摘 "要：針對表貼式永磁同步電機在受到外界擾動時傳統(tǒng)滑?？刂葡到y(tǒng)超調量過大的問題，提出了基于模型預測的在線優(yōu)化滑模面系數(shù)的方法。為了減少控制系統(tǒng)的超調量，文中用滑模觀測器來觀測系統(tǒng)的轉速和位置，對滑模面系數(shù)進行預測，通過價值函數(shù)選取最優(yōu)滑模面，使狀態(tài)變量能夠快速收斂到滑模面。仿真結果表明：與傳統(tǒng)滑模控制相比，文中方法具有較高的抗干擾性。

關鍵詞：PMSM；模型預測；滑模控制；滑模觀測器

中圖分類號：TM341 " " " " " " " " " " " " " " 文獻標識碼：A 文章編號：1008-5483（2024）03-0066-05

Permanent Magnet Synchronous Motor Control Based on

Improved Sliding Mode Controller

Yu Wenqi1， Jian Wei1， Zhang Jinliang1， Peng Guosheng1， Chen Yufeng1， Wang Zhihu2

（1. School of Electrical amp; Information Engineering， Hubei University of Automotive Technology， Shiyan 442002， China; 2. Dongfeng Automobile Power Parts Co. Ltd， Shiyan 442002， China）

Abstract： The overshoot of the traditional sliding mode control system is too large when the surface-mounted permanent magnet synchronous motor is disturbed by the external disturbance. Therefore， a method of online optimization of the sliding mode surface coefficient based on model prediction was proposed. In order to reduce the overshoot of the control system， the sliding mode observer was used to observe the speed and position of the system， and the sliding mode surface coefficient was predicted. The optimal sliding mode surface was selected by the value function so that the state variables could quickly converge to the sliding mode surface. The simulation results show that the proposed method has higher anti-interference compared with the traditional sliding mode control.

Key words： PMSM; model prediction; sliding mode control; sliding mode observer

永磁同步電機（permanent magnet synchronous motor， PMSM）具有可靠性高、噪聲低、結構簡單等優(yōu)點，廣泛應用于工業(yè)領域，如計算機、數(shù)控機床、進給驅動系統(tǒng)、自動導引車等［1］。然而PMSM作為非線性、多變量的控制對象［2］，難以獲得理想的系統(tǒng)模型，因此高性能電機伺服系統(tǒng)控制算法已成為研究熱點［3］。隨著人們對PMSM系統(tǒng)的響應速度和精度的要求越來越高，傳統(tǒng)的PID控制算法暴露出諸多不足，如無法適應負載、參數(shù)突然變化的特性等［4］。針對這些問題，學者們提出了其他的先進控制策略［5］，如包括模型預測控制［6］、滑?？刂疲?］（sliding mode controller， SMC）和自適應控制等［8］。然而在傳統(tǒng)SMC中，滑模面系數(shù)為定常值，受到外界干擾時容易產生較大的超調。文獻［9］采用電流預測值與實際采樣值的差值作為補償因子，以糾正預測誤差，實現(xiàn)了魯棒性強的模型電流預測控制。文獻［10］對模型參數(shù)的不確定性進行了建模，利用超局部模型構建了控制器，減少了預測控制對參數(shù)不匹配的敏感度。傳統(tǒng)SMC的滑模面大多是線性的，導致系統(tǒng)無法在有限時間內收斂到平衡狀態(tài)，受到外部干擾時，系統(tǒng)的誤差增大［11］。文獻［12］設計了改進終端滑?？刂品椒?，將非線性滑模面引入SMC，進一步提高了滑?？刂频氖諗啃浴Ｎ墨I［13］提出了基于模糊神經網絡的滑?？刂撇呗裕瑢r變滑模面引入SMC，實時調整滑模面參數(shù)，有效地減少了系統(tǒng)狀態(tài)達到滑動模態(tài)所需的時間。部分學者提出了基于模型預測控制方法，通過構建并離散處理系統(tǒng)狀態(tài)方程，得到在當前周期的預測值，利用價值函數(shù)確定預測變量，得到最佳的控制策略。基于上述分析，文中采取模型預測在線尋優(yōu)滑模面系數(shù)的方法，對不同滑模面系數(shù)下的控制輸出進行尋優(yōu)，通過價值函數(shù)計算當前最優(yōu)滑模面，使系統(tǒng)在出現(xiàn)干擾時能夠尋找最優(yōu)參數(shù)，減小誤差。

1 傳統(tǒng)滑模轉速控制器設計

1.1 PMSM數(shù)學模型

在d-q軸坐標系下建立PMSM數(shù)學模型：

[diddt=-RLsid+1Lsud+npωmiqdiqdt=-RLsiq-1Lsnpωmψf+1Lsuq-npωmiddωmdt=1J（32npψfiq-TL-Bωm）] （1）

式中：id、iq分別為d、q軸的電流；ud、uq分別為d、q軸的電壓；R為定子電阻；Ls為定子電感；np為極對數(shù)；[ωm]為機械角速度；[ψf]為永磁磁鏈；J為轉動慣量；TL為負債轉矩；B為阻尼系數(shù)。

1.2 傳統(tǒng)滑模轉速控制器

傳統(tǒng)SMC是以轉速誤差和誤差的微分作為狀態(tài)變量，定義PMSM系統(tǒng)的狀態(tài)變量為

[x1=e=ω*m-ωm， " x2=x1=-ωm] （2）

式中：e為誤差；[ω*m]為參考轉速；[ωm]為實際轉速。對式（2）求導，結合式（1）可得：

[x1=-ωm=TLJ-3npψfiq2Jx2=-ωm=-3npψfiq2J] （3）

定義滑模面函數(shù)：

[s=δx1+x2] （4）

式中：[δ]為滑模面系數(shù)。為保證PMSM系統(tǒng)具有較好的動態(tài)品質，系統(tǒng)采用指數(shù)趨近律：

[s=-εsgns-qs， " εgt;0， " qgt;0] （5）

式中：[ε]為趨近系數(shù)；q為指數(shù)趨近系數(shù)；s為滑模面函數(shù)；[sgn]為不連續(xù)的符號函數(shù)。結合式（1）～（5）可得到q軸參考電流為

[i*q=32J0tδx2+εsgns+qsdτ] （6）

2 改進滑模轉速控制器設計

2.1 改進滑?？刂破髟O計

傳統(tǒng)SMC容易受到參數(shù)不確定性和外部干擾的影響，導致系統(tǒng)的魯棒性降低。為了改善傳統(tǒng)SMC性能，文中采用基于模型預測的在線優(yōu)化算法調整滑模面系數(shù)。對轉速環(huán)公式進行離散化并整理得：

[ωm（k+1）=TJ（32npψfiq（k）-TL-Bωm（k））+ωm（k）] （7）

式中：[ωm（k）]為當前轉速；[ωm（k+1）]為[ωm（k）]的預測值；iq為當前q軸電流。將[δ]的區(qū)間［a， b］劃分為n等份[[a，a1]]、[[a1，a2]]、…、[[an-1，b]]，參數(shù)滿足條件：

[a1lt;a2lt;……lt;an-1， " n∈N] （8）

則[δ]在［a， b］內能得到（n+1）個轉速預測值，且存在某個[δt]使轉速的預測值與實際值誤差最小。為了確定[δt]區(qū)間，通過價值函數(shù)對不同滑模面系數(shù)的誤差進行計算［15］，價值函數(shù)設定為

[G=ωm（k+1）-ω*m2] （9）

假設當[δ]取[ai]時，價值函數(shù)取得最小值[Gi]，可確定當前最優(yōu)[δt]位于[[ai-1，ai]]或[[ai，ai+1]]。比較[δt]分別取[ai-1]和[ai+1]時的價值函數(shù)計算結果，若[δt]取[ai+1]時價值函數(shù)的值[Gi+1]大于[δt]取[ai-1]時的價值函數(shù)的值[Gi-1]，則[δt]在[[ai，ai+1]]。將[[ai，ai+1]]根據(jù)價值函數(shù)進行權重分配，得到最優(yōu)參數(shù)的值為

[δt=Gi+1Gi+Gi+1ai+GiGi+Gi+1ai+1] （10）

將最優(yōu)滑模面系數(shù)代入式（7）可得到當下最優(yōu)滑模面，基于模型預測在線優(yōu)化參數(shù)的滑模控制器的輸出電流為

[i?q=32J0tδtx2+εsgns+qsdτ] （11）

2.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

對系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析，定義Lyapunov函數(shù)：

[V=12s21] （12）

對式（12）進行求導得：

[V=s1-εsgns1-qs1=-εs1-qs21] （13）

由Lyapunov第二定理可知，此系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。

電機在遭遇未知干擾時，系統(tǒng)通過價值函數(shù)準確定位最優(yōu)滑模面系數(shù)，加快收斂速度，使轉速誤差在任何時候都保持最小值，保持系統(tǒng)穩(wěn)定。

3 滑模觀測器設計

在PMSM系統(tǒng)中引入滑模觀測器觀測電機轉速和位置信息。傳統(tǒng)滑模觀測器的系統(tǒng)模型為

[diαdt=-RLsiα+1Lsuα-1LsEαdiβdt=-RLsiβ+1Lsuβ-1LsEβEα=-ψfωesinθeEβ=ψfωecosθe] （14）

式中：[iα]、[iβ]分別為[α]、[β]軸定子電流；[uα]、[uβ]分別為[α]、[β]軸觀測器的控制輸入；[Eα]、[Eβ]分別為[α]、[β]軸定子反電動勢分量；[ψf]為永磁體磁鏈；[θe]為電機轉子位置；[ωe]為電角速度。由式（14）可知，反電動勢與電機轉速和轉子位置有關系，可以通過反電動勢來檢測電機轉速和位置信息。根據(jù)滑模變結構理論［16］，用定子電流估計誤差作為滑模面，即

[σ（x）=σασβ=iα-iαiβ-iβ] （15）

式中：[iα]、[iβ]為定子電流的觀測值。結合電機數(shù)學模型，構建滑模觀測器：

[diαdt=-RLsiα+1Lsuα-1Lsυαdiβdt=-RLsiβ+1Lsuβ-1Lsυβυα=ksgn（iα-iα）υβ=ksgn（iβ-iβ）] （16）

式中：[υα]、[υβ]為滑?？刂坪瘮?shù)；[k]為滑模增益。將式（16）與式（14）作差，可得定子電流誤差方程為

[diαdt=-RLsiα+1Ls（Eα-υα） diβdt=-RLsiβ+1Ls（Eα-υα）] （17）

[iα=iα-iα， iβ=iβ-iβ]

式中：[iα]、[iβ]為電流觀測誤差。當滑?？刂破鬟_到滑動模態(tài)時，此時

[Eα=υα=ksgn（iα-iα）Eβ=υβ=ksgn（iβ-iβ）] （18）

由式（18）可看出，符號函數(shù)的不連續(xù)性導致反電動勢中存在高頻切換信號，因此需要外加低通濾波器來消除反電動勢中的高頻擾動，濾波器公式為

[Eα=ωcs+ωcEα， " Eβ=ωcs+ωcEβ] （19）

式中：[ωc]為低通濾波器的截止頻率；[Eα]、[Eβ]分別為濾波后的反電動勢。濾波后的反電動勢會存在相位延遲，需要對位置角度進行補償。相關公式為

[θe=-arctanEαEβ+arctanωeωcωe=E2α+E2βψf] （20）

式中：[θe]為補償后的轉子位置；[ωe]為轉速估計值。為證明觀測器的穩(wěn)定性，設置Lyapunov函數(shù)為

[V=12σTσ] （21）

對[V]求導得：

[V=（σασα+σβσβ）=-RL（i2α+i2β）-iαL（υα-Eα）-iβL（υβ-Eβ）] （22）

若[V]不大于0，則[k]應滿足條件：

[kgt;max-Riα+Eαsgniα，-Riβ+Eβsgniβ] （23）

基于改進滑?？刂疲╥mproved sliding mode control， ISMC）的PMSM矢量控制模型如圖1所示。

4 仿真實驗分析

為了驗證所設計控制算法的有效性，對PI控制、傳統(tǒng)SMC和ISMC進行仿真對比分析。選擇[id=0]的矢量控制方法，仿真中電機參數(shù)見表1。PI控制器參數(shù)[kp]為0.14、[ki]為7，傳統(tǒng)SMC參數(shù)[δ] 為60、[ε]為200、q為300，ISMC參數(shù)[ε]為200、q為300。

在電機空載啟動階段，給定轉速1000 r?min-1、仿真時間為0.2 s，3種控制方法的電機轉速響應曲線見圖2a。由圖2a可知，PI控制下的轉速響應發(fā)生了30%超調，傳統(tǒng)SMC的轉速響應發(fā)生了10%超調，采用ISMC的轉速響應未發(fā)生超調，轉速穩(wěn)定在1000 r?min-1附近。設給定轉速為1000 r?min-1，仿真時間為0.4 s，在0.2 s時加入負載轉矩5 N?m，3種控制方法的電機轉速響應曲線如圖2b所示。由圖2b可知，突加負載后PI控制和SMC控制下電機轉速曲線分別發(fā)生了5%和3%的超調，ISMC控制下電機發(fā)生了1%的超調且在較短時間內恢復到平穩(wěn)運行狀態(tài)。仿真實驗表明ISMC具有良好的抗擾動性。將電機轉速分別設置為1200 r?min-1和1500 r?min-1，仿真時間仍為0.4 s，在0.2 s時加入負載轉矩5 N?m，不同控制方法下的電機轉速曲線如圖2c～d所示。對比圖2c～d中的曲線可知，在不同轉速下PI控制和傳統(tǒng)SMC在轉速上升階段分別產生30%和10%的超調，ISMC基本穩(wěn)定在給定轉速，對系統(tǒng)的控制性能更好。

將電機轉速設置為1000 r?min-1，仿真時間為0.4 s，在0.2 s時分別加入負載轉矩10 N?m和20 N?m，3種方法的電機轉速響應曲線如圖2e～f所示。通過對比圖2e～f中的曲線可知，在0.2 s時加入負載后，PI控制、傳統(tǒng)SMC、ISMC的電機轉速分別下降約5%、3%、1%，ISMC控制下的電機轉速最先恢復到參考轉速，其次是傳統(tǒng)SMC，最后是IP控制，說明ISMC控制下的電機系統(tǒng)穩(wěn)定性更好。

為了驗證觀測器的性能，給定電機轉速為1000 r?min-1，仿真時間為0.1 s，在0.025 s時加入負載轉矩5 N?m。圖3為文中所提觀測器轉子位置觀測值與實際值曲線，圖4為轉子位置估計誤差曲線。從圖3～4可以看出，在 0.025 s 突加負載擾動后仍能準確跟蹤轉子位置。

5 結論

文中在傳統(tǒng)滑模控制的基礎上，提出了改進滑模控制，并利用Lyapunov判據(jù)證明了其穩(wěn)定性。根據(jù)給定的參數(shù)，在MATLAB中建立了改進滑模控制系統(tǒng)并進行了仿真。與傳統(tǒng)的滑?？刂葡啾龋倪M滑?？刂葡到y(tǒng)超調量更小，魯棒性更強，設計的滑模觀測器可以準確觀測電機轉子位置和轉速。

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