【摘要】本文旨在深入研究解析幾何中定點定值問題的解題策略與技巧.通過對定點定值問題的典型例題進行分析，探討解題過程中的思維路徑和關(guān)鍵步驟，同時詳細闡述如何利用代數(shù)方法、幾何方法以及數(shù)形結(jié)合思想有效解決定點定值問題.

【關(guān)鍵詞】解析幾何；定點定值；解題技巧

1 引言

解析幾何作為數(shù)學(xué)的重要分支，其研究內(nèi)容涵蓋了平面幾何與代數(shù)之間的緊密聯(lián)系.在解析幾何中，定點定值問題是一類常見且具有挑戰(zhàn)性的問題.這類問題通常涉及曲線的性質(zhì)、方程的建立與求解等方面，需要綜合運用代數(shù)、幾何以及數(shù)形結(jié)合的思想進行解決.因此，研究解析幾何中定點定值問題的解題策略與技巧，對于提高解題能力、深化數(shù)學(xué)理解具有重要意義.

定點定值問題的精髓在于探尋在運動變化過程中始終保持穩(wěn)定的元素，即不變性.因此，解決這類問題的關(guān)鍵在于深入剖析運動變化的內(nèi)在機理，從而揭示這一變化是由哪些關(guān)鍵量的變動所主導(dǎo)的.為了實現(xiàn)這一目標，我們巧妙地引入?yún)⒆兞?，并緊密結(jié)合題目描述，構(gòu)建參變量與已知量之間的內(nèi)在聯(lián)系.在此過程中，我們致力于確保定點定值能夠獨立于參變量的變化而保持恒定，從而揭示出問題的核心并解決之.

2 定點問題

例1 已知經(jīng)過橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一點（x0，y0）的切線方程為x0xa2+y0yb2=1；橢圓E：x26+y2=1，P為直線x=3上的動點，過點P作橢圓E的兩條切線，切點分別為A，B，求證：直線AB過定點.

證明 設(shè)切點為A（x1，y2），B（x2，y2），

點P（3，t）.

由已知結(jié)論可得直線AP的方程：x1x6+y1y=1，直線BP的方程：x2x6+y2y=1，通過點P（3，t），

所以有x1·36+y1·t=1x2·36+y2·t=1，

所以點A，B滿足方程：x2+ty=1，

所以直線AB恒過點：x2－1=0y=0，即直線AB恒過點（2，0）.

例2 已知橢圓C：x22+y2=1，設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于不同的兩點M，N，點Q2，0，若直線MQ的斜率與直線NQ的斜率互為相反數(shù)，求證：直線l過定點.

證明 聯(lián)立y=kx+m，x22+y2=1，

得2k2+1x2+4kmx+2m2－2=0.

設(shè)Mx1，y1，Nx2，y2，

可得x1+x2=－4km2k2+1，x1x2=2m2－22k2+1，

由題知kMQ+kNQ=0，

即y1x1－2+y2x2－2=kx1+mx1－2+kx2+mx2－2=2kx1x2+m－2kx1+x2－4mx1－2x2－2=0，

即2kx1x2+m－2kx1+x2－4m=0，

解得k=－m，

所以直線l的方程為y=kx－1，故直線l恒過定點1，0.

3 定值問題

例3 設(shè)點P是雙曲線x24－y216=1右支上任意一點，過點P分別作兩條漸近線的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則PE·PF的值為．

解析 漸近線方程為2x±y=0，

設(shè)Px0，y0，則x204－y2016=1，

所以4x20－y20=16．

由點到直線的距離公式有

PE=2x0+y05，PF=2x0－y05，

所以PE·PF=2x0+y05·2x0－y05=4x20－y205=165.

故答案為：165.

例4 如圖1，已知橢圓x24+y23=1， 與坐標軸不垂直的直線l交于M，N兩點，線段MN的中點為P，求證：kMN·kOP（O為坐標原點）為定值.

證明 由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y=kx+mk≠0，

聯(lián)立y=kx+mx24+y23=1，

得3+4k2x2+8kmx+4m2－12=0.

Δ>0，即m2<4k2+3，

設(shè)Mx1，y1，Nx2，y2，

則x1+x2=－8km3+4k2，

y1+y2=kx1+x2+2m=6m3+4k2，

所以P－4km3+4k2，3m3+4k2，

所以kOP=3m3+4k2－4km3+4k2=－34k.

所以kMN·kOP=－34為定值.

解題策略 （1）設(shè)定合適的參數(shù).參數(shù)的選擇應(yīng)根據(jù)題目的具體條件和要求，以及所研究的圓錐曲線的幾何性質(zhì)來進行.參數(shù)設(shè)定得恰當，可以大大簡化后續(xù)的計算過程.（2）充分利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)、已知條件、點在曲線上，聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，利用點差法等幫助我們建立方程或方程組，從而更準確地描述問題的數(shù)學(xué)本質(zhì).同時，可以進一步約束參數(shù)的取值范圍，使問題更加明確.（3）尋找不受參數(shù)影響的定量：①通過對方程進行變形或組合，可以發(fā)現(xiàn)某些項或表達式與參數(shù)無關(guān).這通常涉及一些恒等式或等式性質(zhì)的應(yīng)用，如平方差公式、和差化積等.②圓錐曲線具有許多幾何性質(zhì)，如對稱性、焦點性質(zhì)等.這些性質(zhì)可以幫助我們識別那些與參數(shù)無關(guān)的量.③通過對方程組進行設(shè)而不求、基本變換消元和整體構(gòu)造代入操作，可以消去參數(shù)，從而得到只包含定點或定值坐標的方程.④利用題目的特殊條件：有時候，題目會給出一些特殊條件或提示，這些條件或提示可以幫助我們直接找到定點或定值.⑤通過舉例或特殊值法驗證.在找到可能的定點或定值后，可以通過舉例或取特殊值的方法進行驗證.

4 結(jié)語

本文通過系統(tǒng)的理論分析和案例實踐，揭示了參數(shù)設(shè)定、方程構(gòu)建、消參處理以及結(jié)果驗證等關(guān)鍵步驟中的精妙之處.這些策略和技巧不僅有助于提高解題效率和準確性，更能培養(yǎng)讀者的邏輯思維能力和空間想象力.期待廣大讀者能夠從中受益，激發(fā)對解析幾何的興趣與熱情，共同推動數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展與進步.

參考文獻：

[1]黃玲玲.例談圓錐曲線中定值、定點及定線問題的解題策略[J].數(shù)學(xué)通訊，2018（01）：21-25.

[2]王浩，潘靜，陳次光.圓錐曲線中一類定值定點問題的解題策略及拓展[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2024（07）：16-18.

[3]高玉榮.圓錐曲線中定點問題的解題策略[J].數(shù)理化解題研究，2024（09）：24-27.