【摘要】數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想之一，而一般觀念則是形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵要素.兩者的結(jié)合能讓學(xué)生在解決陌生復(fù)雜的解析幾何問(wèn)題時(shí)擁有更為清晰的路徑與方向.本文以2024年高考題為例，對(duì)數(shù)形結(jié)合以及一般觀念在解題中的重要性進(jìn)行剖析，旨在給以上兩種數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)提供參考.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學(xué)；解題方法

1 真題再現(xiàn)

（2024年新高考I卷第11題）圖1中的造型可以做成美麗的絲帶，將其看作曲線C的一部分.已知C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的點(diǎn)滿(mǎn)足橫坐標(biāo)大于－2，到F（2，0）的距離與到定直線x=aa<0的距離之積為4，則（ ）

（A）a=－2.

（B）點(diǎn)22，0在C上.

（C）C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1.

（D）當(dāng)點(diǎn)x0，y0在C上時(shí)，y0≤4x0+2.

2 試題解答

選項(xiàng)（A）：原點(diǎn)O在曲線C上且OF=2，根據(jù)曲線的定義知O到直線x=a的距離也應(yīng)該為2，再結(jié)合a<0得a=－2，正確；

選項(xiàng)（B）：根據(jù)曲線的定義寫(xiě)出曲線C的方程x+2x－22+y2=4.將22，0代入發(fā)現(xiàn)等號(hào)成立，正確；

選項(xiàng)（C）：從曲線C中解出y2=16x+22－x－22，不妨將左邊看作fx，令y=1可得x=2，并且f′（2）=－0.5<0，錯(cuò)誤；

選項(xiàng)（D）：因?yàn)閥2=16x+22－x－22≤16x+22，故 y0≤4x0+2，正確.

綜上，答案為（A）（B）（D）.

3 試題評(píng)價(jià)

本題位于新高考I卷的第11題，是多選題的壓軸題.該題以數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)美為背景，涉及了解析幾何中曲線與方程的相關(guān)內(nèi)容，構(gòu)造了一條新定義的曲線，并研究了這條曲線的方程、橫縱坐標(biāo)的最值以及橫縱坐標(biāo)的約束關(guān)系.

3.1 用幾何眼光觀察，用代數(shù)方法解決

對(duì)于選項(xiàng)（A），從圖形中觀察到原點(diǎn)O在曲線上再結(jié)合曲線的定義即能在不求出曲線方程的情況下將定直線x=a中的參數(shù)a確定下來(lái).這剛好是用“幾何眼光觀察，用代數(shù)方法解決”的數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn).類(lèi)似地，想要快速判斷選項(xiàng)（C）正誤的一個(gè)方法是觀察出縱坐標(biāo)為1的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)剛好為2，對(duì)應(yīng)的x軸上的點(diǎn)剛好是定點(diǎn)F（2，0）.如果能得到這個(gè)事實(shí)，那么后面不論是直接用圖象判斷出曲線上x(chóng)=2的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)并不是最大的，還是說(shuō)通過(guò)導(dǎo)函數(shù)判斷該點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)不為0，從而確定其不是最大值，都能使得整個(gè)題目的求解變得開(kāi)闊.事實(shí)上，想要求得曲線縱坐標(biāo)的最大值并非易事，但這也是數(shù)形結(jié)合的妙處所在.通過(guò)幾何觀察猜想，輔以代數(shù)確認(rèn)，就能四兩撥千斤地化難為易.

3.2 把握研究曲線方程類(lèi)問(wèn)題的一般觀念

由于學(xué)生已學(xué)習(xí)過(guò)利用圓錐曲線的第一定義對(duì)曲線的一般方程進(jìn)行推導(dǎo)，故選項(xiàng)（B）和（D）也要求學(xué)生利用定義寫(xiě)出曲線方程并判斷點(diǎn)是否在曲線上及橫縱坐標(biāo)之間的約束關(guān)系.這在考查類(lèi)比與遷移能力的同時(shí)，也對(duì)教師在平時(shí)教學(xué)中對(duì)學(xué)生一般觀念甚至是一般方法的培養(yǎng)提出了要求.首先，學(xué)生必須清楚認(rèn)識(shí)曲線與方程的充要關(guān)系，即“曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程”，“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”，因?yàn)檫@是理解曲線、方程與函數(shù)之間的重要橋梁.其次，有必要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)后自主歸納總結(jié)出求曲線方程的一般步驟以及求曲線方程的相關(guān)方法，畢竟這是正確書(shū)寫(xiě)曲線方程并進(jìn)行應(yīng)用的關(guān)鍵.最后，學(xué)習(xí)過(guò)程中強(qiáng)調(diào)“曲線的幾何特征—曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程—通過(guò)方程研究曲線的性質(zhì)—應(yīng)用”的研究過(guò)程也十分重要，以避免學(xué)生在面對(duì)這類(lèi)新的陌生的問(wèn)題時(shí)沒(méi)有頭緒.

總的來(lái)說(shuō)，該題目不僅考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理等素養(yǎng)，還通過(guò)新定義的曲線，考查了學(xué)生在新情境中解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想、一般觀念的水平提出了要求，體現(xiàn)了題目的創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)性.

4 類(lèi)題賞析

對(duì)于這一類(lèi)以數(shù)學(xué)美為背景考查新定義的曲線，并結(jié)合方程、函數(shù)、不等式等研究該曲線性質(zhì)的題型，在高考史上并非首次出現(xiàn).北京卷在2019年第8題就已經(jīng)考查了類(lèi)似的問(wèn)題，試題如下：

（2019年北京卷第8題）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一，下列三個(gè)結(jié)論：

①曲線C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)；

②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)2；

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）

（A）①②. （B）①③.

（C）②③. （D）①②③.

試題直接告知曲線方程，并要求曲線經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)、曲線上的點(diǎn)距離原點(diǎn)的最大值以及封閉區(qū)域圖形的面積，本質(zhì)上還是考查曲線與方程相關(guān)的數(shù)形結(jié)合思想與一般觀念、一般方法.

對(duì)于①整點(diǎn)個(gè)數(shù)的研究，先考慮x≥0時(shí)，轉(zhuǎn)化成方程根的問(wèn)題進(jìn)行求解，再通過(guò)幾何觀察得出對(duì)稱(chēng)性性質(zhì)處理x<0的情況，再加上邊界的2個(gè)情況最后得到6個(gè)整點(diǎn).上述2024年高考題也能命制成類(lèi)似問(wèn)題，結(jié)合之前的分析， 封閉部分曲線恰好經(jīng)過(guò)3個(gè)整點(diǎn)（2，1），（2，－1）與（0，0）.

對(duì)于②曲線上的點(diǎn)距離原點(diǎn)的最大值的研究，除了結(jié)合①的觀察找特殊點(diǎn)，也可考慮借助代數(shù)方法如基本不等式：x2+y2=1+xy≤1+x2+y22，可得：x2+y2≤2，即曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)2.該設(shè)問(wèn)本質(zhì)上與2024年高考題相同，其選項(xiàng)（B），選項(xiàng)（C）研究的都是邊界取值情況.對(duì)于上述2024年高考題的曲線，由于其特殊性，封閉部分曲線上的一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值剛好就是某個(gè)橫坐標(biāo)的最值.

對(duì)于③，主要借助的是割補(bǔ)法進(jìn)行近似求解即可，使用的還是數(shù)形結(jié)合思想，較為簡(jiǎn)單.

本題答案選（A）選項(xiàng).

總的來(lái)說(shuō)，兩題看似考查的知識(shí)點(diǎn)大不相同，但本質(zhì)考查的還是曲線方程的零點(diǎn)、最值或者是對(duì)稱(chēng)性這些性質(zhì)等.這其實(shí)也正是函數(shù)、曲線、方程等一般觀念之間的內(nèi)在聯(lián)系的體現(xiàn).另外，“先用幾何的眼光觀察，再用坐標(biāo)法解決”的數(shù)形結(jié)合思想也在貫徹始終.

5 結(jié)語(yǔ)

在研究曲線與方程一類(lèi)問(wèn)題時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想是統(tǒng)領(lǐng)性的存在.中學(xué)階段，我們通常都是給出某條曲線的幾何定義后，再通過(guò)數(shù)形結(jié)合的代數(shù)方法來(lái)進(jìn)行討論.事實(shí)上，一些細(xì)小的幾何觀察再配合代數(shù)與推理便能得到十分有趣的結(jié)論.另外，盡管圓錐曲線是考查學(xué)生能力素養(yǎng)的關(guān)鍵模塊，但也是機(jī)械套用泛濫的板塊.所謂的“二級(jí)結(jié)論”“秒殺大招”在不斷侵蝕學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而學(xué)生在面對(duì)新問(wèn)題時(shí)卻無(wú)所適從，這體現(xiàn)的正是一般觀念的重要性，也只有擁有了一般觀念與方法，學(xué)生才有可能在新問(wèn)題中自信自主地解決問(wèn)題.因此，教師有必要在該板塊教學(xué)中滲透、明確、強(qiáng)調(diào)這類(lèi)數(shù)學(xué)思想方法，以提升學(xué)生素養(yǎng)與能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.