函數(shù)最值問題通常要求在特定范圍內(nèi)找到函數(shù)的最大值和最小值.對(duì)于這類問題，往往需靈活運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象、定義、性質(zhì)來解題.常見的求解方法有：利用函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)形結(jié)合法、配方法.下面結(jié)合實(shí)例作詳細(xì)的介紹.

一、利用函數(shù)的單調(diào)性

若目標(biāo)函數(shù)式中含有基本初等函數(shù)，如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等，則可以利用函數(shù)的單調(diào)性來求函數(shù)的最值.利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，需先根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性的定義、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷法則、導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系來判斷出目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)性，并確定函數(shù)的定義域；然后討論函數(shù)在單調(diào)區(qū)間內(nèi)的最值；最后將所得的最值與定義域端點(diǎn)處的函數(shù)值相比較.

例1.已知函數(shù)[f（x）=x+2x]，求函數(shù)[f（x）]在[[2，8]]上的最大值.

解：設(shè)[0<x1<x2]，

則[fx1-fx2=1+2x1-1+2x2=2x1-2x2=2x2-x1x1x2，]

又[0<x1<x2]，所以[x1x2>0，x2-x1>0]，

所以[f（x1）-f（x2）>0]，即[f（x1）>f（x2）]，

所以函數(shù)[f（x）]在[（0，+∞）]上為單調(diào)遞減函數(shù)，

因此在[x∈[2，8]]上， [f（x）]的最大值為[f（2）=2].

我們根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)[0<x1<x2]，將[fx1與fx2]作差，判斷出[f（x1）>f（x2）]，即可判斷出函數(shù)的單調(diào)性，就可以直接根據(jù)增函數(shù)的性質(zhì)：y隨著x的增大而增大，求得函數(shù)的最大值.

二、數(shù)形結(jié)合法

在求解函數(shù)的最值問題時(shí)，往往可以根據(jù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)的圖象，再結(jié)合函數(shù)的圖象來尋找函數(shù)的最值，通過數(shù)形結(jié)合求得問題的答案.在作圖時(shí)，需根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性來畫出準(zhǔn)確的圖象，以快速確定最高點(diǎn)、最低點(diǎn).

例2.若[a，b∈R]，記[max{a，b}=a，a≥b，b，a<b，]求函數(shù)[f（x）=max{|x+1|，|x-2|}（x∈R）]的最小值.

解：由[|x+1|≥|x-2|]，

得[（x+1）2≥（x-2）2]，所以[x≥12]，

因此[f（x）=|x+1|， x≥12，|x-2|， x<12，]

其圖象如圖所示.

由圖可知，當(dāng)[x=12]時(shí)，函數(shù)取得最小值，

所以[f（x）min=f（12）=12+1=32].

我們需先根據(jù)題意求得[f（x）]的解析式，并根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象；再在圖象中尋找最低點(diǎn)，即可快速確定函數(shù)的最小值.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解題，比較直觀、便捷.

三、配方法

對(duì)于偶次函數(shù)最值問題，通?？梢圆捎门浞椒▉砬蠼?先根據(jù)完全平方式，將函數(shù)式配湊為[y=k（x-a）2+b]的形式；然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，確定函數(shù)的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，就能輕松求得最值.在利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值時(shí)，要特別注意自變量的取值范圍，以及對(duì)稱軸與定義域的相對(duì)位置.

例3.求[y=（ex-a）2+（e-x-a）2（a∈R，a≠0）]的最小值.

解：[y=（ex-a）2+（e-x-a）2]

[=（ex+e-x）2-2a（ex+e-x）+2a2-2]，

令[t=ex+e-x， t≥2，]

因此[f（t）=t2-2at+2a2-2=（t-a）2+a2-2]，

其對(duì)稱軸是[t=a]，

當(dāng)[a≤2]且[a≠0]時(shí)，[ymin=f（2）=2（a-1）2]；

當(dāng)[a>2]時(shí)，[ymin=f（a）=a2-2].

將函數(shù)式進(jìn)行變形、配方，并換元，即可將其化為[f（t）=（t-a）2+a2-2]，便可直接根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.本題中函數(shù)的對(duì)稱軸為[t=a]，因此需分[a≤2]和[a>2]兩種情況進(jìn)行討論.

相比較而言，第一種方法比較常用，第二種方法較為簡(jiǎn)單，第三種方法的適用范圍較窄.這三種方法的特點(diǎn)、適用情形均不相同，同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)，可根據(jù)解題需求進(jìn)行合理的選擇.