【摘要】放縮是解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用方法.使用放縮法，通過(guò)適當(dāng)調(diào)整能夠使原本復(fù)雜的問(wèn)題變?yōu)楹?jiǎn)單的問(wèn)題.放縮的本質(zhì)在于找到一個(gè)合適的中間量使得某些復(fù)雜的項(xiàng)能夠消去.本文根據(jù)幾道例題來(lái)談高中數(shù)學(xué)中幾種特殊的放縮方法，以供參考.

【關(guān)鍵詞】放縮；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

方法1 利用遞推式對(duì)數(shù)列放縮

此方法常用于數(shù)列問(wèn)題中，在通過(guò)對(duì)于數(shù)列前幾項(xiàng)進(jìn)行常數(shù)微調(diào)之后，就可以就此規(guī)律對(duì)數(shù)列的后續(xù)項(xiàng)進(jìn)行同樣的微調(diào)，但是累積起來(lái)就能產(chǎn)生不同的效果，從而達(dá)到放縮的目的.

例1 已知a1=1，a2=4，an+2=4an+1+an，bn=an+1an，n∈N*.

（1）求b1，b2，b3的值；

（2）設(shè)cn=bnbn+1，Sn為數(shù)列cn的前n項(xiàng)和，求證：Sn≥17n；

（3）求證：|b2n－bn|<164×117n－2.

解 （1）易得b1=4，b2=174，b3=7217.

（2）由an+2=4an+1+an，

可得an+2an+1=4+anan+1，

即bn+1=4+1bn，

所以當(dāng)n≥2時(shí)，bn>4，

于是c1=b1b2=17，

cn=bnbn+1=4bn+1>17（n≥2），

所以Sn=c1+c2+…+cn≥17n.

（3）當(dāng)n=1時(shí)，

結(jié)論|b2－b1|=14<1764成立；

當(dāng)n≥2時(shí)，|bn+1－bn|=|4+1bn－4－1bn－1|=

bn－bn－1bnbn－1≤bn－bn－117≤bn－1－bn－2172≤…≤b2－b117n－1=14×17n－1.

所以b2n－bn≤bn+1－bn+bn+2－bn+1+…+b2n－b2n－1<14117n－1+117n+…+1172n－2=14×117n－11－117n1－117<164×117n－2，

所以對(duì)于任意的n∈N*，b2n－bn<164×117n－2.

評(píng)注 遞推放縮的關(guān)鍵在于如何對(duì)遞推式的前幾項(xiàng)進(jìn)行調(diào)整，這就需要根據(jù)遞推式的結(jié)構(gòu)適當(dāng)?shù)靥砑踊驕p少一些項(xiàng)，使其在后續(xù)的累加或者累乘的過(guò)程中能夠具有某種特殊的性質(zhì)，便于運(yùn)算.

方法2 利用二項(xiàng)展開(kāi)式放縮

二項(xiàng)展開(kāi)式放縮是一種較為新穎的放縮形式，適用于指數(shù)函數(shù)形式的問(wèn)題，將指數(shù)函數(shù)中常數(shù)進(jìn)行合理拆分，從而將其寫(xiě)成二項(xiàng)展開(kāi)式的形式，之后將展開(kāi)式中的某些項(xiàng)舍去或者每一項(xiàng)都與一確定常數(shù)進(jìn)行比較即可放縮.

例2 已知n∈N*且n≥2，求證：23n&lpBEXViBMJWpKmoklAdhwwA==t;8（n+1）（n+2）.

證明 觀察23n的結(jié)構(gòu)可以注意到32n=1+12n=1+C1n·12+C2n·122+…+Cnn·12n≥1+n2+n（n－1）8=（n+1）（n+2）+68>（n+1）（n+2）8，

所以23n<8（n+1）（n+2）.

評(píng)注 此方法放縮時(shí)需要學(xué)生熟悉二項(xiàng)展開(kāi)式的結(jié)構(gòu)特征，使得放縮后的式子符合題目所需.

方法3 利用單調(diào)性對(duì)函數(shù)放縮

單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，對(duì)于含自變量的問(wèn)題也可以從單調(diào)性入手構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行研究.在發(fā)現(xiàn)構(gòu)造的新函數(shù)的單調(diào)性后，對(duì)于常數(shù)項(xiàng)或者是式子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整即可.

例3 求證：12≤1n+1+1n+2+…+1n+n<710（n∈N*）.

證明 令Sn=1n+1+1n+2+…+1n+n，

則Sn+1－Sn=14（n+12）（n+1）>0，

所以數(shù)列Sn單調(diào)遞增，

故Sn≥S1=12，

又因?yàn)?4n+12（n+1）<14n+14n+54=14×1n+4－1n+54=14n+1－14n+5，

即Sn+14n+1>Sn+1+14n+5，

數(shù)列Sn+14n+1單調(diào)遞減，

所以Sn+14n+1≤S1+14×1+1=710，所以原不等式得證.

評(píng)注 能夠利用單調(diào)性解決的題目一般會(huì)有幾個(gè)特征：一是數(shù)列類(lèi)問(wèn)題，二則是在將自變量+1之后與原表達(dá)式結(jié)構(gòu)上有相似之處的問(wèn)題，等等，學(xué)生需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)膰L試才能夠確定是否適合利用此方法.

結(jié)語(yǔ)

以上三種方法是放縮的三種較為新穎且實(shí)用的方法，學(xué)生在使用的過(guò)程中要根據(jù)題目實(shí)際靈活選擇，牢記放縮的目的是找到合適的中間量，有時(shí)通過(guò)簡(jiǎn)單的常數(shù)項(xiàng)調(diào)整就能得到所要的放縮式.

參考文獻(xiàn)：

[1]萬(wàn)祺.等差、等比思想在數(shù)列不等式放縮中的應(yīng)用——以一道聯(lián)賽預(yù)賽試題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2022（10）：76-77.

[2]林國(guó)紅.切線放縮在函數(shù)雙零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2022（28）：23-26.

[3]白亞軍.求解數(shù)列不等式的常見(jiàn)放縮技巧[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2023（09）：21-22+20.