摘 要：現(xiàn)有的基于各類統(tǒng)計模型的現(xiàn)代試驗設(shè)計（MDOE）方法存在計算量大、建模較復(fù)雜導(dǎo)致整體風(fēng)洞試驗效率下降的不足。針對這一問題，本文提出一種將多項式響應(yīng)面模型與現(xiàn)代試驗設(shè)計相結(jié)合的優(yōu)化設(shè)計方法。采用中心復(fù)合設(shè)計在自變量區(qū)間中劃分試驗點并進行風(fēng)洞試驗獲取氣動力，利用最小二乘法確定多項式待定系數(shù)，構(gòu)建響應(yīng)面模型，并進行方差分析及顯著性檢驗，最后選取了5個傳統(tǒng)單變量（OFAT）方法試驗點檢驗響應(yīng)面模型的擬合精度。結(jié)果表明，與傳統(tǒng)單變量風(fēng)洞試驗方法相比，本文提出的基于多項式響應(yīng)面MDOE的低速風(fēng)洞試驗方法具有建模容易、計算量較小、預(yù)測校準的優(yōu)點，可使試驗樣本點減少50%左右，能夠有效提升風(fēng)洞試驗效率。

關(guān)鍵詞：多項式響應(yīng)面模型； MDOE； 風(fēng)洞試驗； 中心復(fù)合設(shè)計； 方差分析

中圖分類號：V211.52 文獻標識碼：A DOI：10.19452/j.issn1007-5453.2024.06.014

一直以來，風(fēng)洞試驗研究都是探索飛行器氣動機理、驗證氣動理論和優(yōu)化氣動設(shè)計采用的主要手段之一[1]。目前，風(fēng)洞試驗普遍采用的試驗方法是調(diào)整風(fēng)洞流場各參數(shù)到預(yù)定值，然后在只改變模型的一個變量（如俯仰角），同時鎖定試驗?zāi)Ｐ推溆嘧藨B(tài)變量的條件下，獲取隨該變量變化的模型氣動性能，這就是傳統(tǒng)的單變量（OFAT）方法。OFAT方法是一種基于數(shù)據(jù)、以數(shù)據(jù)為中心的方法，需要進行的風(fēng)洞試驗次數(shù)較多而導(dǎo)致試驗成本高效率低[2]。

1997年，美國國家航空航天局（NASA）蘭利研究中心Deloach[3]首次將現(xiàn)代試驗設(shè)計（MDOE）方法應(yīng)用到風(fēng)洞試驗領(lǐng)域，減少了試驗樣本點和吹風(fēng)時間。MDOE方法與一次只改變一個自變量的OFAT方法不同，MDOE方法一次要改變兩個或兩個以上的自變量，通過合理劃分試驗點，達到縮短試驗周期的目的[4]。

國外Underwood[5]在NASA蘭利研究中心對跨聲速風(fēng)洞進行了基于方差分析模型的MDOE方法壁壓校準研究，提高了試驗效率和校準精度。Rhode[6]利用基于穩(wěn)健回歸模型的MDOE方法和OFAT方法分別對風(fēng)洞進行校準，前者有效拓寬了風(fēng)洞運行包線內(nèi)的校準范圍并降低了校準周期和成本。Deloach[7]在NASA蘭利研究中心統(tǒng)一規(guī)劃風(fēng)洞采用基于克里金模型的MDOE方法改進導(dǎo)彈類模型風(fēng)洞試驗質(zhì)量和生產(chǎn)率問題，與OFAT方法相比，MDOE方法在確保數(shù)據(jù)精度的情況下，縮短了試驗周期。Landman[8]利用MDOE方法結(jié)合徑向基模型，開展了天平校準研究，結(jié)果表明，MDOE方法校準所需的加載量較OFAT方法大幅減少，MDOE方法校準點和驗證點準度較好。國內(nèi)唐志共等[9]提出了基于三角級數(shù)模型的MDOE方法，并開展了風(fēng)洞試驗，結(jié)果表明，該方法能滿足模型預(yù)測精度，減少試驗樣本點。張江等[10]針對飛行器氣動規(guī)律存在多變量耦合的情況，提出了基于非參數(shù)模型的MDOE方法，研究表明，該方法所需的試驗點要少于OFAT方法的試驗點，且構(gòu)建的模型能較為準確地反應(yīng)飛行器氣動規(guī)律。MDOE方法基于試驗數(shù)據(jù)建立統(tǒng)計模型來獲取飛行器氣動規(guī)律，現(xiàn)有的基于各類統(tǒng)計模型的MDOE風(fēng)洞試驗方法[11-17]，盡管能有效減少試驗樣本點數(shù)量，但由于統(tǒng)計模型表達式復(fù)雜，求解較為困難，從而導(dǎo)致整體風(fēng)洞試驗效率并未明顯提高。

因此，本文進行了基于多項式響應(yīng)面MDOE的低速風(fēng)洞試驗方法研究，通過中心復(fù)合設(shè)計方法選取少量試驗點，建立二階多項式響應(yīng)面模型。同時，加入OFAT方法試驗點驗證模型的擬合精度。結(jié)果表明，與傳統(tǒng)單變量方法相比，基于多項式響應(yīng)面MDOE的風(fēng)洞試驗方法，能減少試驗樣本點和模型擬合時間，有效地提升風(fēng)洞試驗效率。

1 多項式響應(yīng)面MDOE方法

1.1 多項式響應(yīng)面模型

1.2 MDOE方法

1.2.1 區(qū)間分層

試驗以某飛行器機身作為試驗對象，選取以下典型狀態(tài)及控制參數(shù)范圍：試驗風(fēng)速為16m/s，試驗俯仰角α=-20°～ 20°，偏航角β=0°～20°，根據(jù)OFAT方法劃分出試驗樣本點，如圖1所示，其中紅點為試驗狀態(tài)。

為了避免多項式響應(yīng)面模型中增加高階項，引入?yún)^(qū)間分層技術(shù)，將俯仰角區(qū)間劃分為兩層，如圖2、表1所示。

1.2.2 試驗點數(shù)量

式中，p為多項式項數(shù)；d為多項式階次；k為多項式元數(shù)。

由于飛行器氣動規(guī)律一般為非線性，為了獲得較為準確的響應(yīng)面，采用二階多項式響應(yīng)面模型來逼近。本文用二元二次多項式響應(yīng)面模型對兩個區(qū)間進行建模，即k=2，d=2，最小試驗點數(shù)量代入式（2）得p=6。由于多項式響應(yīng)面模型中存在對模型精度影響較大的點，這些點會引起“杠桿效應(yīng)”，放大整個多項式響應(yīng)面模型的誤差，因此需要增加部分點改善杠桿效應(yīng)。為保證響應(yīng)面預(yù)測值在平均95%置信概率水平下與自變量空間中任一點的真實結(jié)果不出現(xiàn)顯著差異，試驗點數(shù)量N需要滿足[4]

在本文設(shè)計的試驗中，一個二維數(shù)據(jù)空間需達到10個（N=1.625×6=9.75）就可以使預(yù)測值落在95%置信區(qū)間內(nèi)。

得出自變量空間試驗樣本點數(shù)量，需要進行試驗設(shè)計確定試驗點取值，使多項式響應(yīng)面有較好的擬合精度。

1.2.3 試驗點分布

中心復(fù)合設(shè)計由Box和Wilson于1951年提出，中心復(fù)合設(shè)計（CCD）方法能夠估計線性以及二階交互項的效應(yīng)，是一種高效的試驗設(shè)計方法[19]。本次試驗采用CCD對經(jīng)過區(qū)間分層后的設(shè)計空間進行劃分，由于區(qū)間一和區(qū)間二均有10個試驗樣本點，所以依據(jù)設(shè)計中心能抑制預(yù)測方差，將在中心處進行兩次試驗。圖3共有15個點，其中5個點重復(fù)了兩次，點旁邊的數(shù)字表示重復(fù)次數(shù)，因此總共20個試驗點。

2 試驗設(shè)備

（1） 風(fēng)洞

本次試驗在中國直升機設(shè)計研究所氣動試驗臺進行，試驗臺是一座8m×6m開口直流式低速風(fēng)洞。試驗段風(fēng)速范圍為5～50m/s，局部氣流偏角△α≤ 0.5°，△β≤ 0.5°，湍流度ε≤ 0.5°。

（2） 模型

本次試驗風(fēng)速為16m/s，俯仰角α=-20°～20°，偏航角β= 0°～20°，試驗對象為某飛行器機身模型，模型試驗在低速風(fēng)洞中進行，為后續(xù)模型樣機研制提供技術(shù)支持，同時為計算流體力學(xué)（CFD）及飛行動力學(xué)分析提供技術(shù)參考。

（3） 數(shù)據(jù)采集

依據(jù)選取的試驗樣本點，采集各試驗狀態(tài)下模型作用在天平上的氣動力（阻力、升力和側(cè)向力），數(shù)據(jù)采集設(shè)備使用六分量盒式天平測量模型氣動力，試驗風(fēng)速穩(wěn)定后，控制模型俯仰角和偏航角到達試驗點狀態(tài)，采集天平信號，每個狀態(tài)下保證獲取10s穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)。

3 多項式響應(yīng)面建模及分析

3.1 多項式響應(yīng)面模型構(gòu)建

多項式響應(yīng)面模型在區(qū)間交接處（俯仰角為0°）時的擬合誤差存在部分差異，為確保響應(yīng)面模型的連續(xù)性，只能選用一區(qū)間或二區(qū)間中的一個模型。由于一區(qū)間的擬合誤差相較于二區(qū)間更小，因而將0°俯仰角歸入一區(qū)間，升力、阻力和側(cè)向力的最終響應(yīng)面模型如圖4所示。

3.2 方差分析及顯著性檢驗

基于多項式響應(yīng)面MDOE方法建立響應(yīng)面模型后，采取方差分析及顯著性檢驗，驗證響應(yīng)面模型的可靠性以及各變量之間的顯著程度[16]。在置信度為0.05的情況下，得到機身氣動力響應(yīng)面模型的方差分析表，見表2～表4（AdjSS、AdjMS、F、P分別為調(diào)整平方和、離差平方和、檢驗統(tǒng)計量和顯著性水平）。

各氣動力響應(yīng)面模型的P值均小于0.05，所以模型為“高度顯著”，驗證了模型的可靠性。同時，觀察各項效應(yīng)的顯著性，可以看出俯仰角在升力響應(yīng)面模型中高度顯著（P<0.05），偏航角、偏航角×偏航角在側(cè)向力響應(yīng)面模型中高度顯著，俯仰角、偏航角、俯仰角×俯仰角在阻力響應(yīng)面模型中高度顯著。

3.3 模型驗證

在β=0°的多項式響應(yīng)面模型上選取5個OFAT方法試驗點檢驗其是否能夠落在擬合曲線的95%置信區(qū)間內(nèi)，驗證多項式響應(yīng)面模型的有效性，檢驗結(jié)果如圖5所示，其中紅色曲線代表上下置信區(qū)間，藍色曲線代表本試驗擬合曲線，黑點代表OFAT方法檢驗點。

從圖5中看出，基本所有的點都能落入95%置信區(qū)間內(nèi)，說明基于多項式響應(yīng)面MDOE方法構(gòu)建的響應(yīng)面模型精度足夠。

4 結(jié)論

本文提出一種基于多項式響應(yīng)面MDOE的低速風(fēng)洞試驗方法，通過中心復(fù)合設(shè)計劃分少量試驗樣本點，建立具有較高精度的二次多項式響應(yīng)面模型，驗證了多項式響應(yīng)面MDOE方法在風(fēng)洞試驗領(lǐng)域的可行性，并得出了以下結(jié)論：

（1） 與傳統(tǒng)單變量方法相比，通過多項式響應(yīng)面MDOE方法對風(fēng)洞機身試驗進行優(yōu)化設(shè)計，具有建模容易、計算量較小、預(yù)測較準的優(yōu)點，使風(fēng)洞試驗樣本點減少了50%，顯著提高了試驗效率。

（2） 風(fēng)洞試驗結(jié)果通過多項式響應(yīng)面模型表示，能任意獲得自變量空間內(nèi)試驗樣本點響應(yīng)值，通過以點帶面，可插值得到更多的數(shù)據(jù)。

（3） 方差分析及顯著性檢驗結(jié)果表明，基于多項式響應(yīng)面MDOE方法構(gòu)建的模型，能有效反應(yīng)出俯仰角和偏航角對飛行器基本氣動特性的影響規(guī)律。

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Research on Low Speed Wind Tunnel Test Method Based on MDOE of Polynomial Response Surface

Jiang Jiawei， Cheng Qiyou， Liu Zhengjiang， Chen Weixing

National Key Laboratory of Helicopter Aeromechanics， China Helicopter Research and Development Institute，Jingdezhen 333001， China

Abstract： The existing modern design of experiment （MDOE） methods based on various statistical models have a large amount of calculation and complex modeling， which leads to a decrease in the efficiency of the overall wind tunnel test. In order to solve this problem， an optimization design method combining polynomial response surface model with modern design of experiment is proposed in this paper. The central composite design was used to divide the test points in the independent variable interval and the wind tunnel test was carried out to obtain the aerodynamic force. The polynomial undetermined coefficients were determined by the least square method， and the response surface model was constructed. The analysis of variance and significance test were carried out. Finally， five traditional single variable （OFAT） method test points were selected to test the fitting accuracy of the response surface model. The results show that compared with the traditional univariate wind tunnel test method， the low-speed wind tunnel test method based on polynomial response surface MDOE proposed in this paper has the advantages of easy modeling， small calculation amount and prediction calibration， which can reduce the test sample points by about 50% and effectively improve the efficiency of wind tunnel test.

Key Words： polynomial response surface model； MDOE； wind tunnel test； central composite design； analysis of variance