數(shù)列是高考數(shù)學(xué)科目的必考內(nèi)容.其中，求數(shù)列的前[n]項(xiàng)和問(wèn)題比較常見(jiàn)，且命題的形式多種多樣.對(duì)此，我們需熟練掌握一些解答數(shù)列前[n]項(xiàng)和問(wèn)題的方法和技巧，才能從容應(yīng)對(duì)高考.下面重點(diǎn)介紹三種求數(shù)列前[n]項(xiàng)和的方法.

一、錯(cuò)位相減法

錯(cuò)位相減法是解答數(shù)列求和問(wèn)題的重要方法.當(dāng)數(shù)列的各項(xiàng)為等差數(shù)列與等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積時(shí)，就可以采用錯(cuò)位相減法來(lái)求和.首先根據(jù)通項(xiàng)公式列出數(shù)列的前[n]項(xiàng)和式，然后將前[n]項(xiàng)和式乘以等比數(shù)列的公比，再將兩式錯(cuò)位相減，最后進(jìn)行化簡(jiǎn)、求和.在將兩和式相減的過(guò)程中，要將冪相同的項(xiàng)一一對(duì)齊作差，通過(guò)合并同類項(xiàng)來(lái)化簡(jiǎn)和式.

例1.已知數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和為[Sn（n∈N*）]，且[Sn=2n-1]，若[bn=n+14an]，求數(shù)列[bn]的前[n]項(xiàng)和[Tn].

解：當(dāng)[n=1]時(shí)，[a1=S1=1]，

當(dāng)[n≥2]時(shí)，[an=Sn-Sn-1=2n-1-（2n-1-1）=2n-1]，

可得[an=2n-1]，

則[bn=n+14an=n+14×2n-1=n+12n+1]，

[Tn=222+323+424+???+n2n+n+12n+1]，①

[12Tn=223+324+425+???+n2n+1+n+12n+2]，②

將①-②得[12Tn=222+（123+124+???+12n+1）-n+12n+2]

[=12+123×（1-12n-1）1-12-n+12n+2][=34-n+32n+2]，

故[Tn=32-n+32n+1].

要求數(shù)列[bn]的前[n]項(xiàng)和，需首先求出[an]的通項(xiàng)公式.由[an=2n-1]可得[bn=（n+1）?12n+1]，可將該數(shù)列的各項(xiàng)看作等差數(shù)列[n+1]和等比數(shù)列[12n+1]的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積，于是利用錯(cuò)位相減法解題.列出[Tn]及[12Tn]的表達(dá)式，通過(guò)錯(cuò)位相減求得[Tn].

二、裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)相消法是解答數(shù)列求和問(wèn)題常用的方法.在解題時(shí)，需將數(shù)列的每一項(xiàng)裂為兩項(xiàng)之差的形式，如[1n+n+1=n+1-n]、[1n+n+k=1k（n+k-n）（k≠0）]、[1n（n+k）=1k（1n-1n+k）（k≠0）]、[1n（n+1）=1n-1n+1]、[1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）]等.這樣在求和時(shí)，相鄰的幾項(xiàng)便可通過(guò)正負(fù)相消得以簡(jiǎn)化，通過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算，即可求得數(shù)列的和.

例2.已知正項(xiàng)等差數(shù)列[an]的首項(xiàng)[a1=1]，前[n]項(xiàng)的和為[Sn]，且[a3]是[a1]和[S5]的等比中項(xiàng).

（1）求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列[1anan+1]的前[n]項(xiàng)和[Tn].

解：（1）數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式為[an=2n-1]；（略）

（2）由（1）知，[an=2n-1]，

所以[an+1=2（n+1）-1=2n+1]，

所以[1anan+1=1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）]，

所以[Tn][=12（1-13+13-15+???+12n-1-12n+1）]

[=12（1-12n+1）=n2n+1.]

數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式為[an=2n-1]，則[1anan+1=1（2n-1）（2n+1）]，可將其裂項(xiàng)為[1anan+1=12（12n-1-12n+1）]，即可運(yùn)用裂項(xiàng)相消法快速求得數(shù)列的前n項(xiàng)和.運(yùn)用裂項(xiàng)相消法解題，同學(xué)們需仔細(xì)觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)其進(jìn)行合理的裂項(xiàng).

三、分組求和法

分組求和法是指將數(shù)列中的各項(xiàng)進(jìn)行分組，再分組進(jìn)行求和，從而求得數(shù)列的前n項(xiàng)和.在解題時(shí)，要仔細(xì)觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式，將其進(jìn)行合理的拆分、重組，使其中的一些項(xiàng)構(gòu)成等差、等比或常數(shù)列，這樣便可直接運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，順利求得數(shù)列的前n項(xiàng)和.

例3.若數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和為[Sn]，[4an=3Sn+1].

（1）求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)[bn-an]是等差數(shù)列，且[b1=2，b2=6]，求[bn]的前[n]項(xiàng)和[Tn].

解：（1）數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式為[an=4n-1]；

（2）設(shè)等差數(shù)列[bn-an]的公差為[d]，

因?yàn)閇b1-a1=2-1=1，b2-a2=6-4=2]，

所以[d=2-1=1]，

即[bn-an=1+（n-1）×1=n]，

所以數(shù)列[bn]的通項(xiàng)公式為[bn=n+4n-1]，

所以數(shù)列[bn]的前[n]項(xiàng)和[Tn=1+40+2+41+3+42+…+（n-1）+4n-2+n+4n-1]

[=[1+2+3+…+（n-1）+n]+40+41+42+…+4n-2+4n-1]

[=n（n+1）2+1-4n1-4=n2+n2-1-4n3].

數(shù)列[bn]的通項(xiàng)公式為[bn=n+4n-1]，可將該數(shù)列分為兩組，一組為等差數(shù)列[n]，另一組為等比數(shù)列[4n-1]，分別運(yùn)用等比數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式對(duì)前后兩部分進(jìn)行求和，再將所得的結(jié)果相加，便能得到數(shù)列[bn]的前[n]項(xiàng)和[Tn].

綜上所述，錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法和分組求和法的特點(diǎn)和適用情形都不相同，同學(xué)們需對(duì)其進(jìn)行深入的研究，以掌握這三類題目的通性通法，這樣在考試時(shí)就能信手拈來(lái)，高效解題.