向量最值問題通常會(huì)綜合考查對(duì)向量的定義、運(yùn)算法則、數(shù)量積、模的公式等知識(shí)的應(yīng)用.這類問題的命題形式多種多樣，因而解答這類問題的方法也很多.下面結(jié)合一道向量最值問題，談一談此類問題的解法.

例題：在矩形[ABCD]中，[AB=1，AD=2]，動(dòng)點(diǎn)[P]在以點(diǎn)[C]為圓心且與[BD]相切的圓上.若[AP=λAB+μAD]，則[λ+μ]的最大值為（ ）.

[A. 3] [B. 22] [C. 5] [D. 2]

方法一：采用特殊值法

對(duì)于選擇題，我們通?？梢圆捎锰厥庵捣▉砬蠼?這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，有效地提升解題的效率.我們可以根據(jù)題意和圖形選取合適的特殊點(diǎn)、位置，將其代入題設(shè)中建立相應(yīng)的關(guān)系式，即可快速獲得問題的答案.

解：設(shè)圓[C]與[BD]相切于點(diǎn)[E]，連接[CE]，則[CE⊥BD].

由三角形的面積公式可得圓的半徑[CE=CB?CDBD=255].

以A為原點(diǎn)，AB、AD為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，延長(zhǎng)[DC]交圓[C]于點(diǎn)[F]，則[AF=（2，1+255）].

[AP=λAB+μAD=λ（0，1）+μ（2，0）=（2μ，λ）]，

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)[P]為點(diǎn)[F]時(shí)，[2μ=2，λ=1+255]，

于是[λ+μ=2+255>22]，

所以選項(xiàng)B、C、D均不正確，所以本題選A項(xiàng).

點(diǎn)F滿足題意，于是通過討論P(yáng)點(diǎn)在F點(diǎn)處的情形，求得[λ+μ]的取值范圍，從而獲得問題的答案.一般地，可通過畫圖來尋找取得最值的特殊情形；也可以對(duì)可能出現(xiàn)的每一個(gè)特殊情形進(jìn)行討論，從而排除掉某些選項(xiàng)或者直接得到答案.

方法二：利用三角函數(shù)的性質(zhì)

向量的方向往往可以用角表示.因此在求解向量最值問題時(shí)，可以將向量用某個(gè)角的三角函數(shù)表示出來，從而將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題.再利用三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性來求最值.

解：設(shè)[P（x，y）]，則[AP=（x，y）]，

因?yàn)閇AP=λAB+μAD=（2μ，λ）]，

則[μ=12x，λ=y]，于是[λ+μ=12x+y].

因?yàn)辄c(diǎn)[P]在以點(diǎn)[C（2，1）]為圓心，半徑為[255]的圓上，

設(shè)[x=2+255cosθ]，[y=1+255sinθ]，

所以[λ+μ=255sinθ+55cosθ+2]

[=（255）2+（55）2sinθ+?+2≤3].

所以本題選A項(xiàng).

根據(jù)圓的參數(shù)方程，設(shè)[x=2+255cosθ]，[y=1+255sinθ]，便可將目標(biāo)式用角[θ]的三角函數(shù)表示出來，這樣就能直接根據(jù)正弦函數(shù)的有界性來求得目標(biāo)式的最值.

方法三：利用直線與圓的位置關(guān)系

對(duì)于與圓有關(guān)的向量最值問題，我們通?？梢詫⒛硞€(gè)向量視為一條直線，利用圓的性質(zhì)，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系來解題.可直接根據(jù)圓心到直線的距離與半徑之間的關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系.一般地，在直線與圓相切處，取得最值.

解：由上述解法可得[λ+μ=12x+y].

設(shè)[z=λ+μ=12x+y]，則[x+2y-2z=0]，此方程可表示過點(diǎn)[P]的動(dòng)直線.

因?yàn)辄c(diǎn)[P]在以點(diǎn)[C（2，1）]為圓心，半徑為[255]的圓上，

所以直線和圓[C]有公共點(diǎn)，那么圓心到直線的距離小于或者等于半徑，

即[|4-2z|5≤25]，即[|z-2|≤1]，

解得[1≤z≤3]，所以本題選A項(xiàng).

此方法的適用范圍較小，但較為便捷.

可見，解答這道向量最值問題有多種方法，解題的關(guān)鍵在于寫出目標(biāo)式，并能夠利用題目的已知條件找到能夠取到最值的情形.在平時(shí)的練習(xí)中，同學(xué)們要多總結(jié)，發(fā)現(xiàn)不同類型向量最值問題的共性，并能夠熟練運(yùn)用各種方法來應(yīng)對(duì)問題.