摘 要：貴州理工學(xué)院作為地方省屬高校以培養(yǎng)高素質(zhì)應(yīng)用型人才為辦學(xué)目標(biāo)，對《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程提出了新的要求。針對“極大似然估計(jì)”這一數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分最重要的知識(shí)點(diǎn)之一，結(jié)合在實(shí)際教學(xué)過程中的經(jīng)驗(yàn)，對“極大似然估計(jì)”在教學(xué)中存在的問題和現(xiàn)狀進(jìn)行了診斷和分析，然后詳細(xì)研究了其存在的原因，最后給出了相關(guān)的教學(xué)策略和研究措施。

關(guān)鍵詞：極大似然估計(jì)；診斷措施；策略研究；課程思政

1 概述

貴州理工學(xué)院是應(yīng)省委、省政府實(shí)施工業(yè)強(qiáng)省戰(zhàn)略和城鎮(zhèn)化帶動(dòng)戰(zhàn)略對理工類應(yīng)用型人才之需，經(jīng)教育部批準(zhǔn)設(shè)立的一所省屬本科理工院校，于2013年正式開始招生，是貴州省唯一一所理工類院校。我校通過不斷的探索與實(shí)踐研究，明確了“培養(yǎng)適應(yīng)地方經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展需要的高素質(zhì)應(yīng)用型人才”的培養(yǎng)目標(biāo)定位，立足貴州，服務(wù)地方，輻射西部。應(yīng)用型本科院校，以應(yīng)用型和地方性為辦學(xué)定位，以培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的高級應(yīng)用型人才為目標(biāo)。這一目標(biāo)的確立，對我校的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作提出了新要求，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》為理工科各專業(yè)重要的學(xué)科平臺(tái)基礎(chǔ)理論課，同時(shí)也是非常重要的應(yīng)用類型課程[1-2]，一直深受學(xué)校重視。同時(shí)，作為教學(xué)活動(dòng)不可或缺的部分，以學(xué)生發(fā)展為中心的教學(xué)內(nèi)容的合理設(shè)計(jì)對于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力、抽象概括能力、邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力起到至關(guān)重要的作用，這也是金課的要求[3-4]。

另一方面，大學(xué)數(shù)學(xué)相比中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)最重要的特點(diǎn)就是其抽象性和復(fù)雜性。對于《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》該門課程，本質(zhì)上是由概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)兩個(gè)分支構(gòu)成；而從關(guān)系上來說，需要先講授概率論，再講授數(shù)理統(tǒng)計(jì)。目前大學(xué)階段的一個(gè)共有現(xiàn)象則是課時(shí)被壓縮的極度厲害，因此在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》這門課程中，留給數(shù)理統(tǒng)計(jì)這部分的時(shí)間就極其少了，往往只有十個(gè)課時(shí)不到。但是對于數(shù)理統(tǒng)計(jì)而言，參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)是兩大主體框架內(nèi)容，通常只能根據(jù)具體的剩余時(shí)間來介紹點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)、統(tǒng)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)、假設(shè)檢驗(yàn)等。因此，學(xué)生普遍反應(yīng)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)這部分掌握不清晰，而對于“極大似然估計(jì)”這一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)[1，2]，就需要教師在教學(xué)過程中有所思考，使得同學(xué)們能夠在有限的時(shí)間里掌握“極大似然估計(jì)”的原理思路和步驟方法等等。

2 “極大似然估計(jì)”的教學(xué)現(xiàn)狀和存在問題

“極大似然估計(jì)”（Maximum Likelihood Estimate， MLE）是求估計(jì)的一種方法，最早是由德國數(shù)學(xué)家（Gauss）在1821年針對正態(tài)分布提出的，但一般將之歸功于英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)希爾（Fisher），因?yàn)橘M(fèi)希爾在1922年再次提出了這種想法并證明了它的一些性質(zhì)而使得最大似然法得到了廣泛的應(yīng)用[5]。

“極大似然估計(jì)”方法的目的就是利用已知的樣本結(jié)果，反推最大概率導(dǎo)致這樣結(jié)果的參數(shù)值，它就是建立在極大似然原理的基礎(chǔ)上的一個(gè)統(tǒng)計(jì)方法[6]，是概率論在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用。極大似然估計(jì)提供了一種給定觀察數(shù)據(jù)來評估模型參數(shù)的方法，而且通常說來，“極大似然”就是“最像”的意思。該方法的主要特點(diǎn)如下[1，2]：一是它比其他估計(jì)方法更加簡單；二是它為無偏或者漸近無偏，當(dāng)樣本數(shù)目增加時(shí)，收斂性質(zhì)會(huì)更好；三是如果假設(shè)總體的條件概率模型正確，則通常能獲得較好的結(jié)果，但如果假設(shè)模型出現(xiàn)偏差，將導(dǎo)致非常差的估計(jì)結(jié)果。此外，極大似然估計(jì)在后續(xù)很多專業(yè)的學(xué)習(xí)過程中，也有非常多的應(yīng)用[7-9]。

但遺憾的是，在目前關(guān)于“極大似然估計(jì)”的教學(xué)過程中，由于教學(xué)時(shí)間所限或者其他原因，教師在課堂上很少介紹“極大似然估計(jì)”這一重要知識(shí)點(diǎn)的發(fā)展歷史、來源、原理、特點(diǎn)等等，這也使得學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中對于“極大似然估計(jì)”的認(rèn)識(shí)非常膚淺，首先感覺它就像“天馬行空”般的出現(xiàn)，其次不知道其具體的原理和使用方法，再次是不知道它在后續(xù)的課程中有什么作用，加上臨到課程后期的時(shí)候，教師和學(xué)生的心態(tài)都是普遍比較慌張的，最后大部分的同學(xué)們也就只能把“極大似然估計(jì)”拿來直接使用。這樣的結(jié)果使得同學(xué)們在“極大似然估計(jì)”這一知識(shí)點(diǎn)的得分率極低，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在貴州理工學(xué)院（2013-2022年）近十年的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的試卷中，考查“極大似然估計(jì)”這一知識(shí)點(diǎn)的題目的平均分只有3.2分，連一半分?jǐn)?shù)都不到（總分通常為7分）。其實(shí)在實(shí)際中，關(guān)于“極大似然估計(jì)”的內(nèi)容并不復(fù)雜，其知識(shí)點(diǎn)相對簡單，而相應(yīng)的方法也比較初等化：主要涉及中學(xué)學(xué)習(xí)過的連乘和對數(shù)性質(zhì)，加上微分導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)，不用牽涉學(xué)生們普遍都比較害怕的定積分計(jì)算，理論上應(yīng)該是不困難的。

3 “極大似然估計(jì)”教學(xué)中存在問題的原因分析

對于“極大似然估計(jì)”方法，一方面由于高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性讓學(xué)生感覺枯燥乏味；另一方面由于課時(shí)驟減，使得教師無法對該方法的發(fā)展歷史、來源、原理、特點(diǎn)等進(jìn)行詳細(xì)介紹，同時(shí)師生也普遍缺少必要的交流與互動(dòng)，與專業(yè)需求契合度不高。

另外，如果我們使用“極大似然估計(jì)”方法，首先需要構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的似然函數(shù)，其中是來自總體的樣本；其次在似然函數(shù)的基礎(chǔ)上變形得到對數(shù)似然函數(shù)；然后通過求導(dǎo)（偏導(dǎo)）來導(dǎo)出似然方程（組），并求解可得極大似然估計(jì)值和極大似然估計(jì)量。

對于離散總體，設(shè)有樣本觀測值，可寫出該觀測值出現(xiàn)的概率，它一般依賴于某個(gè)或某些參數(shù)（用表示），即可將該概率看成的函數(shù)，也就是似然函數(shù)：

對于連續(xù)總體，樣本觀測值出現(xiàn)的概率總是為0的，但可考慮使用聯(lián)合概率密度函數(shù)來表示隨機(jī)變量在觀測值附近出現(xiàn)的可能性大小，即似然函數(shù)：

進(jìn)一步，在離散總體情形（1）和連續(xù)總體情形（2）中，都可以繼續(xù)擴(kuò)展得到：或。因此，學(xué)生們在學(xué)習(xí)“極大似然估計(jì)”的過程中遇到的第一個(gè)大問題就是對于連乘符號的錯(cuò)誤使用，包括連乘符號與連和符號的混用，學(xué)生對于省略號的恐懼等等，下面給出例子進(jìn)一步說明。

例：已知總體的概率密度為，是的簡單隨機(jī)樣本，是未知參數(shù)，求的極大似然估計(jì)量.

錯(cuò)解1：當(dāng)，則；

錯(cuò)解2：當(dāng)，則；

錯(cuò)解3：當(dāng)，則；

錯(cuò)解4：當(dāng)，則；

錯(cuò)解5：當(dāng)，則；

錯(cuò)解6：當(dāng)，則；

錯(cuò)解7：當(dāng)，則；

錯(cuò)解8：當(dāng)，則；

錯(cuò)解9：當(dāng)，則.

上面給出了貴州理工學(xué)院在2013-2022年的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》試卷中發(fā)現(xiàn)的一些共有現(xiàn)象，有些錯(cuò)誤還是上述幾類錯(cuò)誤的綜合。實(shí)際上正解應(yīng)為：

當(dāng)時(shí)，則。

第二個(gè)大問題則是學(xué)生對在中學(xué)就已經(jīng)學(xué)習(xí)過的對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)掌握不牢靠，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)共有錯(cuò)誤可總結(jié)為如下六類：

錯(cuò)解1：當(dāng)，則；

錯(cuò)解2：當(dāng)，則；

錯(cuò)解3：當(dāng)，則；

錯(cuò)解4：當(dāng)，則；

錯(cuò)解5：當(dāng)，則；

錯(cuò)解6：當(dāng)，則.

實(shí)際上正解應(yīng)為：當(dāng)時(shí)，則有。

第三個(gè)大問題就是來自同學(xué)們對于求導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法掌握不熟悉，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)共有錯(cuò)誤可總結(jié)為如下三類：

錯(cuò)解1：當(dāng)，則；

錯(cuò)解2：當(dāng)，則；

錯(cuò)解3：當(dāng)，則；

而實(shí)際的正解應(yīng)為：當(dāng)時(shí)，則有。

第四個(gè)大問題就是同學(xué)對于極大似然估計(jì)值和極大似然估計(jì)量的區(qū)別掌握不清楚，往往通過似然方程求出來的解就認(rèn)為是極大似然估計(jì)量。

4 解決“極大似然估計(jì)”教學(xué)存在問題的對策方法

對于“極大似然估計(jì)”教學(xué)點(diǎn)的發(fā)展歷史、來源、原理、特點(diǎn)等等，教師在備課中引結(jié)合相關(guān)資料和文獻(xiàn)給予糅合，然后在授課中貫穿教學(xué)過程，這樣學(xué)生就不會(huì)感覺到迷茫。同時(shí)對于“極大似然估計(jì)”的計(jì)算，要堅(jiān)持四個(gè)步驟：①寫出似然函數(shù)；②對似然函數(shù)取對數(shù)，并整理；③求導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)；④求解似然方程。在教學(xué)過程中，需要堅(jiān)持從知識(shí)上升到能力，從工具上升到運(yùn)用，從技能上升到文化。同時(shí)合理設(shè)計(jì)教學(xué)情境，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；也要側(cè)重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)與專業(yè)需求相結(jié)合，拓展內(nèi)涵提升素質(zhì)。

在具體的計(jì)算過程中，對于有限個(gè)樣本觀測值，教師在講授過程中，可以讓學(xué)生在草稿紙寫上一頭一尾，這樣可更好的克服同學(xué)們對于省略號帶來的恐懼。還是以前述例題為例，如果能先在草稿紙上寫出來，則可比較清晰的看出共有個(gè)和個(gè)樣本，還有相乘，這樣就比較清楚，也不容易出錯(cuò)。

同時(shí)對于離散分布的分布律或連續(xù)分布的概率密度函數(shù)，要引導(dǎo)學(xué)生能區(qū)分對待。比如對于前述例題的有效概率密度部分（即：），可分為三大類，第一類為，這類通常都可以有個(gè)；第二類為，這類含有樣本的要特別注意，因?yàn)橛邢迋€(gè)樣本的不同，需要寫成，也就是不能簡單合并；第三類為，這類雖然也含有，但是它的底數(shù)為，因此與第二類是有區(qū)別的，同時(shí)指數(shù)含有樣本，也要有所注意。

此外，在教學(xué)知識(shí)的講授過程中，要注意課程思政[10-15]的引入。通過融入思政元素，把對基本概念和基本理論的知識(shí)傳授與價(jià)值引領(lǐng)相結(jié)合。深入挖掘“極大似然估計(jì)”教學(xué)點(diǎn)所蘊(yùn)含的思政元素：“化繁為簡”“量變引起質(zhì)變”“永攀高峰”等可始終貫穿“極大似然估計(jì)”教學(xué)的全過程。

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項(xiàng)目資助：本文受到高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心教學(xué)改革項(xiàng)目（CMC20160303）；貴州省教育廳省級教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革研究項(xiàng)目（2020128，2021210）；貴州省教育廳省級金課；貴州省教育廳省級本科高校優(yōu)秀教學(xué)團(tuán)隊(duì)（YLDX201615）；貴州理工學(xué)院教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（2022JXGL02，JGYB201804）；貴州理工學(xué)院混合教學(xué)模式改革項(xiàng)目（2018HHKC04）等資助

作者簡介：曾誠，男，博士，教授，研究方向?yàn)殡S機(jī)控制與博弈，特殊矩陣及應(yīng)用、復(fù)雜系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)，高等教育管理等；遲楠，女，碩士，講師，研究方向?yàn)橥箖?yōu)化、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、高等教育研究等；景湘李，男，碩士，講師，研究方向?yàn)閿?shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用、高等教育研究等。