圓錐曲線問題是大家公認的“難題”，這類題目不僅具有較強的綜合性，而且解題過程中的運算量較大.因而如何簡化運算，是我們必須要考慮的問題.在進行圓錐曲線習題訓練時，我們經(jīng)常會遇到這樣情形：（1）兩點在同一條直線上；（2）兩點在同一條曲線上；（3）兩條直線位于圓錐曲線上的相同位置或對稱的位置；（4）兩條直線過圓錐曲線上的同一個點.這些題目中的點或線都具有共同特征，我們可以根據(jù)這些共同特征構造同構式，利用同構法來解題.通過設而不求和整體消元，順利獲得問題的答案.下面舉例加以說明.

例1.（2023年全國乙卷理科，第20題）已知曲線[C]的方程為[y2a2+x2b2=1a>b>0]，離心率為[53]，曲線過點[A-2，0].

（1）求曲線[C]的方程；

（2）過點[-2，3]的直線交曲線[C]于[P]、[Q]兩點，直線[AP]與直線[AQ]與[y]軸交于[M]、[N]兩點，證明：線段[M]、[N]的中點是定點.

證明：（1）略；（2）由（1）可得曲線[C]的方程為[y29+x24=1].由題意可知直線[AP]、[AQ]的斜率均存在，設直線[PQ]的方程為：[y-3=k0x+2]，直線[AP]的方程為：[y=k1x+2]，直線[AQ]的方程為[y=k2x+2]，

則[M0，2k1]，[N0，2k2]，[M]、[N]的中點[0，k1+k2].

聯(lián)立曲線[C]的方程和直線[AP]的方程得[4y2+9x2=36，y=k1x+2，]

得點[P]的坐標[36-16k128k12+18，72k118+8k12]，

同理可得點[Q]的坐標為[36-16k228k22+18，72k218+8k22]，

又因為點[P]、[Q]在直線[PQ]上，故將這兩點的坐標代入直線[PQ]的方程[y-3=k0x+2]中，

得[72k1-318+8k12=72k0，72k2-318+8k12=72k0，]

所以[k1]、[k2]是方程[24k2-72k+72k0+64=0]的兩根，

由韋達定理可得[k1+k2=3]，

而[M]、[N]的中點[0，k1+k2]，故[M]、[N]的中點過定點[0，3].

點[P]、[Q]都在同一條直線[PQ]上，而點[P]、[Q]的坐標可以由曲線的方程[C]分別與直線[AP]、直線[AQ]的方程聯(lián)立得到，顯然得到的點[P]和點[Q]坐標的表達式的結構是相同的.將其代入直線[PQ]的方程中，可以得出一組同構式：關于[k]的一元二次方程，再利用韋達定理就可以得到問題的答案. “同構式”是指變量不同、但結構相同的兩個式子.而同構法則是把不同的數(shù)學結構轉化為相同的數(shù)學結構的方法.用同構法解題，不僅可以簡化運算，還能有效地提升解題的效率.

例2.（2023年全國甲卷理科，第20題）直線[x-2y+1=0]與拋物線[y2=2pxp>0]交于[A]、[B]兩點，且[AB=415].

（1）求[p]的值；

（2）若[F]為[y2=2px]的焦點，[M]、[N]為拋物線上的兩點，且[MF?NF=0]，求[△MNF]面積的最小值.

證明：（1）略；（2）由（1）可知拋物線的方程為[y2=4x]，設直線[MF]的方程為：[y=k1x-1]，直線[NF]的方程[y=k2x-1]，直線[MN]的方程為[y=k0x+b]，

聯(lián)立直線[MN]與直線[MF]的方程得[y=k0x+b，y=k1x-1，]

可得[Mb+k1k1-k0，k1b+k0k1-k0]，同理可得[Nb+k2k2-k0，k2b+k0k2-k0]，

因為點[M]、[N]在拋物線[y2=4x]上，所以將兩點坐標代入拋物線的方程中可得：

[b+k02-4k12-4b-k0k1+4bk0=0，b+k02-4k22-4b-k0k2+4bk0=0，]

則[k1]、[k2]可以看作是方程[b+k02-4k2-4b-k0k+4bk0=0]的兩個不同的根，

因為[MF?NF=0]，

由韋達定理可得[k1k2=4bk0b+k02-4，k1+k2=4b-k0b+k02-4，]

[所以k1k2=4bk0b+k02-4=-1]，[整理得b2+k02+6bk0=4]，

由兩點間距離公式可得：

[MF=b+k1k1-k0-12+k1b+k0k1-k02]

[=b+k0k1-k021+k12]，

[NF=b+k2k2-k0-12+k2b+k0k2-k02]

[=b+k0k2-k021+k22].

則[S△MNF=12MFNF]

[=12b+k0k1-k021+k12?b+k0k2-k021+k22]，

整理得[S△MNF=12b+k02?1k1-k0?1k2-k0?] [k1k22+k12+k22+1]，

將[k1+k2=4b-k0b+k02-4]，[k1k2=-1]，[b2+k02+6bk0=4]代入上式中，整理得：

[S△MNF=b2+k02+2bk0k02=bk02+2bk0+1]，

設[bk0=t]，則[S△MNF=t2+2t+1]，

又因為[b2+k02+6bk0=4]，所以[t2+6t+1>0]，

解得[t>-3+22]，[t<-3-22]，

從而得[S△MNF=t2+2t+1>12-82]，

故[△MNF]面積的最小值為[12-82].

本題中點[M]、[N]都在同一條拋物線上，且點[M]、[N]的坐標可以由直線[MN]分別與直線[MF]的方程、直線[NF]的方程聯(lián)立得到，所以得到的點[M]和點[N]坐標的表達式的結構是相同的.將其都代入到拋物線的方程中，就可以得到一組同構式：[b+k02-4k2-4b-k0k+4bk0=0].此時可將[k1]、[k2]視為方程的兩個根，利用韋達定理建立兩根之間的關系式，便能求得[△MNF]的面積表達式.再通過整體消元消去[k0]、[b]、[k1]、[k2]，得到關于t的二次不等式，解該不等式即可解題.

由對以上兩道題目的分析可以知道，運用同構法解題，要先找到“共同點”，即位置相同或對稱的點、直線；接著要找到“同構式”，通常需將兩個點的坐標代入它們所在的直線或者曲線方程中，得到同構方程；最后根據(jù)韋達定理建立的關系式，進行整體消元，即可得到答案.運用同構法，可以為我們提供新的解題思路，簡化運算，優(yōu)化解題的過程.同學們要熟練掌握這種解題方法、技巧，并將其靈活地應用于解題當中.