三角函數(shù)最值問題比較常見.這類問題對同學(xué)們的分析、運(yùn)算能力有較高的要求.對于簡單的三角函數(shù)最值問題，可直接通過觀察三角函數(shù)的圖象找出最大值、最小值.而對于一些較為復(fù)雜的三角函數(shù)問題，需靈活運(yùn)用一些方法、技巧，才能使問題順利獲解.下面主要介紹求解三角函數(shù)最值問題的兩種途徑.

一、利用二次函數(shù)的性質(zhì)

對于偶次三角函數(shù)最值問題，通常可將函數(shù)式視為關(guān)于某個三角函數(shù)式的二次函數(shù)式，通過配方，將函數(shù)式化為y=a（x+b）2+c的形式.再根據(jù)定義域與對稱軸的位置來判斷出函數(shù)的單調(diào)性，便可直接根據(jù)二次函數(shù)的有界性和單調(diào)性來求得函數(shù)的最值.

例1.函數(shù)[y=-sin2x-3cosx+3]的最小值為（ ）.

[A. 2] [B. 0] [C. -14] [D. 6]

解：因為[sin2x=1-cos2x]，所以[y=cos2x-3cosx+2]，

令[cosx=t]，則[-1≤t≤1]，

則[y=cos2x-3cosx+2=t2-3t+2=t-322-14]，

當(dāng)[-1≤t≤1]時，該函數(shù)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)[t=1]，即[cosx=1]時，[ymin=0]，故本題選[B].

該函數(shù)式中的最高次數(shù)為二次，于是先用誘導(dǎo)公式將函數(shù)式化為只含有余弦函數(shù)式的式子；然后令[cosx=t]，即可將函數(shù)式化為關(guān)于t的二次函數(shù)式；再對其配方，即可根據(jù)函數(shù)在[-1≤t≤1]上的單調(diào)性求得函數(shù)的最值.

例2.求函數(shù)[y=5sinx+cos2x]的最值.

解：[y=5sinx+（1-2sin2x）=-2sin2x+5sinx+1]，

令[sinx=t]，則[-1≤t≤1]，

則[y=-2t2+5t+1=-2（t-54）2+338]，

當(dāng)[-1≤t≤1]時，該函數(shù)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)[t=sinx=-1，即x=2kπ-π2，k∈Z]時y取得最小值[ymin=-2×8116+338=-6]；當(dāng)[t=sinx=1，即x=2kπ+π2，k∈Z]時y取得最大值[ymax=-2×116+338=4.]

將函數(shù)式化為關(guān)于t的二次函數(shù)式，并進(jìn)行配方，即可判斷出[-1≤t≤1]在對稱軸的左側(cè)，由此可以判斷函數(shù)在[-1≤t≤1]時單調(diào)遞增，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值.

例3.求函數(shù)[y=sinx+cosx+sinxcosx]的最大值.

解：因為[（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx]，

令[sinx+cosx=t]，則[sinxcosx=t2-12t∈[-2，2]，]

則[y=sinx+cosx+sinxcosx=t2-12+t=12t+12-1]，其中[t∈[-2，2]]，

當(dāng)[t∈[-2，-1]]時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)[t∈-1，2]時函數(shù)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)[t=2，即sin（x+π4）=1]時y取最大值[ymax=12+2.]

由于函數(shù)式中同時含有[sinx±cosx]與[sinxcosx]，于是利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式將二者關(guān)聯(lián)起來：[（sinx±cosx）2=1±2sinxcosx]；再令[sinx+cosx=t]，便可將函數(shù)式化為關(guān)于t的二次函數(shù)，就能直接根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求得最值.在運(yùn)用二次函數(shù)的單調(diào)性求最值時，要關(guān)注t的取值范圍.因為t的取值范圍是由三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性來確定的.

二、利用三角函數(shù)的性質(zhì)

在解答三角函數(shù)最值問題時，通常需運(yùn)用誘導(dǎo)公式、兩角的和差公式、輔助角公式、二倍角公式等將函數(shù)化為只含一種三角函數(shù)名稱、一個角的式子，這樣便可直接運(yùn)用正弦函數(shù)y=sinx、余弦函數(shù)y=cosx、正切函數(shù)y=tanx的單調(diào)性和有界性來求得函數(shù)式的最值.

例4.已知函數(shù)[y=12cos2x+32sinxcosx+1（x∈R）]，求函數(shù)的最大值.

解：[y=12cos2x+32sinxcosx+1=12?1+cos2x2+32?sin2x2+1=14cos2x+34sin2x+54=12（12cos2x+]

[32sin2x）+54=12sin（2x+π6）+54.]

所以當(dāng)[2x+π6=π2+2kπ，即x=π6+kπ（k∈Z）]時y取得最大值[ymax=74.]

我們需先運(yùn)用二倍角公式、輔助角公式將函數(shù)式化為最簡形式：[12sin（2x+π6）+54]；然后根據(jù)正弦函數(shù)y=sinx的有界性：當(dāng)[x∈R時，sinx≤1]，來求函數(shù)的最大值.

例5.求函數(shù)[y=2cosx+12cosx-1]的值域.

解法1.[y=2cosx+12cosx-1=1+22cosx-1]，

因為[|cosx|≤1]，所以[y≥3]或[y≤13.]

解法2.由[y=2cosx+12cosx-1]可得[cosx=y+12（y-1）]，

因為[|cosx|≤1]，所以[y+12（y-1）≤1]，解得[y≥3]或[y≤13.]

解法1是通過分離常數(shù)，將函數(shù)式化為[1+22cosx-1]，再根據(jù)余弦函數(shù)的有界性[|cosx|≤1]來求得函數(shù)式的最值.解法2是用y表示cosx，再根據(jù)余弦函數(shù)的有界性[|cosx|≤1]來約束[y+12（y-1）]，通過解不等式求得y的最值.

例6.已知函數(shù)[f（x）=2sinx（sinx+cosx）]，求函數(shù)[f（x）]的最小正周期和最大值.

解： [f（x）=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x]

[=1+2sin（2x-π4）]，

故[f（x）]的最小正周期為[π]，最大值為[1+2].

我們用二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)式化為只含有正弦函數(shù)式的式子，就可以直接根據(jù)x的取值范圍和正弦函數(shù)的有界性來函數(shù)的最值.運(yùn)用三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性求最值，往往需熟記正弦函數(shù)y=sinx、余弦函數(shù)y=cosx、正切函數(shù)y=tanx的圖象，這樣就能快速判斷出三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性.

求解三角函數(shù)最值問題的途徑還有很多，如利用基本不等式、導(dǎo)數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等.同學(xué)們在解題時需學(xué)會總結(jié)解題規(guī)律，歸納解題的方法、技巧，熟練掌握一些基本的、常用的解題途徑，這樣便能在面對復(fù)雜的問題時，快速找到最佳的解題途徑和方案，提升解題的效率.

本文系江西省教育信息技術(shù)研究“十四五”規(guī)劃2022年度課題《GeoGebra支持下高中三角函數(shù)教學(xué)應(yīng)用研究》（課題批準(zhǔn)號：2022–G-1-8214）的研究成果.