【摘要】“數(shù)學(xué)運(yùn)算”是六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開數(shù)學(xué)運(yùn)算.數(shù)學(xué)運(yùn)算是所有數(shù)學(xué)最基本的活動(dòng)形式，不是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，它反映了一名學(xué)生的綜合素養(yǎng)和能力.圓錐曲線中數(shù)學(xué)運(yùn)算比較繁雜，優(yōu)化運(yùn)算，既縮短計(jì)算時(shí)間又提高運(yùn)算的準(zhǔn)確度，使運(yùn)算過程簡(jiǎn)單明了，十分必要.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；高中數(shù)學(xué)；運(yùn)算技巧

圓錐曲線試題一直是高考數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，它的難點(diǎn)不僅在于需要幾何條件的代數(shù)化，而且在于數(shù)學(xué)運(yùn)算，如何巧妙地簡(jiǎn)化解析幾何的運(yùn)算就是一種能力，也是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的重要組成部分.本文通過典型例題，從“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)的內(nèi)涵出發(fā)，結(jié)合高中學(xué)生運(yùn)算能力的現(xiàn)狀，從解析幾何的運(yùn)算談如何巧妙切入，優(yōu)化運(yùn)算.

1 巧用極化恒等式化繁為簡(jiǎn)

例1 （濟(jì)南市2024屆高三5月模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在C上，如圖1，且PF1·PF2=2a2，PO=2b，則C的離心率為（ ）

（A）3. （B）2. （C）3. （D）2.

解析 由極化恒等式得：

PF1·PF2=14［（2PO）2－（F2F1）2］，

所以2a2=14［4×2b2－4c2］，

又c2=a2+b2，

所以c2=4a2，

所以e=ca=2.

技巧總結(jié) 本題利用極化恒等式大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)運(yùn)算.極化恒等式：a·b=14［（a+b）2－（a－b）2］.

（1）幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的14.

（2）在平行四邊形PMQN中，O是對(duì)角線交點(diǎn)，則：

①PM·PN=14|PQ|-|NM|2；（平行四邊形模式）；

②PM·PN=14|PQ|2-14|NM|2（三角形模式）.

2 運(yùn)用極限思想避開運(yùn)算

例2 P是雙曲線x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）右分支上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是左、右焦點(diǎn)，且焦距為2c，則△PF1F2的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為（ ）

（A）a. （B）b.  （C）c. （D）a+b－c.

解析 當(dāng)P沿雙曲線向右頂點(diǎn)無限接近時(shí)，△PF1F2的內(nèi)切圓越來越小，直至“點(diǎn)圓”，此“點(diǎn)圓”應(yīng)為右頂點(diǎn)，內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為a，故選（A）.

技巧總結(jié) 用極限法是解選擇題的一種有效方法，它根據(jù)題干及選擇題的特征，考慮極端情形，有助于縮小選擇面，迅速找到答案.

3 利用二級(jí)結(jié)論簡(jiǎn)化計(jì)算

例3 已知拋物線C：y2=8x，點(diǎn)P在C的準(zhǔn)線上，過C的焦點(diǎn)F的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，則AB的最小值為，若△ABP為等邊三角形，則AB=.

解析 設(shè)直線AB的傾斜角為θ，

則∠PMN=π2－θ，

AB=2psin2θ=8sin2θ，

MN=12AB=4sin2θ，

MNPM=sinθ，

PM=4sin3θ=32AB=43sin2θ，

所以sinθ=33，

AB=8sin2θ=24.

技巧總結(jié) 用焦點(diǎn)弦與直線傾斜角的關(guān)系解決焦點(diǎn)弦或焦半徑的問題，有效利用二級(jí)結(jié)論可以簡(jiǎn)化計(jì)算，快速準(zhǔn)確地求解答案.

4 巧用光學(xué)性質(zhì)

例4 甲、乙兩名探險(xiǎn)家在桂林山中探險(xiǎn)，他們來到一個(gè)山洞，洞內(nèi)是一個(gè)橢球形，截面是一個(gè)橢圓，甲、乙兩人分別站在洞內(nèi)如圖3所示的A、B兩點(diǎn)處，甲站在A處唱歌時(shí)離A處有一定距離的乙在B處聽得很清楚，原因在于甲、乙兩人所站的位置恰好是洞內(nèi)截面橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，符合橢圓的光學(xué)性質(zhì)，即從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)已知橢圓C：x2100+y236=1上一點(diǎn)M，過點(diǎn)M作切線l，A，B兩點(diǎn)為左右焦點(diǎn)，cos∠AMB=－14，由光的反射性質(zhì)：光的入射角等于反射角，則橢圓中心O到切線l的距離為.

分析 過點(diǎn)M作M處切線的垂線交AB于N，過A，O，B分別作切線的垂線交切線于點(diǎn)A1，O1，B1，由光學(xué)性質(zhì)和幾何位置關(guān)系得到∠A1AM=∠AMN=∠BMN=∠B1BM，求出sin∠AMA1=64，利用中位線的性質(zhì)、橢圓的定義求出OO1.

解析 如圖4，過點(diǎn)M作M處切線的垂線交AB于N，過A，O，B分別作切線的垂線交切線于點(diǎn)A1，O1，B1，由光學(xué)性質(zhì)可知MN平分∠AMB，∠B1MB=∠A1MA，

則∠A1AM=∠AMN=∠BMN=∠B1BM，

因?yàn)閏os∠AMB=－14，

故cosπ－∠AMB=cos2∠AMA1=1－2sin2∠AMA1=14，

所以sin∠AMA1=64，

OO1=12AA1+BB1=12（|AM|sin∠AMA1+|BM|sin∠BMB1）=12·20·sin∠AMA1=562.

故答案為：562.

技巧總結(jié) 從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，被橢圓反射后，必定經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)，橢圓的這種光學(xué)特性常被用來設(shè)計(jì)一些照明設(shè)備或聚熱裝置．例如電影放映機(jī)的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個(gè)焦點(diǎn)上，影片門在另一個(gè)焦點(diǎn)上．