通過建立一元一次方程，可以解答多種實(shí)際問題，如行程問題、工程問題、銷售問題等，今天我們先來探索行程問題的解法.行程問題中的三個(gè)基本量及其關(guān)系有：路程＝速度×?xí)r間；時(shí)間＝路程÷速度；速度＝路程÷時(shí)間.在不同的問題中，相等關(guān)系是靈活多變的，任何條件的改變都有可能造成解題方法的不同，而且有些數(shù)量關(guān)系復(fù)雜且隱蔽，不容易發(fā)現(xiàn)，因此如何尋找等量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，是解答行程問題的重難點(diǎn).本文歸納了三種常見的行程問題，并結(jié)合例題分析了不同類型行程問題的解答方法.

第一類：相遇問題

相遇問題是指兩個(gè)運(yùn)動的物體，同時(shí)或不同時(shí)從兩地相對而行，經(jīng)過一定的時(shí)間相遇.在解答這類問題的時(shí)候通常需注意以下兩點(diǎn)：一是求出兩個(gè)物體在同一單位時(shí)間內(nèi)共同運(yùn)動的路程（即速度和）；二是找出相遇問題中的等量關(guān)系：甲運(yùn)動的路程+乙運(yùn)動的路程=總路程.此外，如果甲、乙兩個(gè)物體異地同時(shí)相向而行，則基本數(shù)量關(guān)系為：兩速度和×?xí)r間=路程和.

例1 甲、乙兩車從A、B兩地相向而行，甲車比乙車早出發(fā)15分鐘，甲、乙兩車的速度比為2：3，相遇時(shí)甲比乙少走6千米，已知乙車走了1小時(shí)30分，求甲、乙兩車的速度和兩地距離.

第二類：追及問題

“追及”是指同向運(yùn)動，有前有后，前者慢，后者快，后者追前者.追及時(shí)，快者比慢者多走一個(gè)初始路程差. “初始路程差”是指快者出發(fā)時(shí)，兩人相距的路程.在追及問題中通常列方程用到的等量關(guān)系有：快者所走的路程=慢者所走的路程+兩者初始路程差；快者所走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程.解題時(shí)要根據(jù)題意找出正確的等量關(guān)系.

例2 甲、乙兩支“徒步隊(duì)”到野外沿相同路線徒步，徒步的路程為24千米.甲隊(duì)步行速度為4千米/時(shí)，乙隊(duì)步行速度為6千米/時(shí)．甲隊(duì)出發(fā)1小時(shí)后，乙隊(duì)才出發(fā)，同時(shí)乙隊(duì)派一名聯(lián)絡(luò)員跑步在兩隊(duì)之間來回進(jìn)行一次聯(lián)絡(luò)（不停頓），他跑步的速度為10千米/時(shí)．

（1）乙隊(duì)追上甲隊(duì)需要多長時(shí)間？

（2）聯(lián)絡(luò)員從出發(fā)到與甲隊(duì)聯(lián)系上后返回乙隊(duì)時(shí)，他跑步的總路程是多少？

（3）從甲隊(duì)出發(fā)開始到乙隊(duì)完成徒步路程時(shí)止，何時(shí)兩隊(duì)間間隔的路程為1千米？分析：（1）設(shè)乙隊(duì)追上甲隊(duì)需要x小時(shí)，根據(jù)“乙隊(duì)比甲隊(duì)快的速度×?xí)r間＝甲隊(duì)比乙隊(duì)先走的路程”可列出方程，解出即可得出時(shí)間；（2）先計(jì)算出聯(lián)絡(luò)員所走的時(shí)間，再由“路程＝速度×?xí)r間”即可得出聯(lián)絡(luò)員走的路程．

（3）要分 3 種情況討論：①當(dāng)甲隊(duì)出發(fā)不到1h，乙隊(duì)還未出發(fā)時(shí)，甲隊(duì)與乙隊(duì)相距1km；②當(dāng)甲隊(duì)出發(fā)1小時(shí)后，相遇前與乙隊(duì)相距1千米；③當(dāng)甲隊(duì)出發(fā)1小時(shí)后，相遇后與乙隊(duì)相距1千米，分別列出方程求解即可．

第三類：環(huán)行問題

在環(huán)行問題中，通常是兩個(gè)人或兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞圓周或多邊形作勻速運(yùn)動，其運(yùn)動方向可分為同向或相向，其運(yùn)動速度可能相等也可能不等.因此，它往往比直線上的行程問題更難. 利用一元一次方程解答環(huán)行問題，最關(guān)鍵的是理解兩個(gè)問題：在同時(shí)同地出發(fā)的前提下，是同向運(yùn)動還是反向運(yùn)動？是首次相遇還是第 n 次相遇？若是反向出發(fā)首次相遇，則屬于相遇問題，兩人的路程之和為跑道一圈長度；若是同向出發(fā)首次相遇，則屬于追及問題，快者比慢者多走一圈；若是反向出發(fā)第n次相遇，兩人所走的路程之和為跑道n圈的長度；若是同向出發(fā)第n次相遇，則快者比慢者多走n圈.

例3 甲，乙兩人沿湖邊環(huán)形道勻速跑步，他們開啟了微信運(yùn)動（微信上實(shí)時(shí)統(tǒng)計(jì)每天步數(shù)的軟件）．已知乙的步距比甲的步距少0.4m（步距是指每一步的距離），且每2分鐘甲比乙多跑25步，兩人各跑3圈后到達(dá)同一地點(diǎn)，跑3圈前后的時(shí)刻和步數(shù)如下：

（1）求甲，乙的步距和環(huán)形道的周長；

（2）求表中a的值；

（3）若兩人于 9：40 開始反向跑，問：此后，當(dāng)微信運(yùn)動中顯示的步數(shù)相差50步時(shí)，他們相遇了幾次？

分析：（1）由于兩人各跑3圈后到達(dá)同一地點(diǎn)，可分別用甲和乙跑的總步數(shù)乘以各自的步距，列方程可得步距，從而求出環(huán)形道的周長；（2）先由甲跑的總步數(shù)除以甲所用的時(shí)間，得出甲每分鐘跑的步數(shù)，再根據(jù)每2分鐘甲比乙多跑25步，得出乙每2分鐘跑多少步，從而用乙的總步數(shù)除以乙每2分鐘跑的步數(shù)，再乘以2，即可得乙所用的時(shí)間，從而可知a的值；（3）由每2分鐘甲比乙多跑25步，因此反向跑，且當(dāng)微信運(yùn)動中顯示的步數(shù)相差50步時(shí)，9：40時(shí)，兩人在微信運(yùn)動中顯示的步數(shù)有150步的差數(shù)，因此反向跑，且當(dāng)微信運(yùn)動中顯示的步數(shù)相差50步時(shí)，實(shí)際上甲應(yīng)該比乙多跑了100步或200步，從而算出他們相遇了幾次.

解：（1）設(shè)乙的步距為xm，由于乙的步距比甲的步距少0.4m，則甲的步距為（x+0.4）m，根據(jù)表格列方程得：（4158-2158）（x+0.4）＝（4308-1308）x，

∴2000x+800＝3000x，

∴x＝0.8，∴0.8+0.4＝1.2，

∴環(huán)形道的周長為：3000×0.8÷3＝800m．故甲的步距為 1.2m，乙的步距為 0.8m，環(huán)形道的周長為800m．

（2）由表格知，甲10分鐘跑了2000步，則甲每分鐘跑200步，每2分鐘跑400步，

∵每2分鐘甲比乙多跑25步，

∴每2分鐘乙跑375步，

∴3000÷375＝8，2×8＝16分鐘，

∴a為9：24．

故答案為：9：24．

（3）每2分鐘甲比乙多跑25步，9：40時(shí)，兩人在微信運(yùn)動中顯示的步數(shù)有150步的差數(shù)，因此反向跑，且當(dāng)微信運(yùn)動中顯示的步數(shù)相差50步時(shí)，實(shí)際上甲應(yīng)該比乙多跑了100步或200步，

當(dāng)甲比乙多跑了 100 步時(shí)，2×（100÷25）＝8分鐘，

甲每分鐘跑200步，甲的步距為1.2m，每2分鐘乙跑375步，乙的步距為0.8m，（200×1.2×8+0.8×375×4）÷800＝3.9，則甲乙相遇了3次；

當(dāng)甲比乙多跑了 200 步時(shí)，2×（200÷25）＝16分鐘，（200×1.2×16+0.8×375×8）÷800＝7.8，此時(shí)甲乙相遇了7次．

∴反向跑，且當(dāng)微信運(yùn)動中顯示的步數(shù)相差50步時(shí)，他們相遇了3次或7次．

點(diǎn)評：本題是環(huán)形跑道的行程問題，需根據(jù)速度乘以時(shí)間等于路程等基本關(guān)系來求解，其中也考查了相遇問題，題目內(nèi)容比較貼近生活，顯示了數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的聯(lián)系．

列一元一次方程解行程問題除了掌握好路程s，速度v和時(shí)間t三者之間的基本關(guān)系（s=vt， v=s/t， t=s/v） 外， 最重要的是要學(xué)會找出題目中的相等關(guān)系， 然后根據(jù)題意選出一個(gè)相等關(guān)系作題設(shè)， 另一個(gè)相等關(guān)系列方程，用這種思路和方法一定可以有效地解答各類行程問題.