摘" 要： 針對復(fù)雜環(huán)境下六足機器人足端力/位跟蹤控制問題，提出一種基于輔助變量的終端阻抗滑模六足機器人足端控制方法來實現(xiàn)復(fù)雜環(huán)境下六足機器人的穩(wěn)定運動。首先，該方法引入廣義阻抗模型實現(xiàn)復(fù)雜環(huán)境下六足機器人足端位置和力的動態(tài)調(diào)節(jié)；其次，引入終端滑模控制方法提高系統(tǒng)的魯棒性以及足端力/位跟蹤誤差收斂性能；然后，設(shè)計動態(tài)補償器以及新型的輔助變量，構(gòu)建橋梁，從而建立了結(jié)合終端滑模控制以及廣義阻抗控制的復(fù)合控制框架；之后，通過Lyapunov理論證明了控制器的穩(wěn)定性；最后，在六足機器人三自由度機械腿模型上與滑膜阻抗控制方法（SMIC）進(jìn)行了對比仿真驗證，仿真結(jié)果證明了與結(jié)合線性滑模面的滑模阻抗控制方法相比，所提控制方法具有更好的足端力/位跟蹤精度以及更快的跟蹤誤差收斂速度。

關(guān)鍵詞： 六足機器人； 力控制； 位置控制； 魯棒性； 不確定性； 跟蹤控制； 柔順性； 阻抗控制

中圖分類號： TN820.4?34； TP242" " " " " " " " " "文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A" " " " " " " " " " 文章編號： 1004?373X（2024）11?0093?06

Auxiliary variable based terminal sliding mode impedance control for hexapod robot feet

WEN Jun1， MA Ruizi1， 2， 3

（1. College of Mechanical and Electrical Engineering， China Jiliang University， Hangzhou 310018， China;

2. Tianjin University， Tianjin 300072， China;

3. Ningbo Yaohua Electric Technology Co.， Ltd.， Ningbo 315000， China）

Abstract： In order to cope with the problem of feet force/position tracking control of the hexapod robot in complex environments， an auxiliary variable based terminal sliding mode impedance control for hexapod robot feet is proposed to achieve stable movement of the hexapod robot in complex environments. The generalized impedance model is adopted to dynamically adjust the position and force of the hexapod robot feet in complex environments. The terminal sliding mode control method is introduced to improve the robustness of the system and the convergence of foot force/position tracking error. The dynamic compensator and novel auxiliary variables are designed to construct a bridge， so as to establish a compound control framework that integrates terminal sliding mode control with generalized impedance control. The stability of the controller is proved by Lyapunov theory. Finally， the simulation results on the three?degree?of?freedom （3?DOF） mechanical leg model of the hexapod robot are contrasted with the sliding mode impedance control （SMIC） method. The simulation results show that the proposed control method has higher feet force/position tracking accuracy and faster tracking error convergence speed than the SMIC method combined with the linear sliding mode surface.

Keywords： hexapod robot; force control; position control; robustness; uncertainty; tracking control; flexibility; impedance control

0" 引" 言

近年來，移動機器人逐漸成為機器人領(lǐng)域的研究熱點之一。作為典型的移動機器人，六足機器人因為具有良好的靈活性和穩(wěn)定性而得到廣泛使用。雖然目前已經(jīng)有多種六足機器人被提出來替代人類執(zhí)行復(fù)雜惡劣環(huán)境下的任務(wù)，但性能仍然落后于其仿生原型，此時如何使六足機器人能夠按照人類可控的方式高效運動是需要解決的關(guān)鍵問題之一。

在六足機器人運動過程中，機械腿的狀態(tài)會對機器人本體的姿態(tài)和前進(jìn)方向產(chǎn)生影響，同時由于機器人具有非線性、強耦合的機械特點，機器人末端執(zhí)行器與環(huán)境相接觸構(gòu)成的系統(tǒng)十分復(fù)雜[1]，因此對六足機器人機械腿的柔順控制對保證六足機器人的穩(wěn)定行走具有重要意義。柔順控制一般可以劃分為被動柔順控制和主動柔順控制。被動柔順控制一般是通過采用柔性材料制造的關(guān)節(jié)或者器件裝配到末端執(zhí)行器上[2?3]。這種柔順機構(gòu)的設(shè)計比較復(fù)雜，并且通用性較弱。主動柔順控制分為力/位混合控制以及阻抗控制。力/位混合控制是將對力和位置的控制分別在力控制子空間和位置控制子區(qū)間中進(jìn)行，文獻(xiàn)[4]提出一種基于法向?切向坐標(biāo)系下的動渦盤運動控制策略以及主動柔順控制方法，來解決動渦盤和靜渦盤接觸力難以控制的問題。文獻(xiàn)[5]在非恒力打磨的情況下提出了一種位置和法向力配合控制打磨的方法，進(jìn)一步提高了力控制和位置控制的性能。文獻(xiàn)[6]提出了一種新型的魯棒軌跡跟蹤力/位混合控制策略來解決在基礎(chǔ)振動、柔性振動以及環(huán)境接觸力耦合作用下柔順打磨機器人非線性控制問題，但柔順驅(qū)動的引入會引起柔性關(guān)節(jié)的振動，從而降低末端執(zhí)行器力/位跟蹤控制性能。文獻(xiàn)[7]提出了一種力/位置混合示教控制方法，用于示教機器人期望的位置和力軌跡，降低了機器人示教的難度。但是力/位混合控制是將控制分為力控制子空間以及位置控制子空間，對被控對象的力/位控制是分開的，難以滿足被控對象移動過程中的力/位控制需求。

對于在復(fù)雜地形執(zhí)行任務(wù)的六足機器人而言，機械腿足端的位置偏差同樣也可能會導(dǎo)致接觸力的變化，但為了六足機器人行走的穩(wěn)定性以及避免機械結(jié)構(gòu)損傷，有時需要允許有一定的位置偏差以及力偏差，而阻抗控制是一種有效的柔順控制方法。阻抗控制（IC）能夠建立末端位置和力之間的動態(tài)聯(lián)系，通過調(diào)整系統(tǒng)慣性、阻尼以及剛性從而實現(xiàn)對末端位置和力的調(diào)節(jié)與控制，文獻(xiàn)[8]將阻抗控制應(yīng)用于對機械腿的柔順控制中，通過調(diào)節(jié)阻抗系數(shù)從而滿足機器人在不同步態(tài)下的柔順控制需求。然而，單獨的阻抗控制軌跡跟蹤精度較差[9]，并且由于六足機器人任務(wù)環(huán)境的復(fù)雜性，諸如系統(tǒng)不確定性等因素會對六足機器人足端的力/位跟蹤控制性能產(chǎn)生影響，因此如何提高控制器的魯棒性是面臨的問題之一。

有許多抗干擾的跟蹤控制方法已經(jīng)被提出[10?11]，而滑?？刂疲⊿MC）由于其良好的非線性控制性能，已被廣泛應(yīng)用于機器人軌跡跟蹤控制[12]。一些研究者們結(jié)合滑模控制以及阻抗控制的優(yōu)點設(shè)計了阻抗滑?？刂破鳎⊿MIC），并將其應(yīng)用到水下執(zhí)行器中實現(xiàn)對力/位的控制[13]。文獻(xiàn)[14]設(shè)計了一種基于誤差的PD協(xié)同滑模阻抗模型來解決具有不確定外部力干擾的上肢康復(fù)機器人的交互控制問題。但傳統(tǒng)的滑?？刂撇捎玫氖蔷€性滑模面，難以使跟蹤誤差在有限時間內(nèi)收斂，而終端滑模的提出為這個問題提供了一種有效的解決方法。

針對上述問題，本文采用包含慣性系數(shù)、阻尼系數(shù)、剛性系數(shù)以及力偏差權(quán)重系數(shù)的廣義阻抗控制來實現(xiàn)六足機器人移動過程中的力/位跟蹤控制；同時引入終端滑模控制，在提高控制器魯棒性的同時實現(xiàn)跟蹤誤差有限時間收斂；最后，設(shè)計動態(tài)補償器以及新型的輔助變量構(gòu)建橋梁，從而結(jié)合了終端滑?？刂埔约皬V義阻抗控制，在六足機器人移動過程中實現(xiàn)足端力/位控制的同時，對系統(tǒng)不確定性具有良好的魯棒性，能夠?qū)崿F(xiàn)復(fù)雜環(huán)境下對六足機器人足端的力/位精確快速跟蹤控制。

1" 六足機器人單腿動力學(xué)模型

由六足機器人的運動學(xué)模型可知，六足機器人機械腿的運動狀態(tài)對整個六足機器人的運動有著重要的影響，根據(jù)Lagrange理論，所研究的六足機器人三自由度機械腿動力學(xué)模型表示如下：

[τ=D（q）q+C（q，q）q+G（q）+J-TFe] （1）

式中：[q∈R3]表示六足機器人機械腿的關(guān)節(jié)位置向量；[q∈R3]和[q∈R3]分別代表機械腿關(guān)節(jié)速度以及加速度；[D（q）∈R3×3]為機器人的慣性矩陣；[C（q，q）∈R3×3]為哥氏力和離心力矩陣；[G（q）∈R3]為重力項；[Fe∈R3]為機械腿足端與地面之間的接觸力；[τ∈R3]代表控制力矩；[J∈R3×3]為幾何雅可比矩陣。

六足機器人三自由度機械腿示意圖如圖1所示。

由于主要聚焦于對六足機器人機械腿足端進(jìn)行控制，因此需要將機械腿的動力學(xué)模型轉(zhuǎn)換到工作空間中，同時考慮系統(tǒng)不確定性對機械腿足端控制性能的影響，可以得到工作空間中包含系統(tǒng)不確定性項的機械腿動力學(xué)模型如下：

[Fx=Dx（q）x+Cx（q，q）x+Gx（q）+Fe+δ] （2）

式中：[δ]為不確定性項，并且[δlt;η]；[Fx]為六足機器人機械腿的控制力向量。

[Dx（q）=J-T（q）D（q）J-1（q）Cx（q，q）=J-T（q）（C（q，q）-D（q）J-1（q）J（q））J-1（q）Gx（q）=J-T（q）G（q）] （3）

六足機器人機械腿動力學(xué)模型一般具有以下基本性質(zhì)：

1） 慣性矩陣[Dx（q）]為對稱正定矩陣，并且滿足以下關(guān)系式：

[Q1In×n≤Dx（q）≤Q2In×n] （4）

式中，[Q1gt;0]并且[Q2gt;0]。

2） [Dx（q）-2Cx（q，q）]為反對稱矩陣，并且滿足以下關(guān)系：

[xT（Dx（q）-2Cx（q，q））x=0，" " ?x∈Rn] （5）

2" 控制器設(shè)計

六足機器人機械腿足端力/位置跟蹤控制的目的在于使足端實際位置和實際接觸力能夠在運動過程中盡可能精確跟蹤期望位置和期望接觸力。因此，采用廣義阻抗控制實現(xiàn)在六足機器人移動過程中對足端位置和力的動態(tài)調(diào)節(jié)與控制。期望廣義阻抗模型可以表示為：

[Mde+Bde+Kde=-kfefe=x-xdef=Fe-Fd] （6）

式中：[Md∈R3×3]為慣性矩陣；[Bd∈R3×3]為慣性矩陣；[Kd∈R3×3]為剛性矩陣；[kf∈R3×3]表示力偏差權(quán)重系數(shù)。

在采用廣義阻抗控制方法對六足機器人機械腿足端進(jìn)行力/位控制時，系統(tǒng)存在的不確定性會對跟蹤控制性能產(chǎn)生影響。因此，引入終端滑?？刂品椒▉硖岣呖刂破鞯聂敯粜浴＝K端滑模一般可以表示如下：

[s（t）=e+βeqp] （7）

式中：[βgt;0]；[p]和[q]為正奇數(shù)，并且[pgt;qgt;0]。

終端滑?？刂破饕话憧梢员硎救缦拢?/p>

[u=-g-1（s）f（x）+βqpeqp-1e+ηsgn（s）] （8）

式中：[g（s）gt;0]；[sgn（·）]為符號函數(shù)。

結(jié)合終端滑?？刂埔约皬V義阻抗控制的優(yōu)點，在實現(xiàn)足端位置和力跟蹤誤差有限時間收斂的同時對系統(tǒng)不確定性具有良好的魯棒性。為了實現(xiàn)期望廣義阻抗模型，引入了動態(tài)補償器[15]：

[z=Az+Kpze+Kvze+Kfzef] （9）

式中：[z]為補償器的狀態(tài)變量；[A]為任意負(fù)半定矩陣；[Kpz]、[Kvz]以及[Kfz]為常數(shù)矩陣。

在式（9）的基礎(chǔ)上設(shè)計輔助變量及其導(dǎo)數(shù)如下：

[σ=e+e+Λzσ=e+e+Λz] （10）

式中[Λ]為非奇異常數(shù)矩陣。

結(jié)合式（9）和式（10），可以得到：

[Mde+MdΛKvze+Md（ΛKpz-I）e=-MdΛKfzef+Md（σ-σ）] （11）

根據(jù)式（6）和式（11）可得：

[Κpz=Λ-1（Μ-1dΚd+Ι）Kvz=Λ-1M-1dBdKfz=Λ-1M-1dBd] （12）

根據(jù)式（11）和式（12）可知，當(dāng)[σ→0]以及[σ→0]時，則能夠?qū)崿F(xiàn)式（6）所示的期望廣義阻抗模型。為此，在式（10）的基礎(chǔ)上建立終端滑模面及其導(dǎo)數(shù)如下：

[s=σ+βσnms=σ+βnmσnm-1σ] （13）

采用指數(shù)趨近律提高跟蹤控制性能：

[s=-ks-ηsgn（s）] （14）

式中[kgt;0]。

在式（2）、式（13）以及式（14）的基礎(chǔ)上可得到控制器如下：

[Fx=Dx（q）xeq+Cx（q，q）xeq+Gx（q）+Fe-ks-ηsgn（s）] （15）

[xeq=xd-e-Λz-β（e+e+Λz）nmxeq=xd-e-Λz-β（e+e+Λz）nm] （16）

本文方法的控制框圖如圖2所示。

為了證明穩(wěn)定性，定義Lyapunov函數(shù)為：

[V=12sTDx（q）s] （17）

根據(jù)式（4）可以得到：

[0≤Q1s2≤V=12sTDx（q）s≤Q2s2] （18）

結(jié)合式（10）、式（13）以及式（16），可得：

[s=x-xeqs=x-xeq] （19）

根據(jù)式（5）可以得到：

[V=sTDx（q）s+12sTDx（q）s=sTDx（q）s+sTCx（q，q）s] （20）

將式（19）代入式（20）并考慮式（2）得：

[V=sTDx（q）（x-xeq）+sTCx（q，q）（x-xeq）=sT[Dx（q）x+Cx（q，q）x-Dx（q）xeq-Cx（q，q）xeq]=sT[Fx-Gx（q）-Fe-δ-Dx（q）xeq-Cx（q，q）xeq]] （21）

將式（15）代入式（21）得：

[V=sT[-ks-ηsgn（s）-δ]=-ksTs-ηsTsgn（s）-δsT=-ksTs-ηs-δsTlt;-ksTs-ηs+ηs≤-ks≤0] （22）

根據(jù)上述分析可知，六足機器人機械腿系統(tǒng)式（2）在所提控制器式（15）的作用下能夠達(dá)到漸近穩(wěn)定。

3" 系統(tǒng)仿真研究

本節(jié)通過仿真對控制器的效果進(jìn)行驗證。仿真在六足機器人三自由度機械腿上進(jìn)行，機械腿相關(guān)系數(shù)為：

[D（q）=d11d12d13d21d22d23d31d32d33C（q，q）=c11c12c13c21c22c23c31c32c33G（q）=g1g2g3]

其中：

[" " " " d11=I1+a1?cos2（q2）+a2?cos2（q2+q3）+2?a3?cos（q2）?cos（q2+q3）]

[" " " " d12=d21=d13=d31=0]

[" " " " d22=I2+a1+a2+2?a3?cos（q3）]

[" " " " d23=d32=a2+a3?cos（q3）]

[" " " " d33=I2+a2]" " " " [" " " " c11=-0.5?a1?q2?sin（2?q2）-0.5?a2?（q2+q3）?sin（2?q2+2?q3）-a3?q2?sin（2?q2+q3）-a3?q3?cos（q2）sin（q2+q3）]

[" " " " c12=-0.5?a1?q2?sin（2?q2）-0.5?a2?q1?（2?q2+2?q3）-a3?q1?sin（2?q2+q3）][" " " " c13=-0.5?a1?q2?sin（2?q2+2?q3）-a3?q1?cos（q2）?sin（q2+q3）]

[c21=-c12]

[c22=-a3?q1?sin（q3）]

[c23=-a3?（q2+q3）?sin（q3）]

[c31=-c13]

[c32=-a3?q2?sin（q3）]

[c33=0]

[g1=0]

[g2=b1?cos（q2）+b2?cos（q2+q3）]

[g3=b2?cos（q2+q3）]

并且：

[a1=m2?r22+m3?l22]

[a2=m3?r23]

[a3=m3?r3?l2]

[b1=（m2?r2+m3?l2）?g]

[b2=m3?r3?g]

為驗證本文方法的有效性，在存在系統(tǒng)不確定性的情況下，將本文控制方法（TSMIC）與滑模阻抗控制方法（SMIC）進(jìn)行對比。為了驗證本文方法的魯棒性，引入如下形式系統(tǒng)不確定性：

[δ=acos（ωft），acos（ωft），acos（ωft）T] （23）

式中：[a]和[ωf]分別代表系統(tǒng)不確定性的振幅和周期。

同樣，為了驗證本文方法的力跟蹤效果，考慮[z]軸方向的力跟蹤，[z]軸方向期望力設(shè)置如下：

[Fdz=0，" " " tlt;440tanh（t-4），t≥4] （24）

在笛卡爾空間中，TSMIC和SMIC在[x]軸方向的位置跟蹤以及速度跟蹤效果分別如圖3和圖4所示。

由圖3可以看出，SMIC在[x]軸方向的位置跟蹤誤差在-0.014～0.001 2 m范圍內(nèi)，而TSMIC在[x]軸方向的位置跟蹤誤差在-0.008 7～0.000 48 m范圍內(nèi)。因此，TSMIC在[x]軸方向的位置跟蹤誤差波動要比SMIC更小。

根據(jù)圖4可知，SMIC在[x]軸方向的速度跟蹤誤差在-0.926～0.276 m/s范圍內(nèi)，而TSMIC在[x]軸方向的速度跟蹤誤差在-0.121～0.077 m/s范圍內(nèi)，可以看出，TSMIC在[x]軸方向的速度跟蹤誤差波動明顯要比SMIC更小。

TSMIC以及SMIC在笛卡爾空間的[y]軸方向的位置以及速度跟蹤效果分別如圖5和圖6所示。

根據(jù)圖5可以看出，SMIC在0.24 s左右才跟蹤上期望位置信號，要慢于TSMIC，并且SMIC在[y]軸方向的位置跟蹤誤差在-0.003 5～0.001 4 m范圍內(nèi)，而TSMIC的位置跟蹤誤差在-0.002 1～0.000 96 m范圍內(nèi)。

根據(jù)圖6可知，SMIC在[y]軸方向的速度跟蹤誤差在-0.032～0.042 m/s范圍內(nèi)，TSMIC的速度跟蹤誤差在-0.012～0.019 m/s范圍內(nèi)。值得注意的是，在[t]=4 s時無論是TSMIC還是SMIC的速度跟蹤都會出現(xiàn)一定的抖動，這是因為此時期望接觸力從0 N開始逐漸增加，導(dǎo)致實際接觸力也開始增加，從而致使[y]軸方向速度跟蹤的抖動。

在笛卡爾空間的[z]軸方向上，TSMIC以及SMIC的位置以及速度跟蹤效果分別如圖7和圖8所示。SMIC在[z]軸方向的位置跟蹤誤差在-0.127～0.058 m范圍內(nèi)，而TSMIC的位置跟蹤誤差在[-0.001]～0.006 m范圍內(nèi)。同樣地，從[t=]4 s開始，由于接觸力的存在，TSMIC以及SMIC在[z]軸方向的位置跟蹤始終會存在一定偏差。

根據(jù)圖8可以看出，SMIC在[t]=3.78 s時才跟蹤上期望速度，并且SMIC在[z]軸方向的速度跟蹤誤差在-0.416～0.362 m/s范圍內(nèi)，而TSMIC的速度跟蹤誤差在-0.022～0.058 m/s范圍內(nèi)。

TSMIC以及SMIC在笛卡爾空間的[z]軸方向上的力跟蹤效果如圖9所示。由圖9可知，SMIC在[z]軸方向的力跟蹤誤差在[-0.815]～2.076 N范圍內(nèi)，而TSMIC的力跟蹤誤差在[-0.103]～0.117 N范圍內(nèi)。

由仿真結(jié)果可知，在相同的環(huán)境剛度以及系統(tǒng)不確定性下，TSMIC在三個坐標(biāo)軸方向位置、速度以及在[z]軸方向的力跟蹤誤差波動要比SMIC的小。

4" 結(jié)" 語

針對復(fù)雜環(huán)境下六足機器人的足端力/位跟蹤控制問題，采用包含慣性系數(shù)、阻尼系數(shù)、剛性系數(shù)以及力偏差權(quán)重系數(shù)的廣義阻抗控制來實現(xiàn)六足機器人移動過程中的力/位跟蹤控制；同時引入終端滑模控制，在提高控制器魯棒性的同時實現(xiàn)跟蹤誤差有限時間收斂；最后，設(shè)計動態(tài)補償器以及新型的輔助變量構(gòu)建橋梁，從而結(jié)合了終端滑模控制以及廣義阻抗控制，在六足機器人移動過程中實現(xiàn)足端力/位控制的同時，對系統(tǒng)不確定性具有良好的魯棒性，能夠?qū)崿F(xiàn)復(fù)雜環(huán)境下對六足機器人足端的力/位精確快速跟蹤控制。最后，根據(jù)TSMIC和SMIC在相同環(huán)境剛度以及系統(tǒng)不確定性情況下的對比仿真結(jié)果可知，TSMIC能夠更精確以及快速地實現(xiàn)六足機器人足端位置和力跟蹤。

注：本文通訊作者為馬瑞梓。

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作者簡介：文" ?。?001—），男，四川南充人，碩士研究生，研究方向為仿生多足機器人控制。

馬瑞梓（1984—），女，滿族，河北保定人，博士，副教授，研究方向為復(fù)雜非線性系統(tǒng)跟蹤控制、機器人控制、智能優(yōu)化控制、風(fēng)力發(fā)電控制。