摘 "要：針對(duì)奇異值分解中Hankel矩陣維數(shù)和奇異值個(gè)數(shù)選擇的問(wèn)題，提出了確定矩陣維數(shù)和選擇奇異值個(gè)數(shù)的新方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)滾動(dòng)軸承的故障診斷。將提出的方法應(yīng)用于實(shí)測(cè)滾動(dòng)軸承內(nèi)圈和外圈故障信號(hào)中，通過(guò)對(duì)信號(hào)的降噪處理和包絡(luò)譜分析，有效消除了實(shí)測(cè)振動(dòng)信號(hào)中的無(wú)用頻率成分，提取了信號(hào)中包含的軸承故障特征頻率。

關(guān)鍵詞：奇異值分解；包絡(luò)譜分析；奇異值差分序列；故障診斷

中圖分類號(hào)：TH17 " " " " " " " " " " " " " " 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-5483（2024）03-0060-06

Fault Diagnosis Method of Rolling Bearing Based on

Singular Value Decomposition

Ji Jingfang1，2

（1. School of Automotive Engineering， Hubei University of Automotive Technology， Shiyan 442002， China;

2. Hubei Key Laboratory of Automotive Power Train and Electronic Control， Shiyan 442002， China）

Abstract： To determine the dimension of Hankel matrix and the number of singular values in singular value decomposition （SVD）， a new method to determine the matrix dimension and the number of singular values was proposed to achieve the fault diagnosis of rolling bearings. The proposed method was applied to the measured fault signals of the inner and outer rings of the rolling bearings. Through denoising of the signals and envelope spectrum analysis， the useless frequency components in the measured vibration signals were effectively eliminated， and the fault characteristic frequencies contained in the signals were extracted.

Key words： SVD; envelope spectrum analysis; singular value difference sequence; fault diagnosis

滾動(dòng)軸承作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械的重要零部件，一旦發(fā)生故障將造成重大經(jīng)濟(jì)損失。滾動(dòng)軸承故障診斷是當(dāng)前學(xué)術(shù)界關(guān)注的焦點(diǎn)，常用的方法是對(duì)軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析［1］。借助信號(hào)處理技術(shù)對(duì)滾動(dòng)軸承進(jìn)行故障診斷的關(guān)鍵在于消除實(shí)測(cè)振動(dòng)信號(hào)中包含的噪聲，奇異值分解（singular value decomposition，SVD）在信號(hào)降噪中具有良好的效果，被廣泛應(yīng)用于各種微弱信號(hào)的提取中［2］。Reza Golafshan 提出了基于SVD和Hankel矩陣的球軸承故障診斷方法，通過(guò)對(duì)信號(hào)頻率進(jìn)行降噪處理能夠有效識(shí)別軸承故障［3］。李華將奇異值比和互相關(guān)系數(shù)相結(jié)合來(lái)確定SVD的重構(gòu)分量，利用奇異值比和峭度指標(biāo)優(yōu)化Hankel矩陣結(jié)構(gòu)，通過(guò)仿真驗(yàn)證了所提方法的有效性［4］。常妍提出了加權(quán)firm閾值SVD方法，有效提取了能量較弱但含有豐富故障信息的奇異分量，實(shí)現(xiàn)了對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備的故障診斷目的［5］。Jintao Li提出了1種超參數(shù)來(lái)控制處理奇異值，實(shí)現(xiàn)了對(duì)有效奇異值數(shù)量的精準(zhǔn)識(shí)別，并成功應(yīng)用于振動(dòng)信號(hào)噪聲的處理［6］。SVD應(yīng)用于滾動(dòng)軸承故障診斷的關(guān)鍵是需要確定Hankel矩陣維數(shù)和奇異值個(gè)數(shù)，否則將導(dǎo)致故障信息被濾除或故障信息被淹沒(méi)在噪聲中［7］。目前對(duì)Hankel矩陣維數(shù)和奇異值個(gè)數(shù)的確定比較困難，主要依賴于經(jīng)驗(yàn)?；诖?，對(duì)Hankel矩陣維數(shù)和奇異值個(gè)數(shù)的選擇方法進(jìn)行研究，提出自動(dòng)確定Hankel矩陣維數(shù)和奇異值個(gè)數(shù)的新方法，并通過(guò)滾動(dòng)軸承故障試驗(yàn)驗(yàn)證方法的有效性。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 基于SVD的信號(hào)降噪

實(shí)測(cè)振動(dòng)信號(hào)往往包含有噪聲，容易導(dǎo)致信號(hào)中的有用信息被噪聲淹沒(méi)，因此信號(hào)降噪處理極為重要［8］。設(shè)定[xt]為包含噪聲的實(shí)測(cè)振動(dòng)信號(hào)，[st]為不含噪聲的振動(dòng)信號(hào)，[nt]為噪聲信號(hào)，則[xt]可以表述為

[xt=st+nt] （1）

由于[xt]為時(shí)間序列，采用SVD必須將[xt]構(gòu)造為矩陣形式。Hankel矩陣具有低失真特點(diǎn)，因此采用[xt]構(gòu)造Hankel矩陣A［9］，即

[A=x1x2…xnx2x3…xn+1…………xmxm+1…xNm=N-n+1] （2）

式中：[N]為信號(hào)[xt]的長(zhǎng)度；m、n分別為A的行數(shù)和列數(shù)。對(duì)[A]進(jìn)行奇異值分解：

[A=USVT， " U∈Rm×m " V∈Rn×n， " S∈Rm×n] （3）

式中：[U]、[V]均為單位正交矩陣；[S]為對(duì)角矩陣。[S]的表達(dá)式為

[S=[diagσ1，σ2，…，σl，0]， " " "mlt;ndiagσ1，σ2，…，σl， " " "m=n[diagσ1，σ2，…，σl，0]T， " " "mgt;nl=minm，n， " σ1≥σ2≥…≥σl≥0] （4）

將[U]、[V]寫(xiě)成向量的形式，即

[U=u1，u2，…，um， " V=v1，v2，…，vn] （5）

那么矩陣[A]的表達(dá)式為

[A=σ1u1vT1+σ2u2vT2+…+σrulvTl=A1+A2+…+Al] （6）

由此可見(jiàn)，A有[l]個(gè)奇異值。對(duì)不含噪聲的[st]而言，其有效奇異值為非零奇異值。對(duì)包含噪聲的[xt]而言，其部分非零奇異值是由[nt]產(chǎn)生。采用SVD降噪的關(guān)鍵是將信號(hào)產(chǎn)生的奇異值和噪聲產(chǎn)生的奇異值區(qū)分開(kāi)來(lái)，從而將[st]的頻率從[xt]中提取出來(lái)。由于信號(hào)的1個(gè)頻率對(duì)應(yīng)2個(gè)相鄰的非零奇異值，且這2個(gè)奇異值之間不存在其他的奇異值，因此，奇異值個(gè)數(shù)的選擇直接關(guān)系到信號(hào)降噪的質(zhì)量。A的每個(gè)子矩陣[Ai]對(duì)應(yīng)原始信號(hào)的1個(gè)奇異值分量，子信號(hào)[xi]可以通過(guò)提取[Ai]的第1行和最后1列得到：

[Ai=xi1xi2…xinxi2xi3…xin+1????ximxim+1…xiNRi，1=xi1， xi2， …， xinCi，n=xin+1， xin+2，…， xiNTxi=Ri，1， CTi，n] （7）

降噪后信號(hào)[x]由提取的前[k]個(gè)分量線性疊加得到［10］：

[x=i=1kxi] （8）

1.2 奇異值降噪性能

為驗(yàn)證奇異值降噪的性能，給出模擬信號(hào)：

[st=0.8sin（2πt+1.86）+1.2cos（10πt+0.24）+1.8sin（18πt+3.27）] （9）

在[st]中分別添加噪聲能量高于原始信號(hào)的高斯白噪聲和低于原始信號(hào)的高斯白噪聲，信噪比（SNR）分別為-2.68 dB和1.26 dB。對(duì)添加白噪聲的信號(hào)采用SVD降噪，結(jié)果見(jiàn)圖2。由圖2可知，添加噪聲的能量不論是高于原始信號(hào)還是低于原始信號(hào)，采用SVD均可達(dá)到良好的降噪效果，同時(shí)降噪后的信號(hào)和原始信號(hào)之間相差很小，相位差為0。

對(duì)[xt]、[st]以及[nt]分別進(jìn)行奇異值分解，提取前20個(gè)奇異值，結(jié)果如圖3所示。由圖3可知，[xt]和[st]的前6個(gè)奇異值差異較小，主要由[nt]導(dǎo)致。從第7個(gè)奇異值開(kāi)始，[xt]的奇異值和[nt]的奇異值基本相同，這是由于[st]的能量集中分布在其主導(dǎo)的頻率上，從第7個(gè)奇異值開(kāi)始，[xt]的能量主要由[nt]貢獻(xiàn)。通過(guò)觀察含噪信號(hào)、純信號(hào)及噪聲信號(hào)的奇異值分布規(guī)律可知，信號(hào)奇異值發(fā)生突變的位置也是信號(hào)和噪聲的分界線?；谄娈愔捣植家?guī)律提出確定有效奇異值個(gè)數(shù)的新方法。

1.3 Hankel矩陣維數(shù)

由信號(hào)[xt]可以構(gòu)造一系列的Hankel矩陣[Am×n]，其非零奇異值個(gè)數(shù)為[l]。[Am×n]的維數(shù)直接影響非零奇異值個(gè)數(shù)，進(jìn)而影響到奇異值降噪的性能。采用均方誤差（MSE）衡量奇異值降噪的性能，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

[EMS=1Ni=1Nx-s2] （10）

式中：[EMS]為MSE的值；[s]為不含噪信號(hào)。設(shè)N為1 024，在模擬信號(hào)[st]中添加不同信噪比的高斯白噪聲，對(duì)比Hankel矩陣維數(shù)對(duì)奇異值降噪的效果，結(jié)果如表1所示。由表1可知，在一定范圍內(nèi)Hankel矩陣行數(shù)越多，奇異值降噪效果越理想。

表1 "不同Hankel矩陣維數(shù)的MSE值

[矩陣行數(shù) 100 200 300 400 512 SNR為-2.68 dB 0.6021 0.3591 0.3522 0.2318 0.1253 SNR為1.26 dB 0.2852 0.1515 0.0588 0.0549 0.0470 ]

基于此，利用信號(hào)構(gòu)造Hankel矩陣時(shí)，盡量使構(gòu)造的矩陣為方陣，Hankel矩陣的行數(shù)m為

[N為偶數(shù)][N為奇數(shù)][（11）][]

1.4 降噪性能對(duì)比

為了驗(yàn)證SVD降噪方法的優(yōu)越性，與小波閾值降噪法進(jìn)行對(duì)比。在式（7）給出的模擬信號(hào)中加入高斯白噪聲，分別采用SVD降噪法和小波閾值降噪法進(jìn)行降噪處理，降噪結(jié)果見(jiàn)圖4。由圖4可知，SVD降噪法明顯優(yōu)于小波閾值降噪法。

2 滾動(dòng)軸承故障診斷方法

實(shí)測(cè)振動(dòng)信號(hào)降噪處理效果直接影響滾動(dòng)軸承故障頻率的提取。文中采用SVD降噪法對(duì)實(shí)測(cè)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行降噪處理，并對(duì)降噪后的信號(hào)進(jìn)行Hillbert包絡(luò)解調(diào)，得到降噪后信號(hào)的解調(diào)譜，從解調(diào)譜中尋找特征頻率，達(dá)到滾動(dòng)軸承故障診斷的目的。奇異值降噪的關(guān)鍵是有效奇異值個(gè)數(shù)的選擇，通過(guò)合理選擇有效奇異值的個(gè)數(shù)達(dá)到信號(hào)和噪聲分離的目標(biāo)。奇異值大小突變的位置是需要重點(diǎn)關(guān)注的位置。為分析奇異值發(fā)生突變的規(guī)律，引入奇異值差分序列[b]，其元素[bi]可表示為

[bi=σi+1-σi] （12）

式中：[bi]反映了相鄰奇異值間的變化，其最大尖峰位置就是奇異值發(fā)生最大突變的位置，往往也是信號(hào)和噪聲的分界線。通過(guò)大量的仿真試驗(yàn)表明，如果僅考慮[b]中的最大尖峰位置，可能會(huì)導(dǎo)致信號(hào)中的有用成分被濾除，無(wú)法提取滾動(dòng)軸承故障頻率?；诖?，在確定有效奇異值個(gè)數(shù)時(shí)，將次大尖峰位置納入考慮范圍。若[b]中最大尖峰位置位于第2個(gè)位置，則繼續(xù)在[b]中尋找次大尖峰位置，并將該位置作為信號(hào)和噪聲的分割位置。若[b]中最大尖峰位置之前存在次大尖峰，則將最大尖峰位置作為信號(hào)和噪聲的分割位置。在確定信號(hào)和噪聲的分割位置之后，將該位置之后的奇異值置為0，保留該位置及之前的奇異值。通過(guò)對(duì)奇異值的處理，達(dá)到對(duì)實(shí)測(cè)振動(dòng)信號(hào)降噪的目的，基于奇異值分解的滾動(dòng)軸承故障診斷流程如圖5所示。

3 實(shí)例分析

3.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

選擇凱斯西儲(chǔ)大學(xué)滾動(dòng)軸承故障研究中心電氣工程實(shí)驗(yàn)室提供的滾動(dòng)軸承故障數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。設(shè)置采樣頻率為12 kHz，通過(guò)加速度傳感器來(lái)獲取滾動(dòng)軸承內(nèi)圈故障和外圈故障的振動(dòng)數(shù)據(jù)。圖6為滾動(dòng)軸承故障測(cè)試試驗(yàn)臺(tái)。試驗(yàn)用軸承為6205-2RS JEM SKF深溝球軸承，其參數(shù)見(jiàn)表2。

滾動(dòng)軸承的故障類型不同，其故障特征頻率也不同，內(nèi)圈故障與外圈故障的特征頻率計(jì)算公式為

[fi=n1Z1201+dcosαD， " fo=n1Z1201-dcosαD] （13）

式中：[n1]為轉(zhuǎn)速；[Z]為滾動(dòng)體個(gè)數(shù)；[d]為滾動(dòng)體直徑；[α]為接觸角；[D]為節(jié)圓直徑。轉(zhuǎn)速n1為1797 r·min-1時(shí)，可得到滾動(dòng)軸承內(nèi)圈故障特征頻率為162.2 Hz，外圈故障特征頻率為107.4 Hz。

3.2 滾動(dòng)軸承內(nèi)圈故障

通過(guò)加速度傳感器獲取滾動(dòng)軸承內(nèi)圈故障時(shí)域數(shù)據(jù)，并進(jìn)行包絡(luò)譜分析，結(jié)果見(jiàn)圖7。由圖7可知，實(shí)測(cè)故障信號(hào)中包含大量的噪聲，無(wú)關(guān)頻率成分較多，導(dǎo)致無(wú)法有效提取內(nèi)圈故障的特征頻率，進(jìn)而無(wú)法達(dá)到故障診斷的目的。采用SVD方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪處理，消除實(shí)測(cè)信號(hào)中的噪聲。由于實(shí)測(cè)振動(dòng)信號(hào)長(zhǎng)度為12 000，因此構(gòu)造維數(shù)為6 000 × 6 001的Hankel矩陣，獲得奇異值序列和差分譜序列，如圖8所示。由圖8可知，奇異值變化最大的位置為第2個(gè)奇異值，因此需要第8個(gè)奇異值所在位置（次大尖峰位置）作為信號(hào)和噪聲的分割位置。將第8個(gè)之后的奇異值置為0，實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)測(cè)振動(dòng)信號(hào)的降噪處理，并對(duì)降噪處理后的信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)譜分析，結(jié)果如圖9所示。由圖9可知，通過(guò)SVD降噪有效濾除了原信號(hào)中所包含的無(wú)關(guān)頻率成分，將故障頻率162.2 Hz有效提取出來(lái)，達(dá)到了滾動(dòng)軸承內(nèi)圈故障診斷的目的。

3.3 滾動(dòng)軸承外圈故障

通過(guò)加速度傳感器獲取滾動(dòng)軸承外圈故障時(shí)域數(shù)據(jù)，并進(jìn)行包絡(luò)譜分析，結(jié)果如圖10所示。由圖10可知，實(shí)測(cè)故障信號(hào)中包含大量的噪聲，無(wú)關(guān)頻率成分較多，導(dǎo)致無(wú)法有效提取外圈故障的特征頻率，進(jìn)而無(wú)法達(dá)到故障診斷的目的。采取同樣的方法構(gòu)造Hankel矩陣，獲得奇異值序列和差分譜序列，結(jié)果如圖11所示。由圖11可知，奇異值變化最大的位置為第10個(gè)位置，將第10個(gè)位置之后的奇異值置為0，對(duì)實(shí)測(cè)外圈故障信號(hào)進(jìn)行降噪處理，并對(duì)降噪后的信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)譜分析，結(jié)果如圖12所示。由圖12可知，通過(guò)SVD降噪有效濾除了實(shí)測(cè)外圈故障信號(hào)中所包含的無(wú)關(guān)頻率成分，將外圈故障頻率107.4 Hz有效提取出來(lái)，達(dá)到了滾動(dòng)軸承外圈故障診斷的目的。

4 結(jié)論

文中提出了奇異值分解中確定矩陣維數(shù)和奇異值個(gè)數(shù)的新方法，將該方法應(yīng)用于實(shí)際的滾動(dòng)軸承內(nèi)圈和外圈故障振動(dòng)信號(hào)中，得出以下2個(gè)結(jié)論：1）構(gòu)造的Hankel矩陣應(yīng)盡量為方陣或接近方陣；2）通過(guò)奇異值差分序列選擇奇異值個(gè)數(shù)，當(dāng)奇異值差分序列中最大尖峰位置前有次大尖峰時(shí)，該位置為信號(hào)和噪聲的分割位置。如果最大尖峰位置位于第2個(gè)位置，那么需要將次大尖峰位置作為信號(hào)和噪聲的分割位置。

參考文獻(xiàn)：

［1］ "張家軍，馬萍，彭炫，等. 基于改進(jìn)變分模態(tài)提取的軸承早期故障診斷［J］. 組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)，2024（2）：146-150.

［2］ "周桂，李華，黃濤，等. 基于奇異值分解理論的機(jī)械故障診斷方法綜述［J］. 現(xiàn)代制造工程，2022（12）：144-151.

［3］ "Golafshan R，Yuce Sanliturk K. SVD and Hankel Matrix Based De-noising Approach for Ball Bearing Fault Detection and Its Assessment Using Artificial Faults［J］. Mechanical Systems and Signal Processing，2016，70：36-50.

［4］ "李華，劉韜，伍星，等. 相關(guān)奇異值比的SVD在軸承故障診斷中的應(yīng)用［J］. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2021，57（21）：138-149.

［5］ "常妍，蔡改改，胡耀陽(yáng). 加權(quán)firm閾值奇異值分解及其旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷［J］. 噪聲與振動(dòng)控制，2023，43（5）：135-141.

［6］ "Li J T，Chen Z B，Li S B. Selection of the Number of Effective Singular Values for Noise Reduction［J］. Mechanical Systems and Signal Processing，2023，191：110175.

［7］ "胥永剛，楊苗蕊，馬朝永. 基于改進(jìn)延伸奇異值分解包的滾動(dòng)軸承故障診斷［J］. 北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2023，49（7）：729-736.

［8］ "季景方，吳宣霖，黃瑞琛. 基于EEMD的滾動(dòng)軸承故障診斷方法［J］. 湖北汽車工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2020，34（4）：52-56.

［9］ "陳劍，劉圓圓，黃凱旋，等. 基于奇異值分解和獨(dú)立分量分析的滾動(dòng)軸承故障診斷方法［J］. 計(jì)量學(xué)報(bào)，2022（6）：777-785.

［10］ "Guo M J，Li W G，Yang Q J，et al. Amplitude Filtering Characteristics of Singular Value Decomposition and Its Application to Fault Diagnosis of Rotating Machinery［J］. Measurement，2020，154：107444.