【摘要】導數(shù)問題中不可避免的一步就是對函數(shù)求導過后的極值點進行研究，但是往往出題人不會將極值點以簡單的形式呈現(xiàn)，經(jīng)常以復雜函數(shù)式的方式給考生設置障礙，讓極值點難以直接得到.本文結合幾道典型例題探討解決此類問題的幾種策略.

【關鍵詞】高中數(shù)學；復雜函數(shù)；極值點

對于復雜函數(shù)式極值點問題，就應該拋棄傳統(tǒng)思維，轉(zhuǎn)而去研究一些其他的方法讓極值點變得可求，或者跳過極值點進行研究.本文就根據(jù)幾道例題談談此類復雜函數(shù)式極值點問題解法策略.

策略1 分解函數(shù)法

試題中經(jīng)常會遇到原函數(shù)很復雜、由多種函數(shù)混合而成的情況，如指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，直接進行求導可能會因為各種函數(shù)求導結果的不同而導致極值點難以分析，此時就可以采取將導數(shù)進行分解，變?yōu)閹讉€簡單函數(shù)相加的形式，這樣就能夠便于處理.

例1 設函數(shù)f（x）=a（x－lnx）+2x－1x2（a∈R），求證：當a=1時，f（x）>f′（x）+32對于任意的x∈［1，2］恒成立.

證明 當a=1時，

f（x）=x－lnx+2x－1x2，

f′（x）=1－1x－2x2+2x3.

即x－lnx+2x－1x2>1－1x－2x2+2x3+32，

轉(zhuǎn)化后得到x－lnx+3x+1x2－2x3>52.

令函數(shù)g（x）=x－lnx，h（x）=3x+1x2－2x3，則只需要證明g（x）+h（x）>52對任意的x∈［1，2］恒成立.

由于g′（x）=x－1x≥0，從而g（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，g（x）≥g（1）=1，當且僅當x=1時取等號，

由于h′（x）=－3x2+2x－6x4，

令h′（x）=0可得x=19－13.

從而得到h（x）在1，19－13上單調(diào)遞增，在19－13，2上單調(diào)遞減，

所以h（x）的最小值為h（1）或h（2）.

h（1）=2，h（2）=32，

所以h（x）≥h（2）=32，當且僅當x=2時取等號.

因為g（x）≥g（1）=1，

所以g（x）+h（x）>52，

所以f（x）>f′（x）+32在［1，2］上恒成立.

分解函數(shù)法的關鍵在于將函數(shù)進行合理的拆分，使得原函數(shù)變?yōu)閱蝹€的簡單函數(shù)，再進行研究.一般來說，常用的分解準則就是不同類型的函數(shù)進行拆分，求導后易于求解極值點的可以作為整體等.這需要學生在平時的練習中總結經(jīng)驗.

策略2 等價轉(zhuǎn)化法

等價轉(zhuǎn)化法的原理是將導數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為其他代數(shù)式是否成立的問題，其根本上并沒有改變題目的整體性質(zhì)，而是經(jīng)過合理的變換將條件轉(zhuǎn)化成易于求解的形式，從而形成一個便于解決的新的問題.學生需要仔細閱讀題目，找尋可等價轉(zhuǎn)化的量或表達式，通過代數(shù)轉(zhuǎn)化使其形式精簡，答案就顯而易見了.

例2 設函數(shù)f（x）=ex+x－a，若曲線y=sinx上存在點（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，求a的取值范圍.

解 因為y0=sinx0∈［－1，1］，

且f（x）≥0，f（f（y0））=y0，

所以y0∈［0，1］.

又因為f（x）在定義域上是單調(diào)遞增的，

若f（y0）>y0，則f（f（y0））>f（y0）>y0與f（f（y0））=y0相矛盾，

同理f（y0）<y0也不成立，

所以f（y0）=y0，即f（x）=x在［0，1］上有解，

即ex+x－a=x，

可得a=ex+x－x2.

令g（x）=ex+x－x2，

則g′（x）=ex+1－2x≥0恒成立，

所以g（x）在［0，1］上單調(diào)遞增，

所以g（x）∈［g（0），g（1）］，即a∈［1，e］.

等價轉(zhuǎn)化法有多種類型的轉(zhuǎn)化，例如此題就是將原問題轉(zhuǎn)化為了可以用分類討論來簡化的形式.此外，還可以考慮將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題、幾何問題等.要達到簡化和等價的目的，就必然要有巧妙的轉(zhuǎn)化，聯(lián)系各種數(shù)學知識之間的關系，猜測出題人意圖就能解出答案.

策略3 降冪轉(zhuǎn)化法

在題目中遇到函數(shù)式的冪次不等時，就可以考慮使用降冪轉(zhuǎn)化法使整個表達式轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一的冪次，或者是在運算過程中通過一些辦法將運算式轉(zhuǎn)化為所需要的冪次.這就需要學生根據(jù)題目所給條件合理轉(zhuǎn)化，有時求導也能起到降冪的作用.

例3 已知函數(shù)f（x）=x3+x2+ax+127有三個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

解 f′（x）=3x2+2x+a，

則Δ=4（1－3a）>0，

從而a<13.設x1，x2（x1<x2）是f′（x）=0的兩個根，

則f（x）在（－∞，x1）和（x2，+∞）上單調(diào)遞增，在（x1，x2）上單調(diào)遞減，

所以f（x）的極大值和極小值分別為f（x1），f（x2），

且由3x12+2x1+a=0可以得出x12=－2x1+a3，

f（x1）=x13+x12+ax1+127=x1（－2x1+a3）－2x1+a3+ax1+127=6a－29x1+1－3a27，

所以f（x1）f（x2）=（6a－2）281x1x2－2（1－3a）29×27

（x1+x2）+1－3a272.

將x1+x2=－23，x1x2=a3代入并化簡可得到關鍵式：f（x1）f（x2）=（1－3a）227（12a+5），從而由f（x1）f（x2）<0得到a<－512.

降冪轉(zhuǎn)化法是一種很具有數(shù)學意義的方法，主要體現(xiàn)在其在數(shù)學維度上的降低.高次式轉(zhuǎn)化為低次式是永恒不變的數(shù)學問題解決方法.解決此類問題要抓住題目中降冪的關鍵式才能一步到位.

策略4 放縮法

放縮法的關鍵在于在一定的范圍內(nèi)通過將原代數(shù)式和另一代數(shù)式進行比較，選擇適當?shù)牟盍窟M行形式的簡化，常見的不等式有ex≥x+1，ex≥ex，lnx≥－1ex，1－1x≤lnx≤x－1，等等.同學們需要根據(jù)題目靈活選擇.放縮式相當于一個中間量，中間量與所要證明的兩項的大小比較是顯而易見的.

例4 設函數(shù)f（x）=ax+lnx+1，若對于任意的x>0，f（x）≤xe2x恒成立，求a的取值范圍.

解 f（x）≤xe2x即ax+lnx+1≤xe2x，

則a≤e2x－lnx+1x在（0，+∞）上恒成立.

由ex≥x+1可得e2x－lnx+1x=e2x+lnx－（lnx+1）x≥2x+lnx+1－（lnx+1）x=2，

由此可得a≤e2x－lnx+1xmin=2.

放縮法要找到放縮的中間量，有時候在一定范圍內(nèi)放縮式才能成立，對于放縮式的大小需要通過常數(shù)或者變量代換的方式進行微調(diào)使其逐漸符合題目所需要求，此處也可以充分利用數(shù)形結合的方法來進行討論.

結語

以上四種策略從不同的層面對解決復雜函數(shù)式極值點問題進行了解

決，學生要舉一反三，利用其中的數(shù)學思想，充分發(fā)揮不同方法的特性，綜合運用才能快而準地解決問題.