向量的數(shù)量積問(wèn)題側(cè)重于考查向量的運(yùn)算法則、數(shù)量積公式以及其幾何意義的應(yīng)用.常見(jiàn)的命題形式有：（1）根據(jù)兩個(gè)已知的向量，求兩個(gè)向量的數(shù)量積的取值范圍；（2）已知向量的大小和方向，求兩個(gè)向量的數(shù)量積.求解向量的數(shù)量積問(wèn)題主要有三種方法：定義法、利用數(shù)量積的幾何意義、坐標(biāo)法.現(xiàn)結(jié)合幾道例題，談一談如何利用這三種方法解答向量的數(shù)量積問(wèn)題.

一、運(yùn)用定義法

向量[a]和[b]的數(shù)量積為：[a?b=|a|?|b|cosθ]，其中[θ]為向量[a]和[b]的夾角.根據(jù)向量數(shù)量積的定義可知，只需要知道兩個(gè)向量的模的大小以及兩個(gè)向量之間夾角的余弦值，就可以得到向量的數(shù)量積.

例1.如圖1所示，在[ΔABC]中，點(diǎn)[M]是[BC]的中點(diǎn)，[AM=1]，點(diǎn)[P]在[AM]上，且滿足[AP=2PM]，則[PA?（PB+PC）=]________.

解：因?yàn)辄c(diǎn)[M]是[BC]的中點(diǎn)，

[AM=1]，[AP=2PM]，

所以[PB+PC=2PM]，[|AP|=23]，

則[|PM|=12|AP|=13]，

所以[PA?（PB+PC）=][PA?2PM=PA?AP]

[=|PA|2?cos180°=-49].

在運(yùn)用定義法解題時(shí)，需要結(jié)合圖形判斷出兩個(gè)向量的方向，以確定兩個(gè)向量的夾角是等于兩個(gè)向量所在直線的夾角，還是等于其補(bǔ)角.

二、利用數(shù)量積的幾何意義

向量數(shù)量積的幾何意義是：向量[a]的模[a]與向量[b]在[a]上的投影[|b|cosθ]的乘積.若不易求出兩個(gè)向量的夾角的余弦值，就可以通過(guò)畫(huà)圖的方法確定一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影，利用向量數(shù)量積的幾何意義來(lái)解題.

例2.如圖2所示，點(diǎn)[P]是[ΔABC]的外心，且[|AC|=4，|AB|=2]，求[AP?（AC-AB）]的值.

解：延長(zhǎng)[AP]，交圓[P]于點(diǎn)[D]，連接[BD，CD].

所以[AC⊥CD， AB⊥BD]，[AP=12AD]，則[AD]在[AC]上的投影為[AC]，[AP]在[AC]上的投影為[12|AC|]，

所以[AP?AC=12|AP|?|AC|=8]，

同理可知[AP]在[AB]上的投影為[12|AB|]，

所以[AP?AB=12|AB|?|AB|=2]，則[AP?（AC-AB）=8-2=6].

在利用數(shù)量積的幾何意義解題時(shí)，要結(jié)合圖形，作出合適的輔助線，靈活利用平面幾何圖形的性質(zhì)來(lái)解題.

三、采用坐標(biāo)法

運(yùn)用坐標(biāo)法，可以將向量的數(shù)量積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題來(lái)求解.先根據(jù)題目中的已知條件和幾何圖形的特點(diǎn)，建立合適的平面直角坐標(biāo)系；然后設(shè)出或求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；再利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，即可求得目標(biāo)向量的數(shù)量積.

例3.如圖3所示，在直角梯形[ABCD]中，[AB//CD， ] [AB⊥AD]，[CD=DE]，[AB=2CD=2AD=2]，[∠DCE=90°]，若[M，N]分別是線段[BC、CE]上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），且[AM?AN=52]，則[MD?DN]的最小值是______.

解：以點(diǎn)[A]為原點(diǎn)，以[AB、AD]所在的直線為[x]軸、[y]軸，建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系，所以[A（0，0），E（1，2），C（1，1），D（0，1）]，

設(shè)點(diǎn)[M（x，2-x）（1≤x≤2）]，

點(diǎn)[N（1，1+y）（0≤y≤1）]，

由[AM?AN=52]可得[x+（1+y）（2-x）=52]，[xy=2y-12]，

因?yàn)閇y≠0]，所以[x=2-12y]，

則[MD?DN=-x+xy-y=12y+y-52≥2-52]，

當(dāng)且僅當(dāng)[2y2=1]，即[y=22，x=2-22]時(shí)取等號(hào)，

所以[MD?DN]的最小值為[2-52].

運(yùn)用坐標(biāo)法解題，需根據(jù)幾何圖形的特征尋找或構(gòu)造兩條相互垂直的直線，并使得更多的點(diǎn)落在直角坐標(biāo)軸上，這樣便可快速求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)行向量坐標(biāo)運(yùn)算.

以上三種方法是解答向量數(shù)量積問(wèn)題的常用方法.其中定義法、坐標(biāo)法比較常用，利用向量數(shù)量積的幾何意義解題的過(guò)程比較簡(jiǎn)單.但無(wú)論運(yùn)用哪種方法解題，都要熟練掌握并靈活運(yùn)用向量數(shù)量積的定義，進(jìn)行合理的向量運(yùn)算.