摘要：實現(xiàn)具有特定形式的無旁瓣高指向性聲波波束的發(fā)射以及發(fā)射器件抵抗錯誤因素的能力過低一直是波束成形領域的棘手問題，通過旋轉散射體在聲學拓撲絕緣體的體邊對應關系下提出了散射體旋轉誘導模態(tài)下拓撲聲學高性能波束成形機理。受到旋轉散射體對模態(tài)耦合的調控，能夠實現(xiàn)無旁瓣寬頻段下對波束波峰寬度以及波束能量衰減速率的近場和遠場調控。通過在此結構內部引入錯誤因素，發(fā)現(xiàn)此拓撲聲學高性能波束成形器具有高容錯特性，多個錯誤因素對波束成形的近場遠場結果基本不產(chǎn)生影響，這在很大程度上降低了加工制造的難度，同時極大地提高了器件的使用壽命。分別對拓撲聲學波束成形以及錯誤因素介入下波束成形進行了實驗驗證，實驗測試結果實現(xiàn)了4100～4630Hz寬頻帶下無旁瓣的寬波峰波束，并且在器件中部分散射體缺失的情況下充分驗證了波束成形器的高容錯性。該研究提出的全新波束成形方法可為聲學通信、微納制造、生物醫(yī)學和其他微形及多功能聲學設備的工程應用提供參考。

關鍵詞：波束成形；拓撲聲學；高容錯；模態(tài)耦合；無旁瓣

中圖分類號：TB532" 文獻標志碼：A

DOI：10.7652/xjtuxb202409019 文章編號：0253-987X（2024）09-0191-14

Topological Acoustic High Performance Beamforming Mechanism Under Scatterer Rotation-Induced Mode

MA Chengzhi1，2， WU Jiuhui1，2， SONG Qian1，2， YU Luoqin1，2

（1. School of Mechanical Engineering， Xi’an Jiaotong University， Xi’an 710049， China; 2. State Key

Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures， Xi’an Jiaotong University， Xi’an 710049， China）

Abstract：The emission of high directional acoustic beams without sidelobes， along with the low resistance of transmitting devices to error factors， has been a challenging issue in beamforming. In this paper， a mechanism of topological acoustic beamforming with high performance under rotation-induced mode of the scatterer is proposed under the bulk-boundary correspondence relationship of the acoustic topological insulator by rotating the scatterer. The modulation of the modal coupling by the rotating scatterer enables the beam to have varying width crest and beam energy attenuation rates across a wide band without sidelobes in both near field and far field. By introducing error factors into the structure， it is found that the topological acoustic high performance beamforming device has high fault tolerance， and multiple error factors do not affect the near and far field results of beamforming， which greatly reduces the difficulty of manufacturing and greatly improves the service life of the device. The topological acoustic beamforming and the beamforming under the involvement of error factors are experimentally verified. The experimental results demonstrate the achievement of wide peak beams without sidelobes across a wide band of 4100—4360Hz and confirm the high fault tolerance of the beamformers when some scatters are missing in the device. This study proposes a new beamforming method that has can provide a reference for the engineering applications of acoustic communication， micro and nano manufacturing， biomedicine， and other micro-shaped and multi-functional acoustic devices and inspires other classical wave fields such as light and electromagnetic waves.

Keywords：beamforming; topological acoustics; high fault tolerance; modal coupling; without sidelobe

波束成形（BF）最早源于天線技術與數(shù)字信號處理技術的結合，目的是用于定向信號傳輸或接收。它源于自適應天線的一個概念，即接收端的信號處理，可以通過對多天線陣元接收到的各路信號進行加權合成，形成所需的理想信號。從天線方向視角來看，這樣做相當于形成了規(guī)定指向上的波束。例如，將原來全方位的接收方向圖轉換成了有零點、有最大指向的波瓣方向圖。同樣原理也適用于發(fā)射端，對天線陣元饋電進行幅值和相位調整，可形成所需形狀的方向圖。電磁波領域對波束調控的蓬勃發(fā)展［1-4］也極大地促進了聲波領域中對波束調控的發(fā)展［5-15］。

上述傳統(tǒng)的波束成形方法過于復雜，生成的波束存在不可避免的旁瓣干擾，且器件在加工制造過程中由加工制造誤差所引起的缺陷，以及隨著使用時間推移器件內部結構的破壞及缺失均會對生成的波束造成很大的影響，器件不具備便捷、高精度以及高容錯性［16-17］的特點，同時也限制了器件的小型化、微型化發(fā)展，對這些問題仍需進行研究。

隨著凝聚態(tài)物理領域的快速發(fā)展［18］，其中的拓撲邊界態(tài)，能夠實現(xiàn)拓撲保護的穩(wěn)定能量傳輸，同時拓撲序具有對抗局域擾動的穩(wěn)定性［19］，部分缺陷對傳輸不產(chǎn)生影響，具有較強的容錯性，顯示出新穎的特性［16，20-24］，這無疑為設計具有高性能的器件打開了新的思路。有關電子系統(tǒng)方面的研究極大地促進了聲學系統(tǒng)中拓撲絕緣體的研究［25-35］，由于人造晶體的對稱性有助于靈活控制，聲學量子谷霍爾效應［36］受到越來越多的關注［26，37-39］，拓撲界面態(tài)可以存在于具有不同谷霍爾相的聲子晶體交界面處，可以用來構建受拓撲序保護的高性能聲傳輸。

同時，鑒于具有不同旋轉角度的散射體所形成的聲子晶體會誘導不同的特征模態(tài)［26］，基于此模態(tài)可以實現(xiàn)不同的傳輸特性。因此，進一步基于聲子晶體空間點陣一致性下穩(wěn)定的布拉格散射模態(tài)，詳細分析其與散射體旋轉誘導模態(tài)之間的耦合關系，可以用來實現(xiàn)特定形式波束的誘發(fā)，在近場和遠場獲得所需形式的波束。

在這項工作中，本文首次提出了全新的拓撲聲學高性能波束成形機理，通過對具有晶格點陣一致性的聲子晶體內部的散射體進行旋轉，在聲學量子谷霍爾拓撲絕緣體的體邊對應關系基礎上，實現(xiàn)了寬頻帶下不存在旁瓣干擾且在近場和遠場具有不同形式的波束。具體而言，通過在具有不同拓撲態(tài)構成的聲傳輸通道兩側進一步反向旋轉兩側不同層數(shù)下的散射體，根據(jù)不同旋轉角下散射體誘導的模態(tài)變化，詳細分析其與穩(wěn)定的布拉格散射模態(tài)之間的耦合關系，探究它們之間的相互作用規(guī)律對頻帶的影響，使得整體呈現(xiàn)出能夠用來誘發(fā)寬頻段下特定形式波束的模態(tài)，通過構建的拓撲聲學波束成形器實現(xiàn)了具有不同波峰寬度的近場波束以及遠場發(fā)射精度的調控；在保證聲子晶體所具有的拓撲態(tài)不變的前提下，將其進一步旋轉可以發(fā)現(xiàn)，具有寬波峰形式的拓撲聲學波束的頻帶寬度在布拉格散射界面態(tài)的主要作用下具有較強的穩(wěn)定性，同時基于聲子晶體的禁帶特性，具有拓撲態(tài)的散射體通過進一步旋轉改變了波束能量向傳播方向兩側的衰減速率。通過在拓撲聲學波束成形器的不同區(qū)域中隨機引入缺陷（錯誤因素），發(fā)現(xiàn)其具有較強的容錯性，錯誤因素對其幾乎不產(chǎn)生影響，這極大地降低了加工制造的難度，提高了器件的使用壽命。最后，對上述研究結果進行了實驗驗證，驗證了拓撲聲學高性能波束成形及拓撲聲學高性能波束成形器的高容錯性。本文研究結果不僅將有助于聲學微控制、聲學通信、微納制造、生物醫(yī)學和其他微小型多功能聲學設備的工程應用，而且可為光波、電磁波等其他經(jīng)典波領域提供更多的參考。

1 三角晶格聲子晶體的色散關系

三角晶格聲子晶體及其色散關系如圖1所示，其中基本單元情況如圖1（a）所示，晶格常數(shù)a=40mm，單元中每個散射體類似于正三角形結構，散射體中小圓半徑r1=7mm，散射體中三角形頂角到中心的距離h=16mm，o為基本單元中心。背景介質為空氣，質量密度ρ0=1.29kg/m3，聲速c0=343m/s；通過3D打印技術加工制作了材料為光敏樹脂的散射單元，質量密度ρu=1210kg/m3，聲速cu=1570m/s。由于光敏樹脂與空氣之間的聲阻抗差異很大，兩者之間的邊界可視為硬聲場邊界條件，滿足

n·ΔP=0 （1）

式中：n為邊界的單位法向量；P為聲壓。聲波在聲子晶體中的傳播由以下方程控制

Δ·1ρ（r）ΔP（r，t）=1B（r）2P（r，t）2t （2）

式中：ρ（r）是密度，r是位置向量；B（r）=ρ（r）c（r）2是體積模，c（r）是聲速?？紤]到聲子晶體的周期性，ρ（r）和c（r）受到以下條件的約束

ρ（r+Rn）=ρ（r）

c（r+Rn）=c（r） （3）

式中：Rn=n1a1+n2a2是方向晶格向量，a1=（a，0），a2=（a/2，3a/2），n1、n2是任意整數(shù)。

根據(jù)Bloch定理，周期聲學系統(tǒng)的響應［40］可以表示為

P（r，t）=uk（r）ekr－ωt （4）

式中：uk（r）為響應的振幅矢量；k為波矢量；ω為角頻率。將式（4）代入式（2）可得

Δ·1ρ（r）Δ（uk（r）ekr）+ω2B（r）uk（r）=0 （5）

采用有限元方法（FEM），式（5）可表示為如下矩陣形式

（K（k）－ω（k）2M）U=0 （6）

式中：U=U1，U2，…，UnT是uk（r）的離散形式；K是剛度矩陣；M是質量矩陣。此外，在基本單元兩側應用Floquet周期邊界條件［41-42］，滿足

P（r+Rn，t）=eikRnP（r，t） （7）

如圖1（a）所示的第一布里淵區(qū)中，沿著M—K—?！狹路徑掃描k，可以得到如圖1（b）所示不同旋轉角度下聲子晶體的色散關系，進一步給出了動量空間K附近的三維色散關系如圖1（c）所示。當θ=nπ/3， n為整數(shù)時，K（K′）處的點群具有C3v對稱性，在K （K′）點形成狄拉克錐。例如，當θ=0°時，可以觀察到狄拉克錐，如圖1（b）、圖1（c）中黑色實線以及黑色曲面所示。當θ=15°時，整個系統(tǒng)的鏡像對稱性被打破，K（K′）點的對稱性降低到C3，狄拉克錐處的簡并態(tài)分裂為K1和K2并存在帶隙，如圖1（b） 、圖1（c）中紅色虛線以及紅色曲面所示。

2 拓撲相位反轉與超胞的色散關系

旋轉散射體可以實現(xiàn)聲學系統(tǒng)的拓撲相位反轉如圖2所示。K1和K2對應的頻率隨旋轉角的變化情況如圖2（a）所示，圖2（b）給出了θ=±15°時K1和K2處（圖2（a）中黑色圓點處）渦漩模態(tài)的分布情況，位于藍線上的圓點1和4均對應于p-渦漩狀態(tài)，位于橙色線上的圓點2和3均對應于q+渦漩狀態(tài)，其中p-和q+分別代表p和q周圍不同渦漩狀態(tài)，如紅色箭頭所示在p和q周圍分別具有順時針和逆時針的能量流。當θ改變它的符號時，帶隙大小保持不變，拓撲相位發(fā)生反轉［36］，由下面的拓撲不變量表示。

評估了θ=±15°聲子晶體的拓撲不變量，不同旋轉角的聲子晶體的拓撲性質可以用帶的谷Chern數(shù)CK/K′來表征。CK/K′是通過對Berry曲率Ω（k）=iΔk×〈n（k）Δkn（k）〉進行積分計算的，其中|n（k）〉是帶的歸一化Bloch波函數(shù)，可以由式（6）和Δk=（kx，ky）得到。因此，可以通過對K （K′）周圍的Berry曲率［43］積分得到谷Chern數(shù)

CK/K′=12π∫Ω（k）dk2 （8）

當θ=－15°時，第一條帶的谷K （K′）對應的CK/K′為-1/2（1/2），θ=15°時為1/2（-1/2）。選擇θ=15°和θ=－15°的聲子晶體來構造拓撲界面態(tài)， 交界面兩側谷Chern數(shù)差的絕對值ΔCiK/K′=1，根據(jù)bulk-boundary對應關系［36］，這表明在交界面處存在一個手性邊緣模式。為了確認bulk-boundary對應關系，進一步研究了由不同拓撲態(tài)的聲子晶體組成的超胞如圖3所示，構造了具有Ⅰ-Ⅲ和Ⅲ-Ⅰ兩種不同類型交界面的超胞結構，將其命名為情況1超胞結構，如圖3（a）所示，其中Ⅰ區(qū)域是由旋轉角θ=15°的散射體基本單元構成，Ⅲ區(qū)域是由旋轉角θ=－15°的散射體基本單元構成，超胞沿x方向兩側設置為Floquet周期邊界條件，y兩側為連續(xù)型邊界條件，由于該超胞在動量空間具有周期性，令波矢kx=mx（π/a），mx為變量，通過改變mx探究不同波矢kx下對應的特征頻率，進而得到其能帶結構如圖3（b）所示。圖3（c）展示了K谷附近mx= 0.6處Ⅰ-Ⅲ和Ⅲ-Ⅰ界面的拓撲界面態(tài)，其壓力場分布對稱于交界面（黑色虛線），模態(tài)上方的顏色分別對應能帶圖3（b）中相應顏色的拓撲界面帶。由于藍線和紅線對應的界面類型具有時間反轉對稱性，故而從K谷和K′谷投影出的一對界面模態(tài)存在正向和反向傳輸，更進一步通過圖3（c）中紅色聲能流箭頭及能帶圖3（b）中拓撲界面帶的斜率可以看出，兩種界面態(tài)類型在整個禁帶頻段范圍內均存在正向及反向傳輸模態(tài)，因此在聲源激發(fā)下能夠支持受拓撲保護的雙向聲能流密度傳輸。

3 散射體旋轉誘導模態(tài)下的拓撲聲學波束成形

為了進一步研究散射體旋轉誘導模態(tài)下旋轉角對拓撲聲學波束成形的影響，鑒于該聲子晶體基本單元中散射體的旋轉角對于模態(tài)的影響具有60°的周期性，以θ=0°為中心分為［-30°， 0°）和（0°， 30°］兩部分，對這兩部分進行細分，將30°進一步細分為14等份，每一份間隔角A=30°/14。通過上述谷Chern數(shù)CK/K′計算可得，當θ為［-30°， 0°）時，第一條帶的谷K （K′）對應的谷Chern數(shù)CK/K′均為-1/2（1/2），當θ為（0°， 30°］時均為1/2（-1/2）。

3.1 寬頻帶下的拓撲聲學波束波峰寬度調控

進一步為了實現(xiàn)寬波峰形式的波束，在情況1超胞結構（Ⅰ區(qū)域對應散射體旋轉角θ=nA，Ⅲ區(qū)域對應散射體旋轉角θ=－nA，n=7）的基礎上，反向旋轉具有不同拓撲態(tài)的聲子晶體交界面兩側的散射體，分別對不同層下的散射體進行旋轉，將其恢復到未旋轉的情況，聲子晶體的層數(shù)分布情況如圖3（a）中紅色虛線框內所示。分別研究了4種情況下的超胞如圖4（a）所示，其中橙色部分Ⅰ以及藍色部分Ⅲ分別代表旋轉散射體角為θ=nA具有拓撲態(tài)CK= 1/2，以及旋轉散射體角為θ=－nA具有拓撲態(tài)CK=-1/2的聲子晶體部分；灰色部分為未旋轉，即θ=0°時的散射體區(qū)域Ⅱ；情況1為最初研究的超胞結構，情況2下的超胞結構在兩種不同拓撲態(tài)的區(qū)域Ⅰ和Ⅲ之間共具有4層的區(qū)域Ⅱ，情況3下共具有8層的區(qū)域Ⅱ，情況4下共具有12層的區(qū)域Ⅱ。情況3超胞及其能帶結構如圖4（d）所示，其中藍色和紅色實線對應穩(wěn)定的拓撲界面帶，黑色實線對應體邊界帶，綠色點劃線對應兩個重疊在一起的混合邊界帶，這里主要是因為該超胞結構由Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ和Ⅲ-Ⅱ-Ⅰ兩種組合形式，每種形式下均具有它們各自的模態(tài)分布，如圖5（d）中情況3的Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ結構下對應藍虛線框+紅虛線框+藍虛線框內模態(tài)的組合，Ⅲ-Ⅱ-Ⅰ結構下對應紅虛線框+藍虛線框+紅虛線框內模態(tài)的組合，值得注意的是這里線框的顏色及其內部模態(tài)分別與拓撲界面帶對應的顏色和模態(tài)一致，可見混合邊界帶對應的模態(tài)均是由兩種拓撲界面態(tài)組合而成。

對4種情況下超胞的能帶結構總體情況進行了歸納總結，如圖5（a）所示。進一步詳細描述了圖5（a）中灰色虛線框內的部分，如圖5（b）所示，可以看出，4種情況下的拓撲界面帶幾乎完全重合保持不變，其與完全由未旋轉散射體區(qū)域Ⅱ組成的超胞所對應的由布拉格散射誘導下穩(wěn)定的邊界帶（能帶圖4（b）中紅色和藍色虛線）完全重合，同時圖5（b）中能帶結構mx=0.6處藍色實線對應的拓撲界面態(tài)如圖5（c）所示，也與圖4（b）中左半部分由布拉格散射誘導下穩(wěn)定的邊界模態(tài)一致。故而，在保證晶格點陣一致性不變的前提下，穩(wěn)定的拓撲界面帶基本不會受到內部散射體旋轉的影響，具有極強的穩(wěn)定性。情況2、3和4下對應的混合邊界帶（紫色、綠色以及土黃色點劃線）隨著區(qū)域Ⅰ和Ⅲ之間區(qū)域Ⅱ散射體層數(shù)的增加逐漸向拓撲界面帶逼近，如圖5（b）中灰色虛線箭頭所示，主要是因為隨著層數(shù)的增加，兩種模態(tài)組合中中間虛線框所對應的和拓撲界面態(tài)一致的模態(tài)區(qū)域相較整個超胞來說，占比逐漸增加，如圖5（d）所示，這就使得其對應的混合邊界帶逐漸趨向于布拉格散射誘導下穩(wěn)定的拓撲界面帶。圖5（b）中對應的黑色部分為體帶部分，由于其模態(tài)主要作用于具有同種拓撲態(tài)的散射體區(qū)域內部如圖5（d）中黑色實線對應的模態(tài)所示，故而其具有相對較強的穩(wěn)定性，不易受到區(qū)域Ⅱ散射體層數(shù)的影響，不同情況下的體帶部分基本完全重合。

為了充分說明具有不同拓撲態(tài)的聲子晶體在引入?yún)^(qū)域Ⅱ后仍然是產(chǎn)生拓撲界面帶的充分條件，額外設置了一組超胞如圖4（c）所示，該結構除了中間部分為區(qū)域Ⅰ散射體外，其他情況與情況3超胞一致。此時區(qū)域Ⅱ兩側均為同一種拓撲態(tài)，該超胞的能帶結構中不存在遍及整個禁帶區(qū)域的拓撲界面帶，不存在穩(wěn)定的拓撲界面態(tài)。故而，在不同拓撲態(tài)的保護下，可以得到穩(wěn)定的拓撲界面態(tài)，用以構建寬頻帶下寬波峰形式的拓撲聲學波束。

不同層數(shù)區(qū)域Ⅱ下拓撲聲學波束成形器的近場波束成形如圖6所示。進一步針對上述研究的4種情況，分別構建了拓撲聲學波束成形器如圖6（a）～圖6（d）結構示意圖所示，圖6中的橙色區(qū)域和藍色區(qū)域分別代表具有不同拓撲態(tài)的聲子晶體區(qū)域Ⅰ和Ⅲ，中間的灰色區(qū)域代表未旋轉散射體的區(qū)域Ⅱ，圖6（a）～圖6（d）中的紅色圓點和藍色圓點分別為內部測量點和近場外部測量點的位置分布情況，紅色五角星為聲源的位置。在4種情況下聲源分別發(fā)射位于拓撲界面帶內4450Hz的聲波，聲壓的分布情況如圖6（e）～圖6（h）所示，拓撲聲學波束成形器的右端面（出射面）在情況1下呈現(xiàn)出點聲源的發(fā)射形式，在情況2、3和4下呈現(xiàn)出類似于平面波，具有一定寬度的寬波峰形式的拓撲聲學波束，且具有極強的穩(wěn)定性。同樣，在4450Hz聲波的激勵下，對4種不同情況下波束成形器的聲能流密度分布情況進行了仿真模擬，如圖6（e）～6（h）中的小圖所示，可見聲能流密度的分布主要集中于未旋轉的散射體區(qū)域Ⅱ部分，在不同層數(shù)區(qū)域Ⅱ下具有不同的波峰寬度。通過內部測量點以及外部測量點分別以各自測量點測得的最大聲能流密度為基準得到了不同情況下的歸一化聲能流密度，如圖6（i）、圖6（j）所示?？梢钥闯觯?種情況下的內部和近場外部測量點測得的波峰寬度和未旋轉散射體區(qū)域Ⅱ的層數(shù)相關，拓撲聲學波束的波峰寬度可以通過改變區(qū)域Ⅱ的層數(shù)進行調控；4種情況下拓撲聲學波束的衰減速率均保持一致，這主要是因為具有拓撲態(tài)的部分均具有一致的旋轉角，散射體之間的距離在x方向上保持一致，在聲子晶體禁帶特性的作用下聲壓在y方向上的擴散效果基本保持不變。最后，對比了情況3下內部測量點測得的歸一化聲能流密度情況與近場外部測量點測得的歸一化聲能流密度情況，如圖6（k）所示。通過對比發(fā)現(xiàn)，兩種情況下的歸一化聲能流密度結果雖然存在微小的偏差，但是在整體上基本重合，由此可見由內部拓撲保護下穩(wěn)定聲能流密度分布形式誘發(fā)的外部近場拓撲聲學波束具有很好的穩(wěn)定性，這為拓撲聲學波束成形奠定了良好的基礎。

不同層數(shù)區(qū)域Ⅱ下的遠場波束成形如圖7所示。在拓撲聲學波束成形器周圍應用外場計算，通過r → ∞遠場積分近似計算了4種不同情況下遠場聲能流密度輻射情況，如圖7（a）所示，在每種情況下單獨進行歸一化處理，可以看到輻射方向均為0°且均無旁瓣的干擾，進一步放大主瓣，可以看到隨著區(qū)域Ⅱ中層數(shù)的增加，主瓣逐漸變薄，波束寬度α逐漸下降，如圖7（b）所示，所發(fā)射的聲束在遠場的精確程度越來越高。此外，對應波束寬度α 通常分布在一條直線L0上，通過數(shù)值擬合得到L0的表達式α=-0.375N+10.567，其中N代表了區(qū)域Ⅱ部分的層數(shù)。N=8時紅點對應的波束寬度α=7.512，與L0上對應的波束寬度α=7.567非常接近，可以通過L0對不同區(qū)域Ⅱ層數(shù)下的遠場波束成形的波束寬度進行估計。圖7（c）為情況3結構在4450Hz聲源下聲壓以及聲能流密度的分布情況，可以看出隨著傳播距離的增加，聲束逐漸向兩邊擴散，但是仍然具有極高的發(fā)射精度。

3.2 拓撲聲學波束能量衰減速率調控

在前面研究的基礎上進一步對拓撲聲學波束向傳播方向兩側衰減的速率進行研究，實現(xiàn)對波束的精細調控。前文獲得了能夠用來構建寬頻帶下具有寬波峰形式的拓撲聲學波束的超胞，首先探究具有拓撲態(tài)的散射體的進一步旋轉對寬波峰形式波束頻帶寬度的影響，如圖8所示。在保證各自拓撲態(tài)不變的前提下，在情況3超胞的基礎上進一步旋轉區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅲ部分的散射體，區(qū)域Ⅰ中的散射體旋轉角在（0°， 30°］之間變換，區(qū)域Ⅲ中的散射體旋轉角在［-30°， 0°）內變換，這里分別連續(xù)取n=5～14，對如圖4（c）能帶圖中的灰色方格子區(qū)域所示獲得的寬波峰波束頻帶寬度Δf進行了總結，結果如圖8（a）中帶有正方形的紅色實線所示，同時也對圖3（a）情況1下不具有區(qū)域Ⅱ的超胞中區(qū)域Ⅰ和Ⅲ的散射體進一步旋轉，頻帶寬度Δf結果如圖8（a）中帶有三角形的黑色實線所示，可以見得Ⅰ和Ⅲ之間具有區(qū)域Ⅱ的超胞，其頻帶寬度在受到更多布拉格散射模態(tài)分布的影響時，相較情況1下的頻帶寬度隨著旋轉角的進一步增加具有較好的穩(wěn)定性，帶寬Δf增加的速率遠小于情況1下的，但仍然呈現(xiàn)略微上升的趨勢，情況3下的帶寬隨著n的增加先逐漸增加，當n增大到一定程度后，帶寬逐漸趨于穩(wěn)定，不再隨著散射體旋轉角的增加而增大，最終穩(wěn)定在538Hz。選取具有代表性的旋轉角，進一步詳細分析了n為5、7、9、11、13情況下圖4（c）中能帶結構于mx=0.6紅色垂直實線處混合邊界帶（綠色點劃線）對應的兩個特征模態(tài)的聲能流密度和聲壓分布情況，如圖8（b）所示。兩個特征模態(tài)分別呈現(xiàn)出藍線+紅線+藍線和紅線+藍線+紅線對應模態(tài)的組合，如圖8（b）中特征模態(tài)圖左上角所示，圖8（b）中的綠色和土黃色虛線框中的部分分別為旋轉過具有拓撲態(tài)的散射體區(qū)域Ⅰ或Ⅲ以及散射體區(qū)域Ⅱ，對應特征頻率的藍色和紅色分別代表特征模態(tài)作用于Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ以及Ⅲ-Ⅱ-Ⅰ的散射體組合，灰色箭頭代表隨著旋轉角的增大，聲能流密度在對應部分的衰減趨勢。通過觀察不同旋轉角下的特征模態(tài)可以看出，隨著n的增加綠色虛線框中的散射體與散射體之間沿著x方向的間隙越來越小，在聲子晶體禁帶特性的作用下，使得拓撲界面態(tài)對應的聲壓模態(tài)在綠色虛線框和土黃色虛線框的交界處沿著y方向的擴散越來越弱，例如圖8（b）中n=5情況下綠色虛線框中仍然具有覆蓋面很大的拓撲界面態(tài)聲壓模態(tài)分布，隨著n的增大對應綠色虛線框內的模態(tài)逐漸衰減，拓撲界面態(tài)（布拉格散射誘導的穩(wěn)定模態(tài)）在超胞結構中模態(tài)的占比越來越少，因此其特征頻率逐漸遠離拓撲界面帶頻率，帶寬逐漸增大。進一步，當n為11、13時可以看出，綠色虛線框中基本上不存在拓撲界面態(tài)聲壓模態(tài)的分布，當進一步旋轉具有拓撲態(tài)的散射體時也正是旋轉的該部分散射體，由于該部分受到聲子晶體阻礙的影響聲壓模態(tài)分布已經(jīng)很少了，進一步的旋轉不會對模態(tài)分布在聲子晶體區(qū)域Ⅱ的部分帶來影響，這也解釋了為什么頻帶寬度Δf隨著n的增大逐漸趨于穩(wěn)定。

在情況3下拓撲聲學波束成形器的基礎上，n分別取5、7、9、11、13，其他條件保持不變，對不同旋轉角下近場、遠場拓撲聲學波束成形進行研究，如圖9所示。通過內部測量點對其歸一化聲能流密度進行測量可以看到，聲能流密度均具有良好的穩(wěn)定性，不同旋轉角下波峰的寬度均保持不變，并且隨著旋轉角的進一步增大聲能流密度的衰減速率越來越快。通過對不同情況下圖6（c）淡藍色虛線框所示區(qū)域的聲能流密度的分布情況進行提取，如圖9（b）所示，隨著旋轉角的增大，聲能流密度相對強的部分（亮黃色）逐漸減少，聲能流密度相對弱的部分（橘黃色）逐漸增多；更進一步分析了該區(qū)域的聲壓分布情況，隨著旋轉角的增大，由于散射體在x方向之間的距離越來越小，聲波在y方向的擴散越來越弱，藍色和紅色部分顏色逐漸變淡，內部聲場和近場外部聲場之間的衰減趨勢具有很好的一致性。這充分說明了通過進一步旋轉具有不同拓撲態(tài)區(qū)域Ⅰ和Ⅲ的散射體，可以調節(jié)聲波在聲子晶體中的擴散強度，從而進一步對近場拓撲聲學波束向傳播方向兩側衰減的速率進行調控。

研究了不同能量衰減速率下遠場聲能流密度輻射情況如圖9（c）所示，可以看到輻射方向同樣均為0°且均無旁瓣的干擾，隨著n增大，波束寬度α逐漸增大，所發(fā)射的聲束在遠場的精確程度略微降低，但仍然具有極高的發(fā)射精度。此外，對應波束寬度α通常分布在一條直線L1上（如圖9（d）所示），通過數(shù)值擬合得到L1的表達式α=0.16594n+6.166。n=7時紅點對應的波束寬度α=7.39638，與L1上對應的波束寬度α=7.32818非常接近，可以通過L1對不同能量衰減速率下的遠場波束成形的波束寬度進行估計。

4 高性能拓撲聲學波束成形器的高容錯性測試

鑒于拓撲序具有對抗局域擾動的穩(wěn)定性［19］，通過在拓撲聲學波束成形器中進一步引入缺陷，探究錯誤因素介入下高性能拓撲聲學波束成形器的近場及遠場特性，如圖10所示。在情況3下波束成形器在圖6（c）的基礎上，首先在區(qū)域Ⅱ部分隨機去掉3個散射體，其他條件保持不變，如圖10（a）情況3.1所示。聲源于紅色五角星處發(fā)射4450Hz的聲波，近場聲壓以及聲能流密度分布情況如圖10（d）所示；在情況3的基礎上在具有拓撲態(tài)的散射體區(qū)域Ⅰ和Ⅲ部分隨機去掉6個散射體，其他條件保持不變，如圖10（b）情況3.2所示；聲壓以及聲能流密度分布情況如圖10（e）所示；最后綜合情況3.1和情況3.2在區(qū)域Ⅱ部分以及區(qū)域Ⅰ和Ⅲ部分隨即去掉3個和6個散射體，其他條件保持不變，如圖10（c）情況3.3所示；聲壓以及聲能流密度分布情況如圖10（f）所示，可以看出，波束成形在這幾種情況下均不受影響，具有極強的穩(wěn)定性。通過測量點對其進行測量，錯誤因素對其近場波束成形的效果不產(chǎn)生影響，測量結果均與情況3下不具有錯誤因素的波束成形結果保持一致，如圖10（g）、圖10（h）所示，值得注意的是，通過內部測量點測得的波峰部分出現(xiàn)了微小的波動，這主要是缺陷的存在，略微對其周圍的聲波產(chǎn)生了微小的影響，但是測試結果的整體趨勢完全吻合，通過外部測量點測得的結果基本上完全一致，這充分體現(xiàn)了高性能拓撲聲學波束成形器的高容錯性。

對錯誤因素介入下的遠場聲能流密度輻射情況進行了研究，如圖10（i）所示，可以看到輻射方向在區(qū)域Ⅱ部分均具有任意3個散射體缺失的情況3.1和情況3.3中發(fā)生了微小的偏移，分別處于358.998 5°和358.985 2°，這主要是由于散射體的缺失對內部聲壓分布形式造成了微小的干擾，當聲波出射時，由內部微小干擾造成的影響隨著傳輸距離的增加逐漸被放大，從而形成了上述的波束形式。區(qū)域Ⅰ和Ⅲ部分具有任意6個散射體缺失的情況3.2的輻射方向沒有受到干擾，仍然保持在0°，這主要是受到拓撲序具有抵抗局域擾動的穩(wěn)定性，同時聲波在傳播過程中聲壓分布的形式不位于該區(qū)域，不會受到該部分的影響。由如圖10（i）可以看到，情況3和情況3.2的波束寬度α 基本一致，情況3.1和情況3.3的波束寬度α 基本一致，但是區(qū)域Ⅱ中散射體的缺失會對波束寬度造成略微的影響，會使得遠場波束寬度略微增加，所發(fā)射的聲束在遠場的精確程度略微降低，但是仍然具有極高的發(fā)射精度。

5 實驗驗證

對拓撲聲學高性能波束成形進行了實驗驗證，如圖11所示。按照情況3下的高性能拓撲聲學波束成形器進行了加工制作，如圖11（b）所示，包含 348個散射體。散射體采用光敏樹脂通過3D打印制造，并在平臺上以周期性三角形晶格陣列排布，散射體的旋轉分布情況按照 Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ 所示的分布模式放置在兩個平行亞克力板之間，散射體的高度為8mm，在這種情況下，二維近似是合理的，因為對于所考慮的波長均大于散射體的高度，聲波能夠均勻地在二維平面內傳播。整體結構的四周布置了黑色吸音海綿，以減少外界噪聲以及聲音泄漏對實驗測試造成的不利影響。將器件放置于圖11（a）所示的測試環(huán)境下，聲源通過揚聲器發(fā)射，經(jīng)過波束成形器后通過聲傳感器Bamp;K Type 4958A將獲得的信號經(jīng)過IEPE信號調理器和MOTU 16A聲卡處理后輸入計算機進行測量。在波束成形器的出射方向于外部測量點如圖6（c）中藍點對應位置，通過兩個聲傳感器測量其歸一化絕對聲壓。

首先驗證拓撲聲學波束成形的寬頻帶特性，聲源發(fā)射3500～5500Hz的聲波，兩傳感器于圖11（b）中所示位置處以傳感器2測得的值為基準進行歸一化，得到傳感器1的歸一化絕對聲壓，測試結果如圖11（d）中帶有正三角形的黑色實線所示，與帶有圓的藍色實線在公共禁帶區(qū)域（灰色斜線區(qū)域）的仿真模擬結果較為一致， 基本上分布在歸一化絕對聲壓1.0附近。這里對公共禁帶區(qū)域中的仿真模擬結果歸一化聲壓進行詳細說明，由于在情況3下，該波束成形器能夠在近場寬頻帶范圍內形成寬波峰波束，這就使得圖11（b）中位于寬波峰作用范圍內的兩個傳感器所測得的絕對聲壓情況基本一致，因此在公共禁帶區(qū)域內其歸一化絕對聲壓為1。

驗證拓撲聲學波束成形，聲源發(fā)射寬頻帶內4450Hz的聲波，固定傳感器2位于中心位置，沿著外部測量點逐一移動傳感器1測量其沿著y方向以傳感器2測量值為基準的歸一化絕對聲壓，結果如圖11（e）帶有正三角的黑色實線所示，在不可避免的加工制造誤差、安裝誤差和測量誤差的影響下，藍色虛線所示的實驗結果與仿真模擬結果雖然不能夠實現(xiàn)高度重合，但是其整體趨勢基本上一致，一方面能夠實現(xiàn)具有寬波峰的波束，另一方面其能量衰減速率的趨勢也與仿真模擬結果的趨勢基本一致。

下面對高性能拓撲聲學波束成形器較強抵抗錯誤因素的能力進行驗證，在上述情況3對應加工樣件的基礎上去掉紅色虛線圈對應的散射體，其他條件不變，形成情況3.3下對應的樣件；同樣通過上述實驗方法驗證拓撲聲學波束成形的寬頻帶特性及其拓撲聲學波束成形，實驗測量結果如圖11（d）、圖11（e）中帶有倒三角的紅色實線所示?？梢钥闯?，實驗測試結果相較無缺陷情況下雖然不是完全重合，但整體趨勢基本上完全一致，這充分驗證了高性能拓撲聲學波束成形器的高容錯性。

6 結 論

本文提出了拓撲聲學高性能波束成形機理，實現(xiàn)了受拓撲保護的無旁瓣寬頻帶波束成形，詳細研究了此拓撲聲學波束成形器對波束波峰寬度以及波束能量衰減速率的調控，分析了其在近場遠場的波束特性。通過在拓撲聲波束成形器中引入錯誤因素，發(fā)現(xiàn)其基本不受影響，器件具有高容錯性。最后進行了實驗驗證。該研究提出的全新波束成形方法，將為聲學通信、生物醫(yī)學、微納制造、和其他微形及多功能聲學設備的工程應用打下良好的基礎，而且將為光波、電磁波等其他經(jīng)典波領域提供更多的參考。

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（編輯 武紅江）