【摘要】函數(shù)題在高中數(shù)學(xué)習(xí)題中占比較大，解法較多，呈現(xiàn)一定的規(guī)律性.當(dāng)前高考命題中，在函數(shù)習(xí)題方面，注重考查學(xué)生解題過(guò)程中的創(chuàng)新性思維與自主性思維.本文以具體的函數(shù)習(xí)題為例進(jìn)行解題分析，在不同的解法中探析高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)，以提升學(xué)生函數(shù)解題效率.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；函數(shù)；解題技巧

在高中函數(shù)習(xí)題解答過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的深入理解，從多個(gè)角度探討解題方法，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題思維的拓展[1].為此在解題過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)構(gòu)建完備的函數(shù)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，在解題實(shí)踐中運(yùn)用不同的解題技巧，結(jié)合題目中函數(shù)的具體特點(diǎn)，發(fā)散思維，尋找最為適宜的解題方法，提升函數(shù)習(xí)題解題效率.在解題過(guò)程中，多思考，多總結(jié)，在實(shí)踐中培養(yǎng)多元化解題能力[2].

例1 已知函數(shù)f（x）=x2+（x－1）x－a．

（1）如果a=－1，求解方程f（x）=1；

（2）如果函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ；

（3）如果a＜1，同時(shí)不等式f（x）≥2x－3對(duì)一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立，那么a的取值范圍是 .

解析 （1）在a=－1的情況下，

f（x）=x2+（x－1）x+1，

因此得出f（x）=2x2－1，x≥－1，1，x<－1，

在x≥—1的情況下，結(jié)合f（x）=1，得出2x2－1=1，

因此有x=1，或x=－1．

在x＜—1的情況下，f（x）=1恒成立．

所以方程的解集是{x|x≤—1或x=1}．

（2）f（x）=2x2－（a+1）x+a，x≥a，（a+1）x－a，x<a，

如果f（x）在R上單調(diào)遞增，

那么得出a+14≤a，a+1>0，有a≥13，

因此在a≥13情況下，f（x）在R上單調(diào)遞增．

（3）若g（x）=f（x）－（2x－3），

可得g（x）=2x2－（a+3）x+a+3，x≥a，（a－1）x－a+3，x<a，

不等式f（x）≥2x－3對(duì)一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立，

則不等式ga+34=a+3－（a+3）28≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立．

由于a＜1，

因此當(dāng)x∈－∞，a時(shí)，g（x）單調(diào)遞減，

g（x）的值域是a2－2a+3，+∞，

由于a2－2a+3=（a－1）2+2≥2，

因此g（x）≥0成立．

在x∈a，+∞的情況下，結(jié)合a＜1，得出a＜a+34，g（x）在x=a+34處取得最小值，

若ga+34=a+3－（a+3）28≥0，

得出—3≤a≤5，同時(shí)a＜1，

所以—3≤a＜1．

因此，a∈[—3，1）．

小結(jié) 對(duì)于含有絕對(duì)值的函數(shù)，根據(jù)絕對(duì)值的定義，將含有絕對(duì)值的函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的形式，分別求解每一段的函數(shù)值與不等式.在分析函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，分別考慮函數(shù)在不同區(qū)間的單調(diào)性，并結(jié)合單調(diào)性的條件，得出參數(shù)的取值范圍.在解決不等式問(wèn)題時(shí)，利用不等式的性質(zhì)，將不等式轉(zhuǎn)化為易于求解的形式，并結(jié)合題目給出的條件，求解參數(shù)的取值范圍.在解題過(guò)程中，注意函數(shù)的定義域，在求解過(guò)程中應(yīng)不超出函數(shù)的定義域范圍[3].

例2 若有函數(shù)f（x）=x2－1，g（x）=a|x－1|．

（1）如果函數(shù)h（x）=f（x）－g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少？

（2）在a≥—3的情況下，函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間－2，2上的最大值是多少？

解 （1）h（x）=|f（x）|—g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，

即h（x）=|f（x）|—g（x）=|x2—1|—a|x—1|只有一個(gè)零點(diǎn)，

顯然x=1為函數(shù)的零點(diǎn)，

得出|x+1|—a=0無(wú)實(shí)數(shù)根，

因此有a＜VMv/rg419AarINUyJ08crLUXcsslXy57chr8UX9NXCg=0.

（2）h（x）=|f（x）|+g（x）

=|x2—1|+a|x—1|

=x2+ax－a－1，1≤x≤2，－x2－ax+a+1，－1<x<1，x2－ax+a－1，－2≤x≤－1，

在1＜x≤2的情況下，

因?yàn)閍≥—3，得出—a2≤32，

因此，當(dāng)x=2時(shí)，h（x）的最大值是：h（2）=a+3；

在—2≤x＜—1的情況下，a2≥—32，

在x=-2時(shí)，h（x）的最大值是：h（—2）=3a+3；

在—1≤x≤1的情況下，

h（x）的最大值為：

max{h（—1），h（1），h（—a2）}=max{2a，0，14a2+a+1}=14a2+a+1，

因此得出函數(shù)h（x）最大值是

h（a）=a+3，－3≤a≤0，3a+3，0<x<4+26，14a2+a+1，a>4+26.

小結(jié) 對(duì)于涉及絕對(duì)值的函數(shù)問(wèn)題，無(wú)疑是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個(gè)既具挑戰(zhàn)性又充滿趣味性的課題.在處理含絕對(duì)值的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，將原函數(shù)拆分為若干個(gè)分段函數(shù).在將函數(shù)拆分為分段函數(shù)后，針對(duì)每個(gè)分段函數(shù)進(jìn)行詳細(xì)的求解，分別求解每個(gè)分段函數(shù)的零點(diǎn)，并判斷零點(diǎn)是否滿足原函數(shù)的定義域.而對(duì)于函數(shù)最值問(wèn)題，則分別求解每個(gè)分段函數(shù)的最值，并比較這些最值以確定原函數(shù)的最值.在求解過(guò)程中，注意分析參數(shù)的取值范圍對(duì)解或最值的影響.參數(shù)的取值范圍會(huì)改變分段函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而影響原函數(shù)的解或最值.因此，需要對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行仔細(xì)的分析[4].

結(jié)語(yǔ)

高中函數(shù)題目類型多樣，在解題過(guò)程中可以構(gòu)建多元化的解題思維，結(jié)合相關(guān)函數(shù)知識(shí)，從不同的思維角度入

手從而順利解題.面對(duì)不同的數(shù)學(xué)習(xí)題，多開(kāi)動(dòng)腦筋，在實(shí)踐中拓展解題思維，創(chuàng)新解題策略，提升函數(shù)相關(guān)習(xí)題的解題效率.

參考文獻(xiàn)：

[1]李健.變式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化組織中的實(shí)踐探索——以“函數(shù)”的高三復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2023，62（05）：12-16.

[2]韓龍淑，柳瓔乃，李露.高中數(shù)學(xué)新人教A版“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”的變化與教學(xué)建議[J].教學(xué)與管理，2023（15）：66-69.

[3]張曉斌，米新生，陳昌浩，等.高中數(shù)學(xué)“函數(shù)的概念與性質(zhì)”主題內(nèi)容教學(xué)探究[J].教學(xué)與管理，2022（30）：87-90.

[4]劉綠芹.學(xué)業(yè)述評(píng)的價(jià)值意蘊(yùn)與實(shí)施路徑——以普通高中數(shù)學(xué)“函數(shù)y=Asin（ωx+？）”為例[J].基礎(chǔ)教育課程，2021（11）：65-71.