的上述缺陷，Tang等^［17］提出多子集ZCZ序列集的概念。該類序列集存在兩個ZCZ，即不同子集間和同一子集內(nèi)序列的ZCZ。為了區(qū)分兩類ZCZ，通常稱前者為零互相關(guān)區(qū)（zero cross-correlation zone， ZCCZ）。正因為此，又稱多子集ZCZ序列集為非對稱ZCZ序列集。在多小區(qū)環(huán)境下，將不同的子集分配給相鄰小區(qū)，同一小區(qū)內(nèi)用戶信號的多址干擾和多徑干擾可以利用子集內(nèi)序列良好的相關(guān)特性予以消除，不同小區(qū)間用戶信號的干擾可以通過子集間良好的互相關(guān)性予以消除。針對多子集ZCZ序列集的設(shè)計，目前已經(jīng)取得了一定的研究成果^［1822］。盡管如此，當(dāng)不同小區(qū)用戶信號的延遲超過ZCCZ的范圍時，相鄰小區(qū)間的干擾仍然存在。

文獻［23］利用離散傅里葉變換（discrete Fourier transform， DFT）矩陣代替文獻［18］中的完備序列，并結(jié)合正交矩陣，得到多個具有相同ZCZ長度的ZCZ序列集，若不同序列集之間互相關(guān)函數(shù)處處為零，稱該序列集為不相關(guān)多子集ZCZ序列集。顯然，利用不同序列集之間的不相關(guān)性可以完全消除相鄰小區(qū)間用戶信號在任意時延處的干擾。文獻［23］設(shè)計的ZCZ序列總數(shù)目為MN，其中N=L/M，L和M分別是初始DFT矩陣和正交矩陣的階數(shù)，表示向下取整?？梢姡蛄袛?shù)目不能超過DFT矩陣的階數(shù)。為了進一步擴展序列數(shù)目，文獻［24］突破了DFT矩陣的階數(shù)對序列數(shù)目的限定?；陂L度為P的完備序列和L×L階DFT矩陣，文獻［25］首先構(gòu)造一類不相關(guān)ZCZ序列集（即序列的互相關(guān)函數(shù)處處為零、自相關(guān)函數(shù)存在ZCZ的序列集）。其中，gcd（P，L）=1，即P與L互素;然后結(jié)合T×T階正交矩陣，通過與不相關(guān)ZCZ序列集進行交織，構(gòu)造了一類新的子集間互不相關(guān)的多子集ZCZ序列集。各子集內(nèi)的ZCZ長度取決于初始完備序列長度P，且當(dāng)gcd（P，T）=1時，構(gòu)造結(jié)果的參數(shù)達到最優(yōu)?？紤]到目前已知的完備序列很少，且對P有嚴格要求，顯然該方法的應(yīng)用受到了相應(yīng)的限制。為了提高集內(nèi)ZCZ長度的靈活性，文獻［26］對完備序列和DFT矩陣采用交織技術(shù)，提出不相關(guān)多子集ZCZ序列集的新的構(gòu)造方法。

為了進一步探索序列設(shè)計的新方法，Das等^［2］給出基于仿酉（paraunitary， PU）矩陣的ZCZ序列集的設(shè)計思路，并提出基于PU矩陣構(gòu)造多子集ZCZ序列集的問題，該問題目前尚未得到解決。本文以此為動機，研究基于PU矩陣的不相關(guān)多子集ZCZ序列集的構(gòu)造方法。PU矩陣是酉矩陣的擴展形式，將序列壓縮表示為關(guān)于z^－1的多項式，并以此作為矩陣中的元素。由于PU矩陣與完全互補序列集之間存在著等價關(guān)系^［27］，因此被廣泛應(yīng)用于完全互補序列集的構(gòu)造方法中^［2829］。目前，PU矩陣和布爾函數(shù)都是序列設(shè)計的重要工具。然而，由布爾函數(shù)直接構(gòu)造的序列長度通常限定為2n。相比之下，PU矩陣產(chǎn)生的序列長度則沒有這樣的限制，因此序列長度更加靈活。文獻［30］表明，使用等價形式的Buston-type Hadamard （BH）矩陣可以顯著增加PU矩陣的數(shù)目。

本文基于PU矩陣，在文獻［2］和文獻［8］的啟發(fā)下，分別利用DFT矩陣及已有的不相關(guān)多子集ZCZ序列集，構(gòu)造得到兩類不相關(guān)多子集ZCZ序列集，解決了Das等提出的基于PU矩陣構(gòu)造多子集ZCZ序列集的問題。利用BH矩陣的等價形式，兩類構(gòu)造方法可以產(chǎn)生大量的具有參數(shù)靈活性的多子集ZCZ序列集。

1 基本理論

設(shè)S是含有M個序列集的集合，每個序列集包含N個長度為L的序列，具體表示為

S={S₀，S₁，…，S_M－1}

S_m={s_m，0，s_m，1，…，s_{m，N－1}}

s_m，n=（s_m，n（0），s_m，n（1），…，s_m，n（L－1））

其中，0≤m≤M－1，0≤n≤N－1，序列集S_m和集合S分別表示為（N，L）-S_m和（M，N，L）-S。

設(shè)x=（x（0），x（1），…，x（L－1））是長度為L的序列，可唯一表示為一個關(guān)于z的多項式：

x（z）=∑L－1t=0x（t）·z^－t（1）

稱x（z）為x的z變換;反之，稱x為x（z）的時域變換。進一步，若x（z）所有項的系數(shù)均為單位圓的γ次復(fù)數(shù)根，則稱x（z）為長度為L的γ次單模多項式。

利用z變換，（M，N，L）-S可表示為N×M階多項式矩陣：S（z）=［s₀（z），s₁（z），…，s_M－1（z）］，其中s_m（z）=［s_0，m（z），s_1，m（z），…，s_N－1，m（z）］T為含有N個L次多項式的列向量。這里，S（z）的列向量s_m（z）與S中不同的序列集（N，L）-S_m相對應(yīng)，多項式元素s_n，m（z）與序列集S_m中的序列s_m，n相對應(yīng)。

定義 1 令x與x′是2個長度為L的序列，非周期相關(guān)函數(shù)C_x，x′（τ）定義為

C_x，x′（τ）=∑N－1－τt=0x（t）·x′（t+τ） 0≤τlt;L

∑N－1+τt=0x（t－τ）·x′（t） 1－L≤τlt;0

0， |τ|≥L（2）

式中：（·）^*表示取共軛。

C_x，x′（τ）的z變換定義如下：

C_{x，x′}（z）=∑L－1τ=1－LC_x，x′（τ）·z^－τ=x（z^－1）·x′（z）^*（3）

式中：x′（z）^*=∑^L－1_t=0x（t）^*·z^－t。

序列x與x′的周期相關(guān)函數(shù)定義為

R_x，x′（τ）=C_{x，x′}（τ）+C_{x，x′}（τ－L） （4）

當(dāng)x=x′時，稱R_x，x′（τ）為x的周期自相關(guān)函數(shù)，簡記為Rx（τ）;否則，稱R_x，x′（τ）為x與x′的周期互相關(guān)函數(shù)。

定義 2 設(shè)X是一個（N，L）-X序列集，若其中任意兩個序列x_n與x_n′的相關(guān)函數(shù)滿足：

R_{xn，xn′}（τ）=0， n=n′， 0lt;τlt;Z

0， n≠n′， 0≤τlt;Z（5）

式中：0≤n，n′≤N－1，則稱X為ZCZ序列集，記為（L，N，Z）-ZCZ，其中L表示序列的長度，N表示序列集內(nèi)序列的數(shù)目，Z表示ZCZ的長度。

引理 1^［7］ 根據(jù)Tang-Fan-Matsufuji界，對于多相（L，N，Z）-ZCZ，其性能參數(shù)η滿足

η=NZL≤1（6）

當(dāng)η=1時，稱該序列集為最優(yōu)ZCZ序列集。

定義 3 令S={S₀，S₁，…，S_M-1，}是由M個（L，N，Z）-ZCZ組成的集合。設(shè)s_m，n與s_{m′，n′}分別為取自S_m與S_m′的兩個序列，且m≠m′。若

R_sm，n，s_{m′，n′}（τ）=0，0≤τ lt;Z_CCZ（7）

式中：0≤m，m′≤M－1，0≤n，n′≤N－1，則稱S_m與S_m′之間存在長度為Z_CCZ的ZCZ。為了與S內(nèi)序列集S_m的ZCZ區(qū)分，稱Z為集內(nèi)ZCZ長度，Z_CCZ為集間ZCCZ長度。進一步，稱S為集間具有ZCCZ的多子集ZCZ序列集，記為（L，［N，M］，［Z，Z_CCZ］）-ZCZ。

若Z_CCZ=L，則S稱為不相關(guān)多子集ZCZ序列集，記為（L，［N，M］，［Z，L］）-ZCZ。

引理 2^［8］ 將（L，［N，M］，［Z，L］）-ZCZ的各序列集合并后可以構(gòu)成一個更大的ZCZ序列集（L，MN，Z）-ZCZ，其性能參數(shù)滿足

η=MNZL≤1（8）

當(dāng)η=1時，稱該序列集為最優(yōu)多子集ZCZ序列集。

定義 4 設(shè)U為N×N階復(fù)數(shù)矩陣，若滿足：

U·UH=I_N（9）

則稱U為酉矩陣。

定義 5 設(shè)G（z）=［g_n，m（z）］是N×M階多項式矩陣，若滿足：

G～（z）·G（z）=c·I_M（10）

則稱G（z）為PU矩陣。式（10）中：G～（z）=GH（z^－1）;c為正實數(shù)常量。

如果PU矩陣中所有多項式均為長度為L的單模多項式，則稱其為長度為L的單模PU矩陣。

引理 3^［31］ 設(shè)F_N=［f_i，j］是N×N階DFT矩陣，則矩陣F_N的任意不同兩行f_i與f_i′的周期相關(guān)函數(shù)為

R_fi，fi′（τ）=N（ω_N）^－iτ·δ（i－i′） （11）

式中：ω_N=e^2π－1/N;δ（·）為delta函數(shù);0≤i，i′≤N－1。

2 構(gòu)造方法

本文基于PU矩陣，通過設(shè)計多個互不相關(guān)的初始矩陣集，得到多個互不相關(guān)的ZCZ序列集。目前，已有的PU矩陣均可用于本文。為了方便讀者，這里以文獻［27］為例，給出PU矩陣的一類構(gòu)造方法。

首先介紹PU矩陣構(gòu)造方法中一類重要的BH矩陣。元素值為γ次單位根的N×N階酉矩陣，記為BH（N，γ）。因此，BH（N，2）表示N×N階二元Hadamard矩陣，記為H_N，其中N分別取2n，4n;BH（N，N）表示N×N階DFT矩陣，記為F_N。

引理 4^［17］ 取正整數(shù)N，K，且Ngt;1，Kgt;1，N能被K整除，記為K|N?？紤]兩個BH矩陣，分別為K×K階矩陣A^（t）和N×N階矩陣U^（0）。首先，構(gòu)造如下兩個矩陣：

U^（t）=I_NKA^（t）（12）

D（z）=I_NKdiag（1，z^－1，…，z^{－（K－1）}） （13）

式中：0≤t≤T－1，T為正整數(shù);表示Kronecker積；diag（1，z^－1，…，z^{－（K－1）}）為K×K階對角陣。接著，通過T次遞歸計算：

G（z）=∏1t=TU^（t）·D（z^Dt）·P^（t）·U^（0）·Q（14）

式中：D_t=K^{π（t－1）}，π是在{0，1，…，T－1}上的任意置換；P^（t）與Q是兩個N×N階任意的置換矩陣。所得矩陣G（z）是N×N階長度為KT的PU矩陣。

2.1 構(gòu)造方法1

下面，基于PU矩陣和DFT矩陣，給出不相關(guān)多子集ZCZ序列集的構(gòu)造方法。

步驟 1 取正整數(shù)M，N，Z，Zgt;1使得Z|N，令Q=MZ。

步驟 2 設(shè)G（z）是N×N階長度為L的單模PU矩陣，F(xiàn)_Q為Q×Q階DFT矩陣，D（z）=diag（1，z^－1，…，z^{－（N－1）}）為N×N階延遲矩陣，D′（z）=diag（1，z^－1，…，z^{－（Q－1）}）為Q×Q階延遲矩陣。

步驟 3 設(shè)V^（m）為NM/Z階矩陣，其第m列上所有元素全部為1，其余各列元素均為0。具體地，V^（m）的（i，j）上的元素v^（m）_i，j可表示為

v^（m）_i，j=δ（j－m） （15）

式中：0≤m≤M－1，0≤i≤N/Z－1，0≤j≤M－1。

步驟 4 構(gòu)造N×M階多項式矩陣S（z）=［s₀（z），s₁（z），…，s_M－1（z）］，具體為

s_m（z）=G（z）·D（z^L）·（V^（m）I_Z）·F_Q·D′（z^NL）·aT（16）

式中：I_Z為Z×Z階單位矩陣;a=［a₀，a₁，…，a_Q－1］是F_Q的任意行向量。s_m（z）的元素具體表示為

s_n，m（z）=p_n·s_m（z） （17）

式中：p_n為N×N階單位矩陣的第n行行向量，0≤n≤N－1。

定理 1 由構(gòu)造方法1得到的S（z）為不相關(guān)多子集ZCZ序列集（QNL，［N，M］，［（Z－1）L+1，QNL］）-ZCZ，其中Q=MZ，S（z）具有如下性質(zhì)：

（1） 列向量s_m（z）對應(yīng)的序列集為ZCZ序列集（QNL，N，（Z－1）L+1）-ZCZ，0≤m≤M－1。

（2） 不同ZCZ序列集之間互不相關(guān)。

證明 設(shè)E^（m）=V^（m）I_Z，其中0≤m≤M－1。顯然，E^（m）為N×Q階矩陣，其（i，j）上的元素可表示為

e^（m）_i，j=δ（j－Zm－〈i〉_Z） （18）

式中：0≤i≤N－1，0≤j≤Q－1。因此，E^（m）的任意一行只有一個元素的值為1，其他各元素均為0。結(jié)合式（16）中（V^（m）I_Z）·F_Q=E^（m）·F_Q為N×Q階矩陣，可知矩陣中行向量取自于DFT矩陣F_Q的行向量。另外，G（z）是N×N階長度為L的單模PU矩陣，且D（z）為N×N階延遲矩陣，則式（16）中G（z）·D（z^L）·（V^（m）I_Z）·F_Q為N×Q階單模多項式矩陣，每個多項式的長度為NL。又因為D′（z^NL）是Q×Q階延遲矩陣，且a為F_Q的任意行向量，則由式（16）得到的列向量s_m（z）含有N個元素，每個元素是關(guān)于z^－1的NLQ次的單模多項式。由此可知，與矩陣S（z）對應(yīng)的集合為（M，N，NLQ）-S。

下面證明（M，N，NLQ）-S內(nèi)各序列集（N，NLQ）-S_m的ZCZ長度為（Z－1）L+1，且各序列集之間互不相關(guān)。

令s_m（z）=［s_0，m（z），s_1，m（z），…，s_N－1，m（z）］T，根據(jù)式（16），可以將元素s_n，m（z）表示為

s_n，m（z）=∑Q－1q=0∑Q－1j=0∑N－1i=0g_n，i（z）·e^（m）_i，j·f_j，q·a_q·z^{－（Nq+i）L}（19）

式中：g_n，i（z）為G（z）的（n，i）上的元素；f_j，q為F_Q（j，q）上的元素，0≤n≤N－1。

設(shè)序列s_m，n為s_n，m（z）的時域變換，表示為

s_m，n=（s_m，n（0），s_m，n（1），…，s_m，n（QNL－1））（20）

根據(jù)式（19）可知，序列元素s_m，n（t）可表示為

s_m，n（t）=∑Q－1j=0g_n，i（t）·e^（m）_i，j·f_j，q·a_q=

g_n，i（t₀）·a_q·∑Q－1j=0e^（m）_i，j·f_j，q（21）

式中：g_n，i（t₀）是g_n，i（z）的項z^－t₀的系數(shù)，0≤t≤QNL－1，t=（Nq+i）L+t₀，t₀=t modL=〈t〉_L，t₁=t/L，q=t₁/N，i=〈t₁〉_N。

由于矩陣E^（m）的任意一行只有一個元素的值為1，其余各元素均為0。結(jié)合式（18）與式（21）可得：

∑Q－1j=0e^（m）_i，j·f_j，q=∑Q－1j=0δ（j－Zm－〈i〉_Z）·f_j，q=f_{Zm+〈i〉Z，q}（22）

從而可將式（21）進一步簡化為

s_m，n（t）=g_n，i（t₀）·b^（m）_i，q（23）

式中：b^（m）_i，q=a_q·f_{Zm+〈i〉Z，q}。不妨令B={B^（0），B^（1），…，B^（M－1）}為由M個N×Q階矩陣構(gòu)成的矩陣集，其中每個矩陣表示為B^（m）=［b^（m）_i，q］。

令0≤m′≤M－1，0≤n′≤N－1，計算s_m，n與s_{m′，n′}的周期相關(guān)函數(shù)

R_sm，n，s_{m′，n′}（τ）=∑QNL－1t=0s_m，n（t）·s^*_{m′，n′}（t+τ）=

∑N－1i=0∑Q－1q=0∑L－1t0=0 ［b^（m）_i，q·g_n，i（t₀）·（b^（m′）_{〈i+i′+Δt0〉N，〈q+q′+Δi〉Q}）^*·

g^*_{n′，〈i+i′+Δt0〉N}（〈t₀+t′0〉_L）］=

∑N－1i=0∑L－1t0=0 ［g_n，i（t₀）·g^*_{n′，〈i+i′+Δt0〉N}（〈t₀+t′0〉_L）·

∑Q－1q=0b^（m）_i，q·（b^（m′）_{〈i+i′+Δt0〉N，〈q+q′+Δi〉Q}）^*］=

∑N－1i=0∑L－1－t′0t0=0 ［g_n，i（t₀）·g^*_{n′，〈i+i′〉N}（t₀+t′0）·

∑Q－1q=0b^（m）_i，q·（b^（m′）_{〈i+i′〉N，〈q+q′+Δi〉Q}）^*］+

∑L－1t0=L－t′0［g_n，i（t₀）·g^*_{n′，〈i+i′+1〉N}（t₀+t′0－L）·

∑Q－1q=0b^（m）_i，q·（b^（m′）_{〈i+i′+1〉N，〈q+q′+Δi〉Q}）^*］=

∑N－1i=0C_gn，i，g_{n′，〈i+i′〉N}（t′0）·R_b（m）i，b^（m′）_{〈i+i′〉N}（〈q′+Δi〉_Q）+

∑N－1i=0C_gn，i，g_{n′，〈i+i′+1〉N}（t′0－L）·R_b（m）i，b^（m′）_{〈i+i′+1〉N}（〈q′+Δi〉_Q）（24）

式中：τ=（Nq′+i′）L+t′0，0≤q′≤Q－1，0≤i′≤N－1，0≤t′0≤L－1；Δt₀=t₀+t′0L；Δi=i+i′+Δt₀N；g_n，i為g_n，i（z）的時域變換；b^（m）_i為矩陣B^（m）第i行的行向量。

令b^（m）_r與b^（m′）_r′分別為B^（m）與B^（m′）內(nèi)的任意兩個行向量，其中0≤r，r′≤N－1。下面，通過計算b^（m）_r與b^（m′）_r′的周期相關(guān)函數(shù)，分析矩陣集B內(nèi)各行向量之間的周期相關(guān)性。

R_b（m）r，b^（m′）_r′（λ）=∑Q－1q=0b^（m）_r，q·（b^（m′）_{r′，〈r+λ〉Q}）^*=

∑Q－1q=0a_q·f_{Zm+〈r〉Z，q}·a^*_〈q+λ〉Q·f^*_{Zm′+〈r′〉Z，〈q+λ〉Q}=

∑Q－1q=0f_{〈Zm+〈r〉Z+ξ〉Q，q}·f^*_{〈Zm′+〈r′〉Z+ξ〉Q，〈q+λ〉Q}=

R_{f〈Zm+〈r〉Z+ξ〉Q}，f_{〈Zm′+〈r′〉Z+ξ〉Q}（λ）=

σ（r，m，λ）·δ（Z（m－m′）+〈r〉_Z－〈r′〉_Z）（25）

式中：σ（r，m，λ）=Q（ω_Q）^{－〈Zm+〈r〉Z+ξ〉Q·λ}，0≤ξ，λ≤Q－1。

因此，R_b（m）r，b^（m′）_r′（λ）=0的充分條件是：δ（Z（m－m′）+〈r〉_Z－〈r′〉_Z）=0，即m=m′，且〈r－r′〉_Z≠0或m≠m′。

接下來，根據(jù)式（24）和矩陣集B內(nèi)各行向量之間的周期相關(guān)性，分析與S（z）對應(yīng)的集合S集內(nèi)和集間的周期相關(guān)性。

（1） 當(dāng)m=m′且0≤τ≤（Z－1）L時，q′=0，即0≤i′L+t′0≤（Z－1）L。由此可知，i′=Z－1且t′0=0或0lt;i′≤Z－2或i′=0。

若i′=Z－1且t′0=0，則〈i－（i+Z－1）〉_Z≠0。由此可知，式（24）為

R_sm，n，s_m′，n′（τ）=∑^N－1_i=0{C_gn，i，g_{n′，〈i+Z－1〉N}（0）·R_b（m）i，b^（m）_{〈i+Z－1〉N}（Δi）}=0。

若0lt;i′≤Z－2，則〈i－（i+i′）〉_Z≠0且〈i－（i+i′+1）〉_Z≠0。由此可知，式（24）為R_sm，n，s_{m′，n′}（τ）=0。

若i′=0，則〈i－（i+i′+1）〉_Z≠0。由此可知，式（24）為

R_sm，n，s_{m′，n′}（τ）=∑N-1i=0{C_gn，i，g_n′，i（t′0）·R_b（m）i，b^（m）i（0）}=

Q·∑N-1i=0C_gn，i，g_n′，i（t′0）

由于G（z）為PU矩陣，結(jié)合式（3）和式（10）可知，當(dāng)n=n′且0lt;t′0≤L－1或n≠n′且0≤t′0≤L－1時，有∑^N-1_i=0C_gn，i，g_n′，i（t′0）=0，則R_sm，n，s_m′，n′（τ）=0。

可以得出結(jié)論，與s_m（z）對應(yīng)的序列集S_m為（QNL，N，（Z－1）L+1）-ZCZ。

（2） 當(dāng)m≠m′時，根據(jù)式（25）有R_b（m）i，b^（m′）_{〈i+i′〉N}（〈q′+Δi〉_Q）=0，R_b（m）i，b^（m′）_{〈i+i′+1〉N}（〈q′+Δi〉_Q）=0，代入式（24）可得，R_sm，n，s_{m′，n′}（τ）=0。

可以得出結(jié)論，取自不同序列集S_m與S_m′的任意兩個序列s_m，n與s_m′，n′之間互不相關(guān)。由此說明，不同列向量s_m（z）與s_m′（z）分別對應(yīng)的序列集S_m與S_m′之間互不相關(guān)。

證畢

推論 1 將構(gòu)造方法1得到的所有ZCZ序列集進行合并，可以得到一個更大的ZCZ序列集（QNL，MN，（Z－1）L+1）-ZCZ，其中Q=MZ。

證明 由定理1可知，S（z）的列向量s_m（z）對應(yīng)的序列集包含N個序列，0≤m≤M－1，每個序列的長度為QNL，序列之間存在長度為（Z－1）L+1的ZCZ，且不同序列集之間互不相關(guān)。顯然，在M個序列集合并后，所得序列集序列個數(shù)為MN，序列長度不變，ZCZ長度為（Z－1）L+1，即（QNL，MN，（Z－1）L+1）-ZCZ。證畢

推論 2 由推論1得到的ZCZ序列集的性能參數(shù)ηgt;1/2，且隨著Z的增加，η越來越趨近于1。

證明 由引理2可知：

η=MN（（Z－1）L+1）QNL=MN（（Z－1）L+1）MZNL=

（Z－1）L+1ZLgt;（Z－1）LZL=1－1Z≥12（26）

可見，ηgt;1/2，且隨著Z的增加越來越趨近于1。證畢

由式（26）可知，當(dāng)L=1時，η=1。換言之，當(dāng)構(gòu)造方法中PU矩陣G（z）退化為酉矩陣時，所得S（z）對應(yīng)的集合為最優(yōu)不相關(guān)多子集ZCZ序列集。相反，當(dāng)Lgt;1時，1/2lt;ηlt;1。因此，隨著Z的增加，序列集的參數(shù)漸進最優(yōu)。

下面給出構(gòu)造方法1的實例。

根據(jù)引理4，取N=6，K=2，T=2，π=［1，0］，P^（t）=Q=I₆，構(gòu)造一個6×6階長度L=4的PU矩陣G（z），具體過程為

G（z）=（I₃A）·D（z^2π（1））·（I₃A）·D（z^2π（0））·U^（0）（27）

式中：I₃為3×3階單位矩陣;A為2×2階二元Hadamard矩陣;D（z）=I₃diag（1，z^－1）;U^（0）為6×6階BH（6，3），具體如下：

U^（0）=000000

001122

010221

012012

022101

021210（28）

式中：各元素值均為ω₃=e^2π－1/3的冪次。

為了表示方便，將所得PU矩陣G（z）的各多項式元素進行時域變換，得到以序列為元素的6×6階矩陣G，表示如下：

G=（0，0，0，3）（0，0，0，3）（0，0，2，5）（0，0，2，5）（0，0，4，1）（0，0，4，1）

（0，3，0，0）（0，3，0，0）（0，3，2，2）（0，3，2，2）（0，3，4，4）（0，3，4，4）

（0，0，0，3）（2，2，2，5）（0，0，4，1）（4，4，0，3）（4，4，2，5）（2，2，4，1）

（0，3，0，0）（2，5，2，2）（0，3，4，4）（4，1，0，0）（4，1，2，2）（2，5，4，4）

（0，0，0，3）（4，4，4，1）（4，4，2，5）（2，2，4，1）（0，0，2，5）（2，2，0，3）

（0，3，0，0）（4，1，4，4）（4，1，2，2）（2，5，4，4）（0，3，2，2）（2，5，0，0）（29）

其中，各元素是長度為4的序列，且序列元素為ω₆的冪次。

取M=2，Z=3，則Q=6。設(shè)V^（m）是2×2階矩陣，其中第m列的元素全部為1，其余全部為零，0≤m≤1;兩個延遲矩陣D（z）=D′（z）=diag（1，z^－1，…，z^－5），a=［1，1，1，1，1，1］。根據(jù)式（16），可以得到S（z）=［s₀（z），s₁（z）］，其中s_m（z）=［s_0，m（z），s_1，m（z），…，s_5，m（z）］T，m=0，1。表1給出了s_n，m（z）的時域變換序列s_m，n。為了表示方便，表中數(shù)值均為ω₆=e^2π－1/6的冪次。

序列s_m，n在部分時延（τ∈［0，40］）上的自相關(guān)函數(shù)幅度值（0≤n≤5，0≤m≤1）的分布如圖1所示;序列s_0，0與其余各序列s_m，n的周期互相關(guān)函數(shù)幅度值的分布如圖2所示。

由圖1可知，序列自相關(guān)函數(shù)的ZCZ長度為9，結(jié)合圖2中s_0，0與s_0，n（1≤n≤5）的互相關(guān)函數(shù)的ZCZ長度為9可知，s₀（z）對應(yīng)的序列集S₀為（144，6，9）-ZCZ。由圖2可知，s_0，0與s_1，n（0≤n≤5）的互相關(guān)函數(shù)處處為零，說明不同ZCZ集之間互不相關(guān)。根據(jù)定義3，S（z）對應(yīng)的集合S為不相關(guān)多子集ZCZ序列集，記為（144，［6，2］，［9，144］）-ZCZ。同時，根據(jù)引理2可以得到性能參數(shù)η=75%。

2.2 構(gòu)造方法2

利用已有的不相關(guān)多子集ZCZ序列集，包括構(gòu)造方法1的設(shè)計結(jié)果，可以進一步構(gòu)造出具有新的參數(shù)的不相關(guān)多子集ZCZ序列集，下面給出具體過程。

步驟 1 取N×N階長度為L的單模PU矩陣G（z），D（z）=diag（1，z^－1，…，z^{－（N－1）}）為N×N階延遲矩陣，D′（z）=diag（1，z^－1，…，z^{－（Q－1）}）為Q×Q階延遲矩陣。

步驟 2 取不相關(guān)多子集ZCZ序列集（Q，［N，M］，［Z，Q］）-ZCZ，并以ZCZ序列集的序列為行向量構(gòu)成含有M個N×Q階矩陣B^（m）的矩陣集B={B^（0），B^（1），…，B^（M－1）}。

步驟 3 構(gòu)造N×M階多項式矩陣S（z）=［s₀（z），s₁（z），…，s_M－1（z）］，具體為

s_m（z）=G（z）·D（z^L）·B^（m）·D′（z^NL）·aT（30）

式中：a=［1，1，…，1］是元素值全部為1的行向量，0≤m≤M－1。s_m（z）中每個元素具體表示為

s_m，n（z）=p_n·s_m（z）（31）

式中：p_n為N×N階單位矩陣的第n行的行向量，0≤n≤N－1。

定理 2 由構(gòu)造方法2生成的S（z）對應(yīng)的集合為不相關(guān)多子集ZCZ序列集（QNL，［N，M］，［（Z－1）NL+1，QNL］）-ZCZ，S（z）具有如下性質(zhì)：

（1） 列向量s_m（z）對應(yīng)的序列集為ZCZ序列集（QNL，N，（Z－1）NL+1）-ZCZ，0≤m≤M－1。

證明 由定理1的證明過程可知，由構(gòu)造方法1得到的多項式矩陣S（z）含有M個列向量，各列向量含有N個QNL次多項式。進一步地，由式（24）可知，一方面列向量s_m（z）對應(yīng)的序列集其集內(nèi)各序列的相關(guān)性與矩陣B^（m）內(nèi)各行向量之間的相關(guān)性有關(guān)，0≤m≤M－1。結(jié)合式（25）不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)B^（m）內(nèi)各行向量的ZCZ長度為Z時，所得序列集內(nèi)各序列的ZCZ長度為（Z－1）NL+1。另一方面，列向量s_m（z）與s_m′（z）對應(yīng)的序列集，其集間各序列的相關(guān)性取決于矩陣B^（m）與B^（m′）間不同行向量之間的相關(guān)性，0≤m≠m′≤M－1。由于矩陣集B由不相關(guān)多子集ZCZ序列集（Q，［N，M］，［Z，Q］）-ZCZ構(gòu)成，因此各矩陣的行向量之間互不相關(guān)。因此，不同列向量s_m（z）與s_m′（z）對應(yīng)的序列集之間互不相關(guān)。

由此可知定理2成立。證畢

（2） 不同ZCZ序列集之間互不相關(guān)。

構(gòu)造方法2基于PU矩陣，將多子集ZCZ序列集（Q，［N，M］，［Z，Q］）-ZCZ擴展為（QNL，［N，M］，［（Z－1）NL+1，QNL］）-ZCZ。與構(gòu)造方法1相比，構(gòu)造方法2取消了Z|N及Q=MZ的限定條件，因此參數(shù)更加靈活。此外，構(gòu)造方法2中的不相關(guān)多子集ZCZ序列集不僅可以由構(gòu)造方法1得到，也可以由文獻［2326］得到。

若兩種構(gòu)造方法中PU矩陣G（z）的元素為γ₀次單模多項式，矩陣集B的字符集大小為γ₁，則所得矩陣S（z）的各元素均為lcm（γ₀，γ₁）次單模多項式（lcm表示取最小公倍數(shù)），即序列均為lcm（γ₀，γ₁）相序列。

推論 3 將構(gòu)造方法2得到的所有序列進行合并，可以得到一個更大的ZCZ序列集（QNL，MN，（Z－1）NL+1）-ZCZ。

證明 由定理2可知，S（z）的列向量s_m（z）對應(yīng)的序列集包含N個序列，0≤m≤M－1，每個序列的長度為QNL，序列之間存在長度為（Z－1）L+1的ZCZ，且不同序列集之間互補相關(guān)。顯然，在M個序列集合并后，所得序列集序列個數(shù)為MN，序列長度不變，ZCZ長度為（Z－1）L+1，即（QNL，MN，（Z－1）L+1）-ZCZ。證畢

推論 4 由推論3得到的ZCZ序列集的性能參數(shù)η≤1－1/Z。

證明 根據(jù)構(gòu)造方法2的初始序列集（Q，［N，M］，［Z，Q］）-ZCZ的理論界，MN≤Q/Z。因此，所得序列集（QNL，MN，（Z－1）NL+1）-ZCZ的性能參數(shù)滿足：

η=MN［（Z－1）NL+1］QNL≤

（Z－1）NL+1ZNL≈1－1Z（32）

證畢

3 構(gòu)造方法的比較

表2列舉了已有不相關(guān)多子集ZCZ序列集的構(gòu)造方法，主要從構(gòu)造結(jié)果、性能參數(shù)、限定條件和構(gòu)造基礎(chǔ)幾個方面進行了分析與比較?？梢钥闯?，文獻［2326］均以DFT矩陣與完備序列為構(gòu)造基礎(chǔ)?？紤]到文獻［23］所得全部序列的數(shù)目MN不能超過DFT矩陣的階數(shù)L，文獻［24］利用KM×KM階正交矩陣突破了這一束縛，得到了KMN個序列，且在M=L/N的條件下，所得序列集達到最優(yōu)。然而，文獻［2324］的集內(nèi)ZCZ的長度均為M，且子集數(shù)目均為N，在N=L/M的限定條件下，M和N相互抑制且均無法超越DFT矩陣的階數(shù)L。如果同時增加M和N，則必然會增加字符集的大小。通過對完備序列進行交織運算，文獻［25］提出一類新的不相關(guān)多子集ZCZ序列集的構(gòu)造方法，但集內(nèi)ZCZ長度受限于完備序列的長度。為了在準同步碼分多址（quasi-synchronous code-division multiple-access， QS-CDMA）系統(tǒng)中靈活選擇ZCZ長度，文獻［26］仍對完備序列采用交織的方法，得到另外一類新的不相關(guān)多子集ZCZ序列集，其不足之處在于序列長度均為偶數(shù)。由表2可知，文獻［2526］的構(gòu)造方法均對完備序列長度有嚴格要求，由于目前已知的完備序列很少，因此這類方法在應(yīng)用中受到了極大的限制。此外，由文獻［2325］得到的序列長度均為集內(nèi)ZCZ的倍數(shù)。

相比之下，本文提出的基于PU矩陣的構(gòu)造方法具有以下優(yōu)勢。

（1） 在參數(shù)選取方面，具有更多的可選參數(shù)，如：序列數(shù)目不再受限于DFT矩陣的階數(shù)，ZCZ由Z和L共同決定，序列長度既可以是奇數(shù)，也可以為偶數(shù)，且不限定為ZCZ的倍數(shù)。本文實例中，由構(gòu)造方法1得到的序列集（144，［6，2］，［9，144］）-ZCZ無法由文獻［2326］得到。相對于構(gòu)造方法1，構(gòu)造方法2的參數(shù)選擇更加靈活，如放寬了構(gòu)造方法1對Z|N與Q=MZ的限定條件。

（2） 在構(gòu)造基礎(chǔ)方面，相對于長度受限的完備序列，利用PU矩陣的多樣性可以得到更多數(shù)目的目標序列集。

（3） 在參數(shù)的性能方面，表2中構(gòu)造結(jié)果的參數(shù)達到最優(yōu)均需要滿足不同的條件。當(dāng)PU矩陣長度為1時，由本文構(gòu)造方法1可以得到最優(yōu)不相關(guān)多子集ZCZ序列集。不僅如此，構(gòu)造方法1還保證了性能參數(shù)的下限不低于1/2，且隨著Z的增加接近最優(yōu)。與構(gòu)造方法1類似，構(gòu)造方法2的性能參數(shù)也隨著Z值增加趨近于1。不同的是，構(gòu)造方法2的性能參數(shù)取決于初始不相關(guān)多子集ZCZ序列集。

4 結(jié) 論

本文針對Das等^［2］提出的基于PU矩陣構(gòu)造多子集ZCZ序列集的問題，給出了兩種不相關(guān)多子集ZCZ序列集的構(gòu)造方法，從而建立了多子集ZCZ序列集與PU矩陣的聯(lián)系。構(gòu)造方法1以DFT矩陣為構(gòu)造基礎(chǔ)，構(gòu)造結(jié)果的性能參數(shù)ηgt;1/2。構(gòu)造方法2對方法1進行了擴展，參數(shù)更加靈活。利用BH矩陣的等價形式可以提高PU矩陣的多樣性，進而產(chǎn)生更多數(shù)目的多子集ZCZ序列集。將不相關(guān)多子集ZCZ序列集應(yīng)用到多小區(qū)環(huán)境下的準同步/異步CDMA系統(tǒng)中，不僅可以消除小區(qū)內(nèi)一定時延范圍的信號干擾，而且可以完全消除相鄰小區(qū)間的信號干擾，進而為序列設(shè)計在干擾抑制中的應(yīng)用提供理論依據(jù)。

參考文獻

［1］ DENG X M， FAN P Z. Spreading sequence sets with zero correlation zone［J］. Electronics Letters， 2000， 36（11）： 993994.

［2］ DAS S， PARAMPALLI U， MAJHI S， et al. Near-optimal zero correlation zone sequence sets from paraunitary matrices［C］∥Proc.of the IEEE International Symposium on Information Theory， 2019： 22842288.

［3］ ZHANG D. Zero correlation zone sequences from a unified construction of perfect polyphase sequences［C］∥Proc.of the IEEE International Symposium on Information Theory， 2019： 22692273.

［4］ ZHANG D， PARKER M G， HELLESETH T. Polyphase zero correlation zone sequences from generalised bent functions［J］. Cryptography and Communications， 2020， 12（3）： 325335.

［5］ KUMAR N， MAJHI S， SARKAR P， et al. A direct construction of prime-power-length zero-correlation zone sequences for QS-CDMA system［EB/OL］. ［20220706］. http：∥dx.doi.org/10.48550/arXiv.2111.06675.

［6］ 陳曉玉， 高茜超， 李永杰. 最佳零相關(guān)區(qū)序列集構(gòu)造法［J］. 通信學(xué)報， 2020， 41（8）： 215222.

CHEN X Y， GAO X C， LI Y J. Construction of optimal zero correlation zone sequence set［J］. Journal on Communications， 2020， 41（8）： 215222.

［7］ XIE C L， WANG X F， ZHANG L P. Construction and assignment of orthogonal sequences and zero correlation zone sequences over GF（p）［J］. IEEE Access， 202 10： 107942107948.

［8］ HAN C G， HASHIMOTO T， SUEHIRO N. A novel construction method of zero-correlation zone sequences based on complete complementary codes［C］∥Proc.of the IEEE International Symposium on Information Theory， 2008： 19311934.

［9］ LI Y B， TIAN L Y， ZENG Y H. Spectrally-1-constrained ZCZ sequences for MIMO-OFDM channel estimation over non-contiguous carriers［J］. IEEE Communications Letters， 2023， 27（2）： 442446.

［10］ CHEN C Y， WU S W. Golay complementary sequence sets with large zero correlation zones［J］. IEEE Trans.on Communications， 2018， 66（11）： 51975204.

［11］ YU N Y. Binary Golay spreading sequences and reed-muller codes for uplink grant-free NOMA［J］. IEEE Trans.on Communications， 202 69（1）： 276290.

［12］ GU Z， ZHOU Z C， ADHIKARY A R， et al. Asymptotically optimal Golay-ZCZ sequence sets with flexible length［J］. Chinese Journal of Electronics， 2023， 32（4）： 806820.

［13］ PAI C Y， LIN Y J， CHEN C Y. Optimal and almost-optimal Golay-ZCZ sequence sets with bounded PAPRS［J］. IEEE Trans.on Communications， 2023， 71（2）： 728740.

［14］ FANG Q P， WANG Z L. A note on “optimum sets of interference-free sequences with zero autocorrelation zone”［C］∥Proc.of the IEEE 10th International Conference on Information， Communication and Networks， 2022： 436443.

［15］ GU Z， ZHOU Z C， MESNAGER S， et al. A new family of polyphase sequences with low correlation［J］. Cryptography and Communications， 202 14（1）： 135144.

［16］ TANG X H， FAN P Z， MATSUFUJI S. Lower bounds on correlation of spreading sequence set with low or zero correlation zone［J］. Electronics Letters， 2000， 36（6）： 551552.

［17］ TANG X H， FAN P Z， LINDNER J. Multiple binary ZCZ sequence sets with good cross-correlation property based on complementary sequence sets［J］. IEEE Trans.on Information Theory， 2010， 56（8）： 40384045.

［18］ TORII H， MATSUMOTO T， NAKAMURA M. A new method for constructing asymmetric ZCZ sequence sets［J］. IEICE Transaction on Fundamentals of Electronics， Communications and Computer Sciences， 201 E95-A（9）： 15771586.

［19］ CHEN X Y， GAO X C， PENG X Y. Construction of multiple optimal polyphase zero correlation zone sequence sets with inter-set zero cross-correlation zone［J］. IEEE Communications Letters， 202 25（9）： 27952799.

［20］ CUI L， CHEN X Y， LI Y B. A new construction of asymmetric ZCZ sequence sets［J］. IEICE Transaction on Fundamentals of Electronics， Communications and Computer Sciences， 202 E105-A（10）： 13921400.

［21］ 李玉博， 劉濤， 陳曉玉. 幾乎最優(yōu)二元多子集零相關(guān)區(qū)序列集構(gòu)造法［J］. 電子與信息學(xué)報， 2018， 40（3）： 705712.

LI Y B， LIU T， CHEN X Y. Construction of almost optimal binary multiple zero correlation zone sequence sets［J］. Journal of Electronics and Information Technology， 2018， 40（3）： 705712.

［22］ WANG Z， REN R B， YE Z F， et al. A new construction of ZCZ sequence sets with inter-set zero cross-correlation zone［C］∥Proc.of the 10th International Workshop on Signal Design and its Applications in Communications， 2022.

［23］ TORII H， MATSUMOTO T， NAKAMURA M. Optimal polyphase asymmetric ZCZ sets including uncorrelated sequences［J］. Journal of Signal Processing， 201 16（6）： 487494.

［24］ TORII H， MATSUMOTO T， NAKAMURA M. Extension of methods for constructing polyphase asymmetric ZCZ sequence sets［J］. IEICE Transaction on Fundamentals of Electronics， Communications and Computer Sciences， 2013， E96-A（11）： 22442252.

［25］ WANG L Y， ZENG X L， WEN H. Asymmetric ZCZ sequence sets with inter-subset uncorrelated sequences via interleaved technique［J］. IEICE Transaction on Fundamentals of Electronics， Communications and Computer Sciences， 2017， E100-A（2）： 751756.

［26］ WANG L Y， ZHANG G Y， WEN H， et al. An asymmetric ZCZ sequence set with inter-subset uncorrelated property and flexible ZCZ length［J］. Advances in Mathematics of Communications， 2018， 12（3）： 541552.

［27］ DAS S， MAJHI S， LIU Z L. A novel class of complete complementary codes and their applications for APU matrices［J］. IEEE Signal Processing Letters， 2018， 25（9）： 13001304.

［28］ DAS S， MAJHI S， BUDIIN S， et al. A new construction framework for polyphase complete complementary codes with various lengths［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2019， 67（10）： 26392648.

［29］ TIAN L Y， LI Y B， ZHOU Z C， et al. Two classes of Z-complementary code sets with good cross-correlation subsets via paraunitary matrices［J］. IEEE Trans.on Communications， 202 69（5）： 29352947.

［30］ DAS S， BUDISIN S， MAJHI S， et al. A multiplier-free generator for polyphase complete complementary codes［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2018， 66（5）： 11841196.

［31］ HEIMILLER R. Phase shift pulse codes with good periodic correlation properties［J］. IRE Transaction on Information Theory， 196 7（4）： 254257.

作者簡介

崔 莉（1979—），女，講師，博士，主要研究方向為擴頻序列設(shè)計。

許成謙（1961—），男，教授，博士，主要研究方向為通信理論、編碼理論、信號設(shè)計。