摘 要：研究立方非線性剛度單胞陣列形成一維周期結(jié)構(gòu)后的色散特性，對(duì)飛機(jī)壁板振動(dòng)控制的研究具有一定的促進(jìn)作用。首先構(gòu)建一維線性剛度周期結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，基于布洛赫理論（Bloch theorem）推導(dǎo)了其色散方程，并對(duì)其色散特性和彈性波傳播現(xiàn)象進(jìn)行分析。進(jìn)而建立含立方非線性剛度單胞的一維周期結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，利用攝動(dòng)法推導(dǎo)該周期結(jié)構(gòu)的色散方程，分析非線性剛度的軟、硬和激勵(lì)振幅對(duì)其色散特性以及彈性波傳播產(chǎn)生的影響。最后考慮到飛行器壁板復(fù)雜工作環(huán)境，避免攝動(dòng)法僅適用于弱非線性的局限性，給出含立方非線性剛度一維周期結(jié)構(gòu)色散關(guān)系的諧波平衡法的求解過(guò)程，對(duì)比兩種方法的求解結(jié)果。本文為利用非線性周期結(jié)構(gòu)對(duì)飛行器壁板進(jìn)行振動(dòng)控制的進(jìn)一步研究奠定基礎(chǔ)，對(duì)非線性聲子晶體低頻減振研究也具有一定的促進(jìn)作用。

關(guān)鍵詞：周期結(jié)構(gòu)； 色散特性； 攝動(dòng)法； 諧波平衡法； 非線性

中圖分類號(hào)：V223 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.19452/j.issn1007-5453.2024.06.008

基金項(xiàng)目： 航空科學(xué)基金（20161553016）；廣東省基礎(chǔ)與應(yīng)用基礎(chǔ)研究基金（2022A1515011497）；西安交通大學(xué)復(fù)雜服役環(huán)境重大裝備結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與壽命全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放課題基金（SV2023-KF-19）

壁板是飛行器中常見(jiàn)的一種結(jié)構(gòu)形式，在航空航天領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用[1-3]。在外激勵(lì)或氣動(dòng)力作用下，壁板結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，帶來(lái)諸多危害[4]。一方面，飛行器壁板結(jié)構(gòu)振動(dòng)會(huì)影響儀器儀表的正常工作，甚至產(chǎn)生疲勞問(wèn)題，損壞壁板結(jié)構(gòu)或減少其使用壽命；另一方面，飛行器壁板振動(dòng)所輻射的噪聲還會(huì)增大艙內(nèi)的噪聲量級(jí)，影響乘員舒適度。因此，如何有效地控制壁板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)是現(xiàn)代飛行器發(fā)展亟須解決的關(guān)鍵問(wèn)題之一。

經(jīng)過(guò)近百年的研究，研究人員已經(jīng)提出了多種對(duì)振動(dòng)控制的被動(dòng)和主動(dòng)的方法[5]。傳統(tǒng)的動(dòng)力吸振器通常采用線性剛度設(shè)計(jì)，只有很窄的吸振頻帶寬度，為了克服這一缺點(diǎn)，Gendelman[6]提出了一種立方非線性剛度振子結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)具有質(zhì)量小、吸振頻帶寬、吸振效率高、能量傳遞速度快及靶向能量傳遞等優(yōu)點(diǎn)，這樣的非線性振子稱為非線性能量阱（NES）。在結(jié)構(gòu)中，振動(dòng)通常以彈性波的形式傳播[7]，對(duì)結(jié)構(gòu)或材料中的彈性波行為進(jìn)行調(diào)控是實(shí)現(xiàn)振動(dòng)控制的一種有效手段，從20世紀(jì)50—60年代起，研究人員就對(duì)周期結(jié)構(gòu)中的波傳播理論展開(kāi)研究，試圖利用周期結(jié)構(gòu)作為減振單元用于振動(dòng)控制[8]。具有周期性特征的結(jié)構(gòu)廣泛存在于航空航天、機(jī)械和土木工程中，如飛機(jī)中的加筋板[9-11]、渦輪葉片[12]、抗沖擊泡沫[13]、多層建筑和多跨橋梁[14-16]等。周期結(jié)構(gòu)具有特殊的色散關(guān)系，只有頻率處于特定的“傳播區(qū)”，諧波才可以無(wú)損耗地傳播，否則即使在沒(méi)有阻尼的情況下，諧波也會(huì)因?yàn)椴祭裆⑸浠蚓钟蚬舱袼p。如果將這種立方非線性剛度單元陣列形成周期結(jié)構(gòu)（簡(jiǎn)稱立方非線性剛度周期結(jié)構(gòu)），將同時(shí)具有非線性和周期特性，進(jìn)而可以利用非線性單元的帶寬特點(diǎn)和周期結(jié)構(gòu)的色散特性實(shí)現(xiàn)更加優(yōu)良的振動(dòng)控制性能，然而鮮有將關(guān)于立方非線性剛度周期結(jié)構(gòu)應(yīng)用于壁板結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制的研究。

對(duì)于周期結(jié)構(gòu)的研究核心在于對(duì)結(jié)構(gòu)中的波傳播特性進(jìn)行研究，為求解方便，大多將其等效為彈簧質(zhì)量鏈進(jìn)行研究[17-18]。對(duì)于一維線性剛度周期結(jié)構(gòu)，高明等[19]針對(duì)三振子周期單元，通過(guò)引入奇異性理論分析了其色散曲線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，進(jìn)而確定了帶隙范圍。武恒星等[20]給出了含雙質(zhì)量諧振單元的聲學(xué)超材料桿中彈性波傳播色散關(guān)系的解析解，發(fā)現(xiàn)通過(guò)引入雙質(zhì)量諧振單元，進(jìn)而在諧振單元中引入阻尼，可以產(chǎn)生較寬的帶隙。盡管線性剛度周期結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出許多有趣的波傳播特性，但也存在很多限制，如某些情況下小位移假設(shè)不適用等[21]。非線性周期性結(jié)構(gòu)具有豐富的波傳播特性，有望突破低頻寬帶振動(dòng)的限制。位琳帥[22]研究了雙質(zhì)量顆粒鏈的色散特性，并在顆粒鏈中引入了缺陷，發(fā)現(xiàn)此時(shí)波的傳播會(huì)表現(xiàn)出類似于二極管的特性。Narisetti等[23]基于攝動(dòng)法，研究了具有立方非線性剛度的不同周期結(jié)構(gòu)的色散特性。盡管關(guān)于非線性周期結(jié)構(gòu)有一定研究，但立方非線性方程求解一般比較困難，非線性剛度周期結(jié)構(gòu)中波傳播的研究主要集中于顆粒周期結(jié)構(gòu)的3/2次冪非線性剛度，關(guān)于立方非線性剛度周期結(jié)構(gòu)中的波傳播問(wèn)題研究較少。

現(xiàn)有關(guān)于立方非線性剛度周期結(jié)構(gòu)的研究主要關(guān)注弱非線性，因此其求解都采用Narisetti等[23]提出的攝動(dòng)法。攝動(dòng)法僅適用于弱非線性，諧波平衡法既適用于弱非線性，又適用于強(qiáng)非線性，使用時(shí)不需要考慮非線性強(qiáng)度的問(wèn)題[24]。但是關(guān)于非線性強(qiáng)度的強(qiáng)、弱只是相對(duì)的，沒(méi)有明確定義，因此攝動(dòng)法的適用環(huán)境并不明確。對(duì)此，本文基于立方非線性剛度周期結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)分析了一維線性剛度周期結(jié)構(gòu)和一維立方非線性剛度周期結(jié)構(gòu)的色散特性，給出了諧波平衡法求解立方非線性剛度周期結(jié)構(gòu)的過(guò)程，對(duì)比分析了攝動(dòng)法和諧波平衡法的求解結(jié)果。本文通過(guò)研究立方非線性剛度周期結(jié)構(gòu)的色散特性，將非線性和周期結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)有效結(jié)合起來(lái)，同時(shí)，通過(guò)諧波平衡法無(wú)須考慮周期結(jié)構(gòu)非線性強(qiáng)度的特性，避免了攝動(dòng)法的適用環(huán)境問(wèn)題，具有普適性，為基于非線性振子周期結(jié)構(gòu)的飛行器壁板振動(dòng)控制的進(jìn)一步研究奠定了前期基礎(chǔ)。

1 一維立方非線性剛度周期結(jié)構(gòu)模型

磁力因其特有的非線性特性，被廣泛應(yīng)用于NES的構(gòu)建[25]，本文利用稀土釹鐵硼圓形帶孔磁鐵實(shí)現(xiàn)立方非線性剛度。考慮圖1（a）所示的單胞結(jié)構(gòu)，其中相鄰磁鐵間表現(xiàn)為互斥作用，懸浮磁鐵在兩個(gè)固定磁鐵之間移動(dòng)。在忽略重力的情況下，固定磁鐵與懸浮磁鐵之間的磁力是相互對(duì)稱的，所以建立如圖1（b）所示的試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，以固定磁鐵中間位置為位移零點(diǎn)，通過(guò)改變砝碼重量改變懸浮磁鐵的位置，擬合得出力—位移曲線如圖1（c）所示。根據(jù)已有研究[26]，力—位移曲線的擬合結(jié)果可以表達(dá)為k1x+k3x3的多項(xiàng)式形式，其中k1表征線性剛度，k3表征立方非線性剛度。當(dāng)k3>0時(shí)為硬非線性剛度，當(dāng)k3<0時(shí)為軟非線性剛度[27]。通過(guò)擬合結(jié)果可見(jiàn)單胞結(jié)構(gòu)表現(xiàn)為典型的立方非線性剛度形式。

利用該非線性剛度單胞結(jié)構(gòu)，將其陣列形成周期結(jié)構(gòu)，如圖2所示。當(dāng)周期結(jié)構(gòu)受到小振幅激勵(lì)時(shí)，懸浮磁鐵在平衡位置附近振動(dòng)，剛度表現(xiàn)為線性；當(dāng)周期結(jié)構(gòu)受到的激勵(lì)振幅較大時(shí)，懸浮磁鐵偏離零點(diǎn)位置較遠(yuǎn)，剛度表現(xiàn)為立方非線性特性。考慮周期結(jié)構(gòu)的波傳播特性，研究該單胞陣列形成的立方非線性剛度周期結(jié)構(gòu)的色散特性，有益于下一步利用該周期結(jié)構(gòu)對(duì)振動(dòng)控制的研究。

2 一維線性剛度周期結(jié)構(gòu)波傳播特性分析

當(dāng)受到小振幅激勵(lì)時(shí)，可將陣列形成的周期結(jié)構(gòu)等效為一維線性單原子彈簧質(zhì)量鏈（簡(jiǎn)稱線性單原子鏈），如圖3所示，圖中虛線框所示為一個(gè)單胞。

單胞由單個(gè)彈簧和集中質(zhì)量串聯(lián)而成，圖4為圖3所對(duì)應(yīng)模型的布里淵區(qū)及不可約布里淵區(qū)，因?yàn)樯㈥P(guān)系具有對(duì)稱性，通常一維模型只需考慮布里淵區(qū)的一半，即不可約布里淵區(qū)，就可以描述模型的色散特性。

根據(jù)式（7）可以看出，對(duì)于線性單原子鏈，其色散與單胞的固有頻率和外激勵(lì)頻率有關(guān)，與其他因素?zé)o關(guān)。線性單原子鏈色散曲線如圖5所示，其中ql在圖中用μ來(lái)表示?？梢?jiàn)當(dāng)Ω<2時(shí)，即當(dāng)激勵(lì)頻率低于單胞固有頻率兩倍時(shí)，彈性波在該線性剛度周期結(jié)構(gòu)中傳播呈現(xiàn)通帶，可以無(wú)損耗地傳播。當(dāng)Ω>2時(shí)，沒(méi)有對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)波解，即為禁帶，此時(shí)波的衰減可以用給定頻率下通過(guò)式（7）求得的波數(shù)的虛部來(lái)表征。當(dāng)Ω=2時(shí)的頻率，即兩倍固有頻率，可以稱作線性單原子鏈波傳播的截止頻率。

根據(jù)式（7），繪出μ的實(shí)部（傳播常數(shù)）和虛部（衰減常數(shù)）隨Ω變化的曲線，分別如圖6和圖7所示。圖6為波數(shù)的實(shí)部，在Ω≤2時(shí)，其與圖5中的色散曲線相對(duì)應(yīng)，當(dāng)Ω>2時(shí)，其為恒定值π；圖7為波數(shù)的虛部，在Ω≤2時(shí)等于零，在Ω>2時(shí)隨著Ω的增大而增大，這表明通過(guò)單原子彈簧質(zhì)量鏈傳播的波的空間衰減率也隨著激勵(lì)頻率的增大而增大。

3 一維立方非線性剛度周期結(jié)構(gòu)波傳播特性分析

3.1 攝動(dòng)法

當(dāng)受到激勵(lì)振幅較大時(shí)，根據(jù)圖1（c）的力—位移曲線可知，單胞表現(xiàn)為立方非線性形式，此時(shí)可以將單胞陣列形成的周期結(jié)構(gòu)等效為如圖8所示的一維非線性單原子彈簧質(zhì)量鏈（以下簡(jiǎn)稱非線性單原子鏈）。

為分析波的衰減，根據(jù)式（28），繪出μ的實(shí)部和虛部隨Ω變化的曲線，分別如圖11和圖12所示。根據(jù)圖11可以看出，相對(duì)于線性單原子鏈，軟非線性會(huì)使傳播常數(shù)向Ω減小的方向偏移，降低了截止頻率；硬非線性會(huì)使傳播常數(shù)向Ω增大的方向偏移，即增大了截止頻率。根據(jù)圖12可以看出，相對(duì)于線性單原子鏈，軟非線性單原子鏈的波衰減常數(shù)曲線向Ω減小的方向偏移，衰減常數(shù)變得更大；硬非線性單原子鏈的波衰減常數(shù)曲線向Ω增大的方向偏移，衰減常數(shù)變得更小。所以硬非線性更有利于單原子鏈中波的傳播。

對(duì)于周期結(jié)構(gòu)，較少周期既可體現(xiàn)出周期特性。經(jīng)過(guò)以上分析，可以采用3～5周期的磁鐵，其中兩端磁鐵需固定以防止受到激勵(lì)后磁鐵無(wú)限擴(kuò)展，同時(shí)每隔一定距離將一組周期結(jié)構(gòu)布置在壁板的隔框之間[4，29]，以利用周期結(jié)構(gòu)的截止頻率來(lái)調(diào)控和抑制壁板的低頻振動(dòng)。具體布置到壁板之上的結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性有待進(jìn)一步研究。

3.2 諧波平衡法

4 結(jié)論

本文對(duì)由磁力特性構(gòu)成的一維立方非線性剛度周期結(jié)構(gòu)建立了理論模型，給出了立方非線性剛度周期結(jié)構(gòu)色散關(guān)系的求解過(guò)程。根據(jù)求解結(jié)果，對(duì)比分析一維線性剛度周期結(jié)構(gòu)和一維立方非線性剛度周期結(jié)構(gòu)的色散特性，得出以下結(jié)論：

（1）對(duì)于一維線性剛度周期結(jié)構(gòu)，當(dāng)外激勵(lì)頻率小于截止頻率時(shí)，結(jié)構(gòu)中波的傳播呈現(xiàn)通帶，在外激勵(lì)頻率大于截止頻率時(shí)，波會(huì)衰減。

（2）立方非線性剛度周期結(jié)構(gòu)的色散，不僅與其單胞固有頻率有關(guān)，還與外激勵(lì)的幅值有關(guān)，外激勵(lì)幅值越大，色散曲線偏移量越大。相較于線性剛度周期結(jié)構(gòu)，硬非線性可以突破線性離散周期結(jié)構(gòu)外激勵(lì)頻率大于固有頻率的兩倍時(shí)波就衰減的限制，進(jìn)一步拓寬通帶寬度，軟非線性則相反。

（3）對(duì)于一維立方非線性剛度周期結(jié)構(gòu)色散關(guān)系的求解，攝動(dòng)法和諧波平衡法的求解結(jié)果只差一個(gè)高階小量，忽略高階小量可認(rèn)為求解結(jié)果相同。

綜上所述，本文的研究和結(jié)論將為立方非線性剛度周期結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)，為基于非線性振子周期結(jié)構(gòu)的飛行器壁板振動(dòng)控制的進(jìn)一步研究奠定基礎(chǔ)，后續(xù)工作將利用磁鐵串聯(lián)形成周期結(jié)構(gòu)后開(kāi)展試驗(yàn)研究，驗(yàn)證本文推導(dǎo)結(jié)果。

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Study on Dispersion Characteristics of One-Dimensional Cubic Nonlinear Stiffness Periodic Structures

Zuo Ang1， Xu Yanlong1，2， Chen Ning1， Zhang Mengjia1， Gu Yingsong1， Yang Zhichun1

1. Northwestern Polytechnical University， Xi’an 710072， China

2. State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures， Xi’an 710049，China

Abstract： The study of the dispersion characteristics of periodic structures formed by cubic nonlinear stiffness unit cell arrays， which has a certain promoting effect on the research of aircraft panel vibration control. Firstly， the dynamic model of one-dimensional linear stiffness periodic structure is constructed， and its dispersion equation is derived based on Bloch theory. Its dispersion characteristics and wave propagation are analyzed. Then the dynamic model of the periodic structure with cubic nonlinear stiffness unit cells is established， and the dispersion equation of the periodic structure is derived by using the perturbation approach. Finally， considering the complex working environment of aircraft panels and the limitation that the perturbation approach is only applicable to weak nonlinearity， the solution process of harmonic balance method for periodic structures with cubic nonlinear stiffness dispersion relation is given， and the solution results of the two methods are compared. This paper lays the foundation for further research on vibration control of aircraft wall panels using nonlinear periodic structures， and also contributes to the research on lowfrequency damping of nonlinear phononic crystals.

Key Words： periodic structure； dispersion characteristics； perturbation approach； harmonic balance method； nonlinear