【摘要】圓錐曲線中的離心率的取值、最值或取值范圍等問題是高考命題的一個(gè)重要方向．本文結(jié)合實(shí)例，就幾何法、函數(shù)法、不等式法等剖析破解離心率的取值范圍問題的幾種常見技巧策略，總結(jié)解題方式，拓展解題思維，歸納解題規(guī)律，指導(dǎo)師生的數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)以及解題研究．

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；離心率；橢圓；雙曲線

離心率是一個(gè)反映圓錐曲線形狀的幾何量，是圓錐曲線統(tǒng)一定義的橋梁與紐帶．圓錐曲線中橢圓（或雙曲線）的離心率的取值范圍的求解問題，一直是圓錐曲線模塊知識考查的熱點(diǎn)問題，常考常新，方式多變，綜合性強(qiáng)，難度較大．本文就對解離心率的取值范圍問題的一些常見解題技巧策略加以總結(jié)與歸納，結(jié)合實(shí)例加以剖析與應(yīng)用，以幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)和瓶頸，拋磚引玉．

1 幾何法

根據(jù)題設(shè)條件中曲線所對應(yīng)圖形的幾何性質(zhì)，結(jié)合平面幾何中的相關(guān)知識合理構(gòu)建對應(yīng)的不等式，進(jìn)而得以確定橢圓或雙曲線中參數(shù)a，b，c之間的不等式關(guān)系，結(jié)合離心率的定義得到對應(yīng)的不等式及其取值范圍．

例1 已知P是以F1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)的橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上一點(diǎn)，若∠F1PF2=120°，則該橢圓的離心率的取值范圍是．

分析 抓住橢圓所對應(yīng)曲線圖形的幾何性質(zhì)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓長軸端點(diǎn)處沿橢圓弧向短軸端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，P對兩個(gè)焦點(diǎn)的張角∠F1PF2逐漸增大，當(dāng)P點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)P0處時(shí)，∠F1PF2最大，通過平面幾何思維來切入，利用直角三角形所對應(yīng)的三角函數(shù)定義來確定離心率的取值范圍．

解 根據(jù)橢圓圖形的幾何性質(zhì)，可知當(dāng)點(diǎn)P為橢圓的短軸頂點(diǎn)（不妨設(shè)上頂點(diǎn)為A）時(shí)∠F1PF2最大，由于存在點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，使得∠F1PF2=120°，

所以在△AF1F2中，∠F1AF2≥120°，

那么在Rt△AOF2中，∠OAF2≥60°，

結(jié)合三角函數(shù)的定義有：

e=ca=sin∠OAF2≥sin60°=32，

又0<e<1，則有32≤e<1，

即該橢圓的離心率的取值范圍是32，1，

故填答案：32，1．

2 函數(shù)法

根據(jù)題設(shè)條件中相關(guān)參數(shù)的取值范圍或隱含相關(guān)變量的取值范圍，合理構(gòu)建離心率與對應(yīng)參數(shù)（或變量）間的函數(shù)關(guān)系式，通過函數(shù)思維與方法，利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)與方程、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等方法來求出離心率的取值范圍．

例2 ［2023屆湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三上學(xué)期月考（四）（2022年12月）數(shù)學(xué)試題］設(shè)F1，F(xiàn)2同時(shí)為橢圓C1：x2a2+y2b2=1a>b>0與雙曲線C2：x2a21-y2b21=1a1>0，b1>0的左、右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓C1與雙曲線C2在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)M，橢圓C1與雙曲線C2的離心率分別為e1，e2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若F1F2=4MF2，則e1e2的取值范圍是．

分析 根據(jù)圓錐曲線的定義構(gòu)建相關(guān)參數(shù)的關(guān)系式或不等式，結(jié)合參數(shù)間的關(guān)系，將兩離心率的乘積表示成對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，利用消參轉(zhuǎn)化為單參函數(shù)問題，以函數(shù)思維來解決對應(yīng)的取值范圍問題．

解 因?yàn)镕1F2=4MF2，

即2c=4MF2，則有MF2=12c，

由橢圓的定義可得：

MF1=2a－MF2=2a－12c，

由雙曲線的定義可知0<2a1=MF1－MF2=2a－－12c－12c=2a－c<2c（三角形的基本性質(zhì)：三角形兩邊之差小于第三邊），

則有2a<3c，所以e1=ca>23，

即e1∈23，1，亦即1e1∈1，32，

又e2=2c2a1=2c2a－c=2e12－e1，

所以e1e2=2e212－e1=22e21－1e1=

221e1－142－18∈23，2，

故填答案：23，2．

3 不等式法

根據(jù)題設(shè)條件中的參數(shù)a，b，c之間的不等關(guān)系式的構(gòu)建，或其他已知相關(guān)參數(shù)得到涉及離心率的不等式等，進(jìn)而通過不等式的基本性質(zhì)、不等式（組）的求解等方法來求出離心率的取值范圍．

例3 過橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左頂點(diǎn)A且斜率為k的直線交橢圓C于另一點(diǎn)B ，且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為右焦點(diǎn)F，若16<k<13，則橢圓C的離心率的取值范圍是．

分析 直接“翻譯”題設(shè)條件，通過點(diǎn)的坐標(biāo)的確定，并利用直線的斜率公式構(gòu)建參數(shù)k的關(guān)系式，通過題設(shè)中不等式條件來分析與求解，得以確定離心率的取值范圍．

解 依題可得左頂點(diǎn)A－a，0，右焦點(diǎn)Fc，0，將x=c代入橢圓的方程，

可得c2a2+y2b2=1，

解得y=±b2a，可得點(diǎn)Bc，±b2a，

結(jié)合直線的斜率公式，可得直線AB的斜率為

k=±b2ac+a=±b2aa+c=±a2－c2aa+c

=±a－ca=±1－e，

而16<k<13，0<e<1，

則有16<1－e<13，

解得23<e<56，所以橢圓C的離心率的取值范圍是23，56，

故填答案：23，56．

4 結(jié)語

破解離心率的取值范圍問題，關(guān)鍵就是充分分析與理解題目，從圓錐曲線的定義入手，結(jié)合曲線圖形的直觀，通過參數(shù)的函數(shù)、不等式的構(gòu)建等方式，利用函數(shù)思維或不等式思維，以及其他相關(guān)知識來綜合應(yīng)用．在實(shí)際破解此類問題時(shí)，有時(shí)一種解題技巧策略獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷，有時(shí)多種技巧策略齊心協(xié)力，共同協(xié)作，綜合應(yīng)用，從而實(shí)現(xiàn)問題的化歸與轉(zhuǎn)化，有效化陌生為熟悉，得以有效破解離心率的取值范圍問題．